%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% Scientific Word Wrap/Unwrap Version 2.5 %
% Scientific Word Wrap/Unwrap Version 3.0 %
% %
% If you are separating the files in this message by hand, you will %
% need to identify the file type and place it in the appropriate %
% directory. The possible types are: Document, DocAssoc, Other, %
% Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files %
% tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file %
% directory. Macro files go into your TeX macros directory. Style %
% files are used by Scientific Word and do not need to be extracted. %
% Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a %
% graphics directory. %
% %
% Graphic files need to be converted from the text format (this is %
% done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. %
% %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% Files included: %
% %
% "/document/concavity.tex", Document, 42566, 10/5/1999, 13:58:52, "" %
% "/document/graphics/concaveupa.wmf", ImportPict, 11028, 8/5/1998, 18:41:38, ""%
% "/document/graphics/concaveupb.wmf", ImportPict, 11012, 8/5/1998, 18:31:12, ""%
% "/document/graphics/maroon.wmf", ImportPict, 4444, 7/31/1998, 12:35:00, ""%
% "/document/graphics/concavedna.wmf", ImportPict, 10952, 8/5/1998, 18:34:16, ""%
% "/document/graphics/concavednb.wmf", ImportPict, 11064, 8/5/1998, 18:36:56, ""%
% "/document/graphics/inflectiona.wmf", ImportPict, 9236, 8/6/1998, 1:37:48, ""%
% "/document/graphics/inflectionb.wmf", ImportPict, 9092, 8/6/1998, 1:40:38, ""%
% "/document/graphics/inflectionc.wmf", ImportPict, 7174, 8/6/1998, 3:27:56, ""%
% "/document/graphics/inflectiond.wmf", ImportPict, 6758, 8/6/1998, 1:50:02, ""%
% "/document/graphics/graph1.wmf", ImportPict, 8278, 8/8/1998, 10:09:54, ""%
% "/document/graphics/graph2.wmf", ImportPict, 9918, 8/8/1998, 10:26:04, ""%
% "/document/graphics/graph3.wmf", ImportPict, 10176, 8/8/1998, 10:31:10, ""%
% %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/concavity.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.0
\documentclass[12pt,thmsa]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{sw20jart}
%TCIDATA{TCIstyle=article/art4.lat,jart,sw20jart}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Created=Mon Aug 19 14:52:24 1996}
%TCIDATA{LastRevised=Tuesday, October 05, 1999 09:58:50}
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%TCIDATA{AllPages=
%H=36,\PARA{038 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }
%F=36,\PARA{038
\hfill }
%}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\section{A First Course in Calculus}
\begin{center}
\vspace{1pt}\textsl{A Web Based, Interactive, Multimedia Calculus}
\textsl{by}
\textsl{The WebCalC Group}
\vspace{0in}
\end{center}
\subsection{\protect\vspace{1pt}Index: Concavity}
\emph{\ \hfill Pages \ \ \ \ \ \ \ \ }
\begin{enumerate}
\item \hyperref{Definition of Concavity and Second Derivative Test 2\ }{}{}{%
s.36.01.01.tex}\dotfill \hyperref{\underline{1}}{}{}{./s.36.01.01.tex}\
\underline{\hyperref{2}{}{}{./s.36.01.02.tex}}
\item \hyperref{Inflection Points\ }{}{}{s.36.02.01.tex}\dotfill \hyperref{%
\underline{1}}{}{}{./s.36.02.01.tex}\
\item \hyperref{Curve Sketching\ }{}{}{s.36.03.01.tex}\dotfill \hyperref{%
\underline{1}}{}{}{./s.36.03.01.tex}\
\item \hyperref{Exercises}{}{}{x.36.01.tex}\ \dotfill \hyperref{\underline{1}%
}{}{}{./x.36.01.tex}\ \vspace{1pt}
\end{enumerate}
\section{Concavity}
\vspace{1pt}\QTR{bluebig}{The shape of the curve} is generally described by
it's concavity. \ It is often not enough to describe the graph of the
function as increasing or decreasing. \ More is needed: \ How slowly or
rapidly does the graph increase? is a question answered using the \textsl{%
second derivative}.\medskip
\subsection{\protect\vspace{1pt}Concavity and Curve Sketching}
{\Large The concavity }of the graph of a function (for simplicity, we also
say the concavity of the function) tells us how the graph bends.
\begin{definition}
We say that the graph of the function $f(x)$ is \emph{concave up\/} for $%
a0$ for $a0$ for all $x$. By The Second
Derivative Test 2, we conclude that $f(x)=x^{2}-2x+2$ is always concave up.$%
\hfill $
\begin{center}
\vspace{1pt}\FRAME{itbpFU}{2.6212in}{1.7487in}{0in}{\Qcb{$y=x^{2}-2x+2$}}{}{%
}{\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 2.6212in;height
1.7487in;depth 0in;display "PICT";function \TEXUX{$x^{2}-2x+2$};linecolor
"red";linestyle 1;linethickness 3;pointstyle "point";xmin "-4";xmax
"4";xviewmin "-4.000000";xviewmax "4.000000";yviewmin "0.500052";yviewmax
"26.509999";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;numpoints 49;axesstyle
"normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};}}
\vspace{0in}
\end{center}
\vspace{1pt}{\Large \ }
\subsection{\protect\vspace{1pt}Concavity and Curve Sketching --- Example}
\vspace{1pt}
\begin{example}
\vspace{1pt}Study the concavity of the function $f(x)=x^{3}-2x^{2}+x+1$.
\end{example}
\noindent \emph{Solution}~~~We need the first and second derivative of $f(x)$%
:
\begin{eqnarray*}
f^{\prime }(x) &=&3x^{2}-4x+1 \\
f^{\prime \prime }(x) &=&6x-4=6\left( x-\frac{2}{3}\right)
\end{eqnarray*}
Now produce the following table: \bigskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
\textbf{Value of }$x$ & $x<\frac{2}{3}$ & $x>\frac{2}{3}$ \\ \hline
\textbf{Sign of }$f^{\prime \prime }(x)$ & $-$ & $+$ \\ \hline
\end{tabular}
\bigskip
\end{center}
\noindent By the\hyperref{ Second Derivative Test 2}{}{}{%
./s.36.01.01.tex#test}, we conclude that $f(x)$ is concave down for $x<\frac{%
2}{3}$ and concave up for $x>\frac{2}{3}$.
\begin{center}
\FRAME{itbpFU}{2.3955in}{1.5973in}{0in}{\Qcb{$y=x^{3}-2x^{2}+x+1$}}{}{}{%
\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 2.3955in;height
1.5973in;depth 0in;display "PICT";function
\TEXUX{$x^{3}-2x^{2}+x+1$};linecolor "red";linestyle 1;linethickness
2;pointstyle "point";function
\TEXUX{$\MATRIX{2,2}{c}\VR{,,l,,,}{,,l,,,}{,,,,,}\HR{,,}\CELL{2/3}%
\CELL{29/27}\CELL{2/3}\CELL{29/27}$};linecolor "blue";linestyle
1;linethickness 3;pointstyle "diamond";xmin "-3";xmax "4";xviewmin
"-4.000000";xviewmax "4.000000";yviewmin "-10";yviewmax
"10";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;plotticks
1;num-x-ticks 9;num-y-ticks 9;numpoints 49;axesstyle "normal";xis
\TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};}}
\vspace{0in}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"1.164";cropright "1";cropbottom "0.3862";filename
'/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}
\vspace{1pt}{\Large \ }
\subsection{\protect\vspace{1pt}Concavity and Curve Sketching --- Example}
\begin{example}
\vspace{1pt}Determine the concavity of the function $f(x)=1+\dfrac{1}{x}$.
\end{example}
\noindent \emph{Solution}~~We again find the first and second derivatives:
\[
f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^{2}}\;\;\quad f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^{3}%
}
\]
Hence, $f^{\prime \prime }(x)>0$ if $x>0$ and $f^{\prime \prime }(x)<0$ if $%
x<0$. \ By the \hyperref{Second Derivative Test 2}{}{}{./s.36.01.01.tex#test}%
, we conclude that $f(x)$ is concave down for $x<0$ and is concave up for $%
x>0$.
\begin{center}
\vspace{1pt}\FRAME{itbpFU}{2.9239in}{1.9484in}{0.0069in}{\Qcb{$y=1+\dfrac{1}{%
x}$}}{}{}{\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width
2.9239in;height 1.9484in;depth 0.0069in;display "PICT";function
\TEXUX{$1+\dfrac{1}{x}$};linecolor "red";linestyle 1;linethickness
2;pointstyle "point";xmin "-3";xmax "3";xviewmin "-3";xviewmax "3";yviewmin
"-12";yviewmax "12";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype
4;numpoints 49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};}}
\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename
'/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}$\hfill $
\end{center}
\textsl{Note} that, in the previous \hyperref{example}{}{}{./e.36.01.01.tex}
as in this example, the concavity changes at some value of $x,$ at $x=\frac{2%
}{3}$ in the previous example and at $x=0$, in this example. \textsl{Note
also}, in the previous example the function $f(x)=x^{3}-2x^{2}+x+1$ is
continuous at the point where the concavity changes, whereas in this example
the function is not continuous at the point where the concavity changes. In
fact, it is not even defined at that point.
\begin{center}
\vspace{0in}\vspace{0in}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf%
}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.6905";cropright "1";cropbottom "0.6349";filename
'/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}
\vspace{1pt}{\Large \ }
\subsection{\protect\vspace{1pt}Inflection Points}
\begin{definition}
If the concavity of $f(x)$ changes sign at the value $x=a$ from up to down
or from down to up, and if $f(x)$ is continuously differenctiable at $x=a$,
then the point $(a,f(a))$ is called an \emph{inflection point\/} of (the
graph of) $f(x)$.
\end{definition}
\begin{center}
\vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename
'/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}
\textsl{Normal case.} In both graphs below, the point $(a,f(a))$ is an
inflection point. Note that the tangent line at the inflection point $%
(a,f(a))$ crosses the curve.
\begin{center}
\FRAME{itbpF}{2.3341in}{1.8317in}{0in}{}{}{inflectiona.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.3341in;height 1.8317in;depth
0in;original-width 160.875pt;original-height 125.875pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'/document/graphics/inflectiona.wmf';file-properties "XNPEU";}}\FRAME{%
itbpF}{2.3324in}{1.8317in}{0in}{}{}{inflectionb.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 2.3324in;height 1.8317in;depth
0in;original-width 160.75pt;original-height 125.875pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'/document/graphics/inflectionb.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\vspace{0in}Inflection point at $x=a$
\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"1.164";cropright "1";cropbottom "0.3862";filename
'/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}
\textsl{Abnormal case. }In the two figures below there is no inflection
point, although the concavity changes at $x=a$.
\begin{center}
\FRAME{itbpF}{2.2329in}{1.8317in}{0in}{}{}{inflectionc.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.2329in;height 1.8317in;depth
0in;original-width 153.75pt;original-height 125.875pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'/document/graphics/inflectionc.wmf';file-properties "XNPEU";}}\FRAME{%
itbpF}{2.2329in}{1.8317in}{0in}{}{}{inflectiond.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 2.2329in;height 1.8317in;depth
0in;original-width 153.75pt;original-height 125.875pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'/document/graphics/inflectiond.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\vspace{1pt}No inflection point at $x=a$
\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.7183";cropright "1";cropbottom "0.6071";filename
'/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}
From the Second Derivative Test 2, notice that the concavity of $f(x)$
changes if $f^{\prime \prime }(x)$ changes sign.
Hence:
\begin{quotation}
To locate inflection points of the differentiable function $f(x)$, solve the
equation
\[
f^{\prime \prime }(x)=0
\]
If $f^{\prime \prime }(a)=0$, then the point $(a,f(a))$ is possibly, but not
necessarily, an inflection point of $f(x)$.
\end{quotation}
\FRAME{dtbpF}{5.2096in}{0.0761in}{0pt}{}{}{thckline.gif}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 5.2096in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 361.375pt;original-height 0.625pt;cropleft "0";croptop
"0.9128";cropright "1";cropbottom "0.6399";filename
'/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\begin{example}
Locate the inflection points of the function $f(x)=x^{3}$.
\end{example}
\noindent \emph{Solution}~~We find the second derivative
\[
f^{\prime }(x)=3x^{2}\text{,}\quad f^{\prime \prime }(x)=6x
\]
Hence, the solution of the equation $f^{\prime \prime }(x)=6x=0$ is $x=0$,
so that $(0,f(0))=(0,0)$ is a possible inflection point. Since $f^{\prime
\prime }(x)=6x<0$ if $x<0$, and $f^{\prime \prime }(x)=6x>0$ if $x>0$, the
concavity changes at $x=0$. Therefore, $(0,0)$ is, in fact, an inflection
point.$\hfill $
\begin{center}
\FRAME{dtbpFU}{2.6316in}{1.7547in}{0pt}{\Qcb{$y=x^{3}$}}{}{}{%
\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 2.6316in;height
1.7547in;depth 0pt;display "PICT";function \TEXUX{$x^{3}$};linecolor
"red";linestyle 1;linethickness 2;pointstyle "point";function
\TEXUX{$\MATRIX{2,2}{c}\VR{,,l,,,}{,,l,,,}{,,,,,}\HR{,,}\CELL{0}\CELL{0}%
\CELL{0}\CELL{0}$};linecolor "blue";linestyle 1;linethickness 3;pointstyle
"point";xmin "-2";xmax "2";xviewmin "-2";xviewmax "2";yviewmin "-9";yviewmax
"9";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;plotticks
1;num-x-ticks 5;num-y-ticks 9;labeloverrides 3;x-label "x";y-label
"y";numpoints 49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};}}
\vspace{0in}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"1.164";cropright "1";cropbottom "0.3862";filename
'/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}
\vspace{1pt}{\Large \ }
\subsection{\protect\vspace{1pt}Inflection Points --- Example}
\vspace{1pt}
\begin{example}
\vspace{1pt}Does $f(x)=x^{4}$ have any inflection points?
\end{example}
\noindent \emph{Solution}~~We have $f^{\prime \prime }(x)=12x^{2}$.
Therefore, the equation $f^{\prime \prime }(x)=0$ has only one solution: \ $%
x=0$. But $(0,f(0))=(0,0)$ is \emph{not\/} an inflection point since $%
f^{\prime \prime }(x)=12x^{2}>0$ if $x\neq 0$, so that the concavity never
changes. Hence, $f(x)=x^{4}$ has no inflection point.$\hfill $
\begin{center}
\vspace{0in}\FRAME{itbpFU}{3in}{2.0003in}{0in}{\Qcb{$y=x^{4}$}}{}{}{%
\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3in;height
2.0003in;depth 0in;display "PICT";function \TEXUX{$x^{4}$};linecolor
"red";linestyle 1;linethickness 2;pointstyle "point";xmin "-2";xmax
"2";xviewmin "-2.000000";xviewmax "2.000000";yviewmin "-1";yviewmax
"12";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;plotticks
1;num-x-ticks 4;num-y-ticks 4;labeloverrides 3;x-label "X";y-label
"Y";numpoints 49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};}}
\vspace{0in}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"1.164";cropright "1";cropbottom "0.3862";filename
'/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}
\begin{example}
Find the inflection points of $f\left( x\right) =\sin x-\cos x.$
\end{example}
\emph{Solution.} First we differentiate to obtain $f^{\prime }\left(
x\right) =\allowbreak \cos x+\sin x\ $ and $f^{\prime \prime }\left(
x\right) =\allowbreak -\sin x+\cos x$. \ Now solve $f^{\prime \prime }\left(
x\right) =0$%
\begin{eqnarray*}
-\sin x+\cos x &=&0 \\
\sin x &=&\cos x \\
&=&1 \\
x &=&\dfrac{\pi }{4},\dfrac{5\pi }{4},\dfrac{9\pi }{4},...\;\text{and} \\
x &=&-\dfrac{3\pi }{4},-\dfrac{7\pi }{4},-\dfrac{11\pi }{4}
\end{eqnarray*}
As we know the $\tan x$ function is increasing at all points where it is
defined, all these points must be inflections points. (There is an infinity
of them.)
\begin{center}
\FRAME{itbpFU}{2.7259in}{1.5324in}{0in}{\Qcb{Many inflection points for $%
\sin x-\cos x$}}{}{}{\special{language "Scientific Word";type
"MAPLEPLOT";width 2.7259in;height 1.5324in;depth 0in;display "PICT";function
\TEXUX{$\sin x-\cos x$};linecolor "red";linestyle 1;linethickness
2;pointstyle "point";function
\TEXUX{$\MATRIX{2,2}{c}\VR{,,l,,,}{,,l,,,}{,,,,,}\HR{,,}\CELL{\dfrac{\pi
}{4}}\CELL{0}\CELL{\dfrac{\pi }{4}}\CELL{0}$};linecolor "blue";linestyle
1;linethickness 3;pointstyle "point";function
\TEXUX{$\MATRIX{2,2}{c}\VR{,,l,,,}{,,l,,,}{,,,,,}\HR{,,}\CELL{\dfrac{5\pi
}{4}}\CELL{0}\CELL{\dfrac{5\pi }{4}}\CELL{0}$};linecolor "blue";linestyle
1;linethickness 3;pointstyle "point";function
\TEXUX{$\MATRIX{2,2}{c}\VR{,,l,,,}{,,l,,,}{,,,,,}\HR{,,}\CELL{\dfrac{9\pi
}{4}}\CELL{0}\CELL{\dfrac{9\pi }{4}}\CELL{0}$};linecolor "blue";linestyle
1;linethickness 3;pointstyle "point";function
\TEXUX{$\MATRIX{2,2}{c}\VR{,,l,,,}{,,l,,,}{,,,,,}\HR{,,}\CELL{-\dfrac{3\pi
}{4}}\CELL{0}\CELL{-\dfrac{3\pi }{4}}\CELL{0}$};linecolor "blue";linestyle
1;linethickness 3;pointstyle "point";function
\TEXUX{$\MATRIX{2,2}{c}\VR{,,l,,,}{,,l,,,}{,,,,,}\HR{,,}\CELL{\dfrac{-7\pi
}{4}}\CELL{0}\CELL{\dfrac{-7\pi }{4}}\CELL{0}$};linecolor "blue";linestyle
1;linethickness 3;pointstyle "point";xmin "-10";xmax "10";xviewmin
"-10";xviewmax "10";yviewmin "-5";yviewmax "5";viewset"XY";rangeset"X";phi
45;theta 45;plottype 4;numpoints 49;axesstyle "normal";xis
\TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};}}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{%
maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type
"GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width
4.1943in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename
'/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}
\vspace{1pt}{\Large \ }
\subsection{\protect\vspace{1pt}Inflection Points --- Example}
\vspace{1pt}
\begin{example}
Find the inflection point of the function $f(x)=x^{3}-2x^{2}+x+1$.
\end{example}
\noindent \emph{Solution}~~Recall, $f^{\prime }\left( x\right) =\allowbreak
3x^{2}-4x+1$ and $f^{\prime \prime }\left( x\right) =\allowbreak 6x-4.$
Thus,\ $f^{\prime \prime }(x)=6\left( x-\dfrac{2}{3}\right) $, so that $x=%
\dfrac{2}{3}$ is a solution of the equation $f^{\prime \prime }(x)=0$. Since
$f^{\prime \prime }(x)$ is positive for $x>\dfrac{2}{3}$ and negative for $x<%
\dfrac{2}{3}$, the point $\left( \dfrac{2}{3},f\left( \dfrac{2}{3}\right)
\right) =\left( \dfrac{2}{3},\dfrac{29}{27}\right) $ is an inflection point.
It is the only inflection point, since $f(x)$ is concave up for all $x>\frac{%
2}{3}$ and concave down for all $x<\frac{2}{3}$, so that the concavity does
not change at any other value of $x$.
\begin{center}
\vspace{0in}\FRAME{itbpFU}{2.476in}{1.9277in}{0in}{\Qcb{$y=x^{3}-2x^{2}+x+1$}%
}{}{}{\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width
2.476in;height 1.9277in;depth 0in;display "PICT";function
\TEXUX{$x^{3}-2x^{2}+x+1$};linecolor "red";linestyle 1;linethickness
2;pointstyle "point";function \TEXUX{$\left( 2/3,29/27\right) $};linecolor
"black";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "circle";pointplot
TRUE;function
\TEXUX{$\MATRIX{2,2}{c}\VR{,,l,,,}{,,l,,,}{,,,,,}\HR{,,}\CELL{\dfrac{2}{3}}%
\CELL{\dfrac{29}{27}}\CELL{\dfrac{2}{3}}\CELL{\dfrac{29}{27}}$};linecolor
"blue";linestyle 1;linethickness 3;pointstyle "point";xmin "-2";xmax
"3";xviewmin "-2";xviewmax "3";yviewmin "-15";yviewmax
"15";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;plotticks
1;num-x-ticks 5;num-y-ticks 5;numpoints 49;axesstyle "normal";xis
\TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};}}
\vspace{0in}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"1.164";cropright "1";cropbottom "0.3862";filename
'/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}
\begin{example}
Find the inflection points of $f\left( x\right) =e^{2x}-x^{2}$
\end{example}
\emph{Solution.} First we differentiate to obtain $f^{\prime }\left(
x\right) =\allowbreak 2e^{2x}-2x$ and $f^{\prime \prime }\left( x\right)
=\allowbreak 4e^{2x}-2$. \ Now solve $f^{\prime \prime }\left( x\right) =0$%
\begin{eqnarray*}
\allowbreak 4e^{2x}-2 &=&0 \\
\allowbreak e^{2x} &=&\dfrac{1}{2} \\
x &=&-\frac{1}{2}\ln 2
\end{eqnarray*}
\CustomNote[{\fbox{\underline{Do you follow all the steps?}}}]{Margin Hint}{%
Let's add two more steps: Using properties of logarithms.
\par
\begin{eqnarray*}
\allowbreak 4e^{2x}-2=0 \\
\allowbreak e^{2x}=\dfrac{1}{2}\; \\
\ln \left( e^{2x}\right) =\ln \dfrac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;:\text{%
taking the log of both sides} \\
2x=\ln \left( \dfrac{1}{2}\right) =-\ln \left( 2\right) \;\ \text{:power
rule for logarithms} \\
x=-\dfrac{1}{2}\ln 2
\end{eqnarray*}%
} \ Now since $f^{\prime \prime }\left( x\right) $ is an increasing function
which is $0$ at $x=-\frac{1}{2}\ln 2,$ it follows that $x=-\frac{1}{2}\ln
2=\allowbreak -.\,\allowbreak 346\,8$ is an inflection point to the graph of
$f\left( x\right) $ \ $\allowbreak $
\begin{center}
\FRAME{itbpFU}{2.6109in}{1.9346in}{0in}{\Qcb{$e^{2x}-x^{2}$}}{}{}{%
\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 2.6109in;height
1.9346in;depth 0in;display "PICT";function \TEXUX{$e^{2x}-x^{2}$};linecolor
"red";linestyle 1;linethickness 2;pointstyle "point";function
\TEXUX{$\MATRIX{2,2}{c}\VR{,,l,,,}{,,l,,,}{,,,,,}\HR{,,}\CELL{-.\,%
\allowbreak 346\,5}\CELL{\allowbreak .\,\allowbreak
380\,}\CELL{-.\,\allowbreak 346\,5}\CELL{\allowbreak .\,\allowbreak
380\,}$};linecolor "blue";linestyle 1;linethickness 3;pointstyle
"point";xmin "-3";xmax "2";xviewmin "-2";xviewmax "1.5";yviewmin
"-4";yviewmax "8";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype
4;numpoints 49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};}}%
\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename
'/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}
\vspace{1pt}{\Large \ }
\subsection{\protect\vspace{1pt}Curve Sketching}
\vspace{1pt}
{\Large Finally}, it is possible to begin sketching curves. The important
features to identify in plotting any function are:
\begin{itemize}
\item
\begin{enumerate}
\item Intercepts
\item Relative extreme points
\item Concavity and inflection points
\end{enumerate}
\end{itemize}
\noindent
With the above points determined and a few plotted points, a fairly accurate
sketch can be produced. To sketch the graph of the (twice) differentiable
function $f\,(x)$:
\begin{itemize}
\item
\begin{enumerate}
\item Compute $f\,^{\prime }(x)$ and $f\,^{\prime \prime }(x)$.
\item Locate $x$-\emph{intercepts\/} by solving $\ f(x)=0$
\item Locate \emph{relative extreme points\/} from among the solutions of \ $%
f\,^{\prime }\left( x\right) =0$
\item Locate \emph{inflection points\/} from among the solutions of
\end{enumerate}
\end{itemize}
\[
f^{\prime \prime }(x)=0
\]
\
\vspace{0in}\FRAME{dtbpF}{5.2096in}{0.0761in}{0pt}{}{}{thckline.gif}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 5.2096in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 0pt;original-height 0pt;cropleft "0";croptop
"1.0946";cropright "1";cropbottom "0.4581";filename
'/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
Other geometric information about the graph of $f(x)$ is summarized below: \
\begin{quotation}
\qquad Increasing if $f^{\prime }(x)>0\medskip $\newline
\qquad Decreasing if $f^{\prime }(x)<0$\medskip
\qquad Concave up if $f^{\prime \prime }(x)>0\medskip $\newline
\qquad Concave down if $f^{\prime \prime }(x)<0$
\end{quotation}
\label{exa7}\FRAME{dtbpF}{5.2096in}{0.0761in}{0pt}{}{}{thckline.gif}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 5.2096in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 0pt;original-height 0pt;cropleft "0";croptop
"1.0946";cropright "1";cropbottom "0.4581";filename
'/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\begin{example}
Sketch the graph of the function $f(x)=81x^{4/3}-16$.
\end{example}
\noindent \emph{Solution}~~We first find the $x$-intercepts by solving the
equation $f(x)=0$. Hence,
\[
x^{4}=\left( \frac{16}{81}\right) ^{3}
\]
or $x=\pm \dfrac{8}{27}$. The $x$-intercepts are
\[
\left( -\dfrac{8}{27},0\right) \quad \text{and}\quad \left( \frac{8}{27}%
,0\right)
\]
The $y$-intercept is
\[
(0,f(0))=(0,-16)
\]
Next we determine the values of $x$ for which the function is increasing or
decreasing by using the first derivative:
\[
f^{\prime}(x) = 108x^{1/3}
\]
We have the following table:\bigskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
\textbf{Value of }$x$ & $x<0$ & $x>0$ \\ \hline
\textbf{Sign of }$f\,^{\prime }\left( x\right) $ & $-$ & $+$ \\ \hline
\end{tabular}
\bigskip
\end{center}
\noindent By The First Derivative Test, the function $f(x)$ is decreasing
for $x<0$ and increasing for $x>0$.
To locate extreme points, we solve the equation $f^{\prime }(x)=0$. The
solution is $x=0$. Since
\[
f^{\prime \prime }(x)=36x^{-2/3}>0
\]
if $x\neq 0$, we see that $f(x)$ is concave up for all $x\neq 0$. Hence,
\[
(0,f(0))=(0,-16)
\]
is a relative minimum point. The graph of this function is shown below for
positive $x$. Since $f$ is an
\CustomNote[{\frame{\underline{even}}}]{Margin Hint}{%
Recall, an even function $f\left( x\right) $ is a function that satisfies
\[
f\left( -x\right) =f\left( x\right)
\]
Therefore, it's graph is symmetric with respect to the $y$-axis.
\par
\begin{center}
\FRAME{itbpFU}{1.9233in}{1.2825in}{0in}{\Qcb{Even functions}}{}{}{%
\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 1.9233in;height
1.2825in;depth 0in;display "USEDEF";function \TEXUX{$x^{2}$};linecolor
"red";linestyle 1;linethickness 2;pointstyle "point";function
\TEXUX{$x^{4}-5x^{2}+3$};linecolor "blue";linestyle 1;linethickness
2;pointstyle "point";function \TEXUX{$8\cos 2x$};linecolor "green";linestyle
1;linethickness 2;pointstyle "point";xmin "-3";xmax "3";xviewmin
"-3";xviewmax "3";yviewmin "-16";yviewmax
"12";viewset"XY";rangeset"X";recompute TRUE;phi 45;theta 45;plottype
4;numpoints 49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};}}
\end{center}
} function of $x$, the plot of $f$ for negative $x$'s can be found by
reflecting the grapgh about the $y$ axis.\FRAME{dtbpFU}{1.8351in}{1.593in}{%
0pt}{\Qcb{$f\left( x\right) =81x^{4/3}-16$}}{}{graph1.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 1.8351in;height 1.593in;depth 0pt;original-width
126.0625pt;original-height 109.1875pt;cropleft "0";croptop "1";cropright
"1";cropbottom "0";filename
'/document/graphics/graph1.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\vspace{0in}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"1.164";cropright "1";cropbottom "0.3862";filename
'/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\vspace{0in}
\subsection{\protect\vspace{1pt}Curve Sketching --- \protect\vspace{1pt}%
Example}
\begin{example}
\vspace{1pt}Sketch the graph of the function $f(x)=x^{3}+3x^{2}+3x+1$.
\end{example}
\noindent \emph{Solution}~~To find the $x$-intercepts, we solve the equation
$f(x)=0$. But
\[
f(x)=x^{3}+3x^{2}+3x+1=(x+1)^{3}
\]
so the only $x$-intercept is $(-1,0)$. The $y$-intercept is $(0,f(0))=(0,1)$%
. Next, we compute the first and second derivatives:
\begin{eqnarray*}
f^{\prime }(x) &=&3(x+1)^{2} \\
f^{\prime \prime }(x) &=&6(x+1)
\end{eqnarray*}
The only solution of the equation $f^{\prime }(x)=0$ is $x=-1$, so the point
$(-1,f(-1))=(-1,0)$ is a possible extreme point. This point is also a
possible inflection point since $f^{\prime \prime }(-1)=0$. Construct the
table: \bigskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
\textbf{Value of }$x$ & $x<-1$ & $x>-1$ \\ \hline
\textbf{Sign of }$f\,^{\prime }\left( x\right) $ & $+$ & $+$ \\ \hline
\textbf{Sign of }$f\,^{^{\prime }\prime }\left( x\right) $ & $-$ & $+$ \\
\hline
\end{tabular}
\bigskip
\end{center}
\noindent Since $f^{\prime \prime }(x)$ change sign at $x=-1$, the \hyperref{%
Second Derivative Test 2}{}{}{./s.36.01.01.tex#test} says that the point $%
(-1,f(-1))$ is an inflection point. Since $f^{\prime }(x)>0$ for all $x\neq
-1$, the function is increasing for $x<-1$ and $x>-1$. Hence, the function
has no extreme point. The graph of this function is sketched below. $\hfill $
\begin{center}
\label{exa9}\FRAME{dtbpFU}{1.8299in}{1.8291in}{0pt}{\Qcb{$%
y=x^{3}+3x^{2}+3x+1 $}}{}{graph2.wmf}{\special{language "Scientific
Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file
"F";width 1.8299in;height 1.8291in;depth 0pt;original-width
125.6875pt;original-height 125.625pt;cropleft "0";croptop "1";cropright
"1";cropbottom "0";filename
'/document/graphics/graph2.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\vspace{0in}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"1.164";cropright "1";cropbottom "0.3862";filename
'/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}
\vspace{1pt}
\subsection{\protect\vspace{1pt}Curve Sketching --- \protect\vspace{1pt}%
Example}
\begin{example}
\vspace{1pt}Sketch the graph of the function
\[
f(x)=\sqrt{x-1}\quad \text{for}\quad x\geq 1
\]
\end{example}
\noindent \emph{Solution}~~Since the square root of a negative number is not
defined, the domain of $f(x)$ is restricted to $x\geq 1$. The $x$-intercept
is clearly $(1,0)$. Now, since
\[
f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}
\]
and
\[
f^{\prime \prime }(x)=\frac{-1}{4(x-1)^{3/2}}
\]
we note that $f^{\prime }(x)>0$ and $f^{\prime \prime }(x)<0$ for $x>1$.
Hence, the function is always increasing and concave down and, therefore,
does not have relative extreme points or inflection points. Its graph is
shown below.
\begin{center}
\vspace{1pt}\FRAME{dtbpFU}{2.4552in}{1.8299in}{0pt}{\Qcb{$y=\protect\sqrt{x-1%
}$}}{}{graph3.wmf}{\special{language "Scientific Word";type
"GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width
2.4552in;height 1.8299in;depth 0pt;original-width 169.25pt;original-height
125.6875pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'/document/graphics/graph3.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\vspace{0in}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"1.164";cropright "1";cropbottom "0.3862";filename
'/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}
\subsection{\protect\vspace{1pt}Concavity and Curve Sketching\protect\vspace{%
1pt} --- Exercises}
In Problems 1--4 show that the function is either always concave up or
always concave down. Determine the concavity.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=2x^{2}+1$
\item $f(x)=2-x-x^{2}$
\item $f(x)=4-3x^{2}$
\item $f(x)=10x^{2}+5x+1$ \newline
\noindent In Problems 5--14 find all values for which the function is
concave up and all values for which the function is concave down.
\item $f(x)=x^{3}+2x^{2}+x+3$
\item $f(x)=2x^{3}-x+7$
\item $f(x)=6-x^{3}$
\item $f(x)=7-x+x^{2}-x^{3}$
\item $f(x)=x^{3}-2x+10$
\item $f(x)=(x+1)^{3}+4$
\item $f(x)=x-1/x$
\item $f(x)=x+2+1/x$
\item $f(x)=2x^{2}-1+2/x$
\item $f(x)=2x^{2}+1-2/x$ \newline
\noindent In Problems 15--22 find all possible inflection points by solving
the equation $f^{\prime \prime }(x)=0$. Then determine whether they are
actually inflection points.
\item $f(x)=x^{3}+2x^{2}+4$
\item $f(x)=(x-1)^{3}-6$
\item $f(x)=8-x+2x^{2}-x^{4}$
\item $f(x)=2x^{4}-3x+5$
\item $f(x)=(x-1)^{4}+1$
\item $f(x)=2+3x+(x+1)^{4}$
\item $f(x)=x^{2}+1/x$
\item $f(x)=x^{2}-1/x$ \newline
\noindent In Problems 23--38 sketch the graph of the given function, showing
all relative maximum and minimum points, and inflection points.
\item $y=2x^{2}-x-1$
\item $y=3x^{2}-4x+1$
\item $y=3-2x-x^{2}$
\item $y=6-7x+x^{2}$
\item $y=8-9x^{2}$
\item $y=4-9x^{2}$
\item $y=1+2x^{2}$
\item $y=7+x^{2}$
\item $y=2x^{3}+2x^{2}-2x-1$
\item $y=x^{3}-3x^{2}-9x+1$
\item $y=4x-\dfrac{1}{2}x^{2}-x^{3}$
\item $y=6-13x+8x^{2}-x^{3}$
\item $y=3x^{5/3}-\dfrac{32}{81}$
\item $y=x^{1/3}+27$
\item $y=(x+1)^{3/2},\quad x\geq -1$
\item $y=\sqrt{2x-3},\quad x\geq \dfrac{3}{2}$ \newline
\noindent In Problems 39--46 find the absolute maximum and absolute minimum
points and sketch the graph of the function in the given interval.
\item $y=x^{2}-2x+3x,\quad \lbrack -1,4\rbrack $
\item $y=1-x^{2},\quad \lbrack 0,2\rbrack $
\item $y=x^{2}+x+2,\quad \lbrack -1,0\rbrack $
\item $y=4x^{2}+x-2,\quad \lbrack 1,3\rbrack $
\item $y=2x^{3}+3x^{2}+4,\quad \lbrack 0,2\rbrack $
\item $y=3x^{3}+9x^{2}+12x+1,\quad \lbrack -1,1\rbrack $
\item $y=x^{3}-6x^{2}+9x,\quad \lbrack 0,4\rbrack $
\item $y=x^{3}-3x+1,\quad \lbrack -1,3\rbrack $
\item The cost function derived for the production of steel-belted radial
tires is given by
\[
C(x)=7000+2700x+x^{3}
\]
Sketch the graph of this function. Remember that the relevant domain of this
function is $\lbrack 0,\infty )$.
\item The cost function for the printing of calculus books is given by
\[
C(x)=25,000+6x+0.001x^{2}
\]
where $x$ is the number of books printed. Sketch the graph of this function.
\item The profit function for the sale of leather jackets is given by
\[
P(x)=-2500+400x-x^{2}
\]
where $x$ is measured in units of 1000 jackets. Find the number of jackets
that yields the maximum profit. Sketch the graph of this function.
\item A major discount chain has discovered that the profit function for the
sale of video cassette recorders is given by
\[
P(x)=-4500+270,000x+1350x^{2}-x^{3}
\]
where $x$ is the number of recorders sold. Find the number of recorders that
yields the maximum profit and find the maximum profit. Sketch the graph of
this function.
\item A marketing analyst determined that the profit function for the sale
of $x$ units of her company's new court shoe, the Stuff Shot, is given by
\[
P(x)=-x^{3}+1275x^{2}+45,000x-15,000
\]
If the company plans to market no more than 1200 units, what is the
production level that maximizes profit?
\item For the profit function given in Problem 51, what is the maximum
profit realizable on the sale of any number of units?
\item Show that the function $y=2x^{2}+3$ has no $x$-intercept.
\item Show that the function $y=x^{2}+10$ has no $x$-intercept.
\item Show that the function $y=x^{3}+ax+b$, where $a>0$, does not have
extreme points.
\item Show that the function $y=ax^{3}+bx+c$, where $ab>0$, does not have
extreme points.
\item Show that any function of the form $y=x^{3}+bx^{2}+cx+d$ has an
inflection point. Find it.
\item Show that $(0,c)$ is an inflection point of the function $y=x^{3}+bx+c
$.
\item Sketch the graph of the function $f(x)$ with $y$-intercept (0,1) such
that $f^{\prime }(x)=1$ for all $x$. What is the $x$-intercept?
\item Sketch the graph of the function $g(x)$ with $x$-intercept (2,0) such
that $g^{\prime }(x)=-1$ for all $x$. What is the $y$-intercept?
\end{enumerate}
\begin{center}
\vspace{1pt}
\end{center}
\vspace{1pt}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/concavity.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/graphics/concaveupa.wmf %%%%%%%%%%%%%%%
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