%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Scientific Word Wrap/Unwrap Version 2.5 % % % % If you are separating the files in this message by hand, you will % % need to identify the file type and place it in the appropriate % % directory. The possible types are: Document, DocAssoc, Other, % % Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files % % tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file % % directory. Macro files go into your TeX macros directory. 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If it does find it.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \vspace{1pt} SOLUTION: \vspace{1pt}1) General solution to the DE. The auxiliary equation is \ \ $r^{2}-4=0;$ \ $r_{1,2}=\pm 2.$ \ \ \ \ =% \TEXTsymbol{>} \ \ $y_{g}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}.$ \vspace{1pt} 2) Particular solution to the DE. It is of the form \ $y_{p}(x)=Ax+B.$ =\TEXTsymbol{>} \ $L\lbrack y_{p}\rbrack (x)=0-4Ax-4B=4;$ there is no $x$ term, so $A=0$ and $4B=-4,$ hence $B=-1.$ \vspace{1pt} Consequently, the solution to the DE is $y(x)=$ $% y_{g}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}-1,$ which can be verified by Maple. Now we have to check if the BVP has a solution. Plug in the BC's. $y(0)=C_{1}+C_{2}-1=-1$ \ =\TEXTsymbol{>} $C_{1}=-C_{2}$ $y(1)=C_{1}e^{2}-C_{1}e^{-2}-1=-1$ \ =\TEXTsymbol{>} $\ C_{1}e^{2}=C_{1}e^{-2}$ \ and \ $e^{2}=e^{-2},$ which is false \qquad \qquad unless \ $C_{1}=0,\qquad $which means $\ C_{2}=0.$ \vspace{1pt} =\TEXTsymbol{>} \ The BVP has only the particular solution \ $y(x)=-1.$ \vspace{1pt} \paragraph{b) \ (10 points)} Are the functions $\sin x$ and $\sin 2x$ orthogonal on $\left[ 0,\pi \right] $ ? (Note: $\sin 2x=2\sin x\cos x$)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\ \ \ \vspace{1pt} SOLUTION: \ \ \ $\int_{0}^{\pi }\sin x\sin 2xdx=2\int_{0}^{\pi }\sin ^{2}x\cos xdx=2\int_{0}^{\pi }\sin ^{2}xd(\sin x)=2\frac{\sin ^{3}x}{3}% |_{0}^{\pi }=0$ =\TEXTsymbol{>} the functions are orthogonal on the given interval. \vspace{1pt} \subsection{Problem 2 \ (25 points)} \vspace{1pt} Find the eigenvalues and eigenfunctions for the problem: $\vspace{1pt}$ $y^{\prime \prime }+\lambda y=0,\qquad y(0)=0,\qquad y^{\prime }(0)=y^{\prime }(\pi )\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \ \ \ \ \qquad \ $ \vspace{1pt} Be sure to consider the cases $\lambda <0$, $\lambda =0$, and $\lambda >0$. \vspace{1pt} SOLUTION: Case 1. $\lambda =0;$ \ $r^{2}=0;$ \ $r_{1,2}=0$ \ =\TEXTsymbol{>} $% y=C_{1}+C_{2}x$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $y(0)=C_{1}=0;$ \ \ $y^{\prime }(0)=y^{\prime }(\pi )=C_{2}$ \ is not determined. \qquad \qquad =\TEXTsymbol{>} \ $y_{0}(x)=C_{0}x$ \ \ is a possible solution with eigenvalue \ $\lambda _{0}=0$ \vspace{1pt} Case 2. $\lambda <0,$ $\lambda =-b^{2}.$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $r^{2}=b^{2},$ \ $r_{1,2}=\pm b.$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $y=C_{1}e^{bx}+C_{2}e^{-bx};$ \ \ \ \ \ \ $y^{\prime }=bC_{1}e^{bx}-bC_{2}e^{-bx}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $y^{\prime }(0)=C_{1}b-C_{2}b=0=C_{1}-C_{2}$ \ =% \TEXTsymbol{>} \ $C_{1}=-C_{2}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $y^{\prime }(\pi )=bC_{1}e^{b\pi }+bC_{1}e^{-b\pi }=0=bC_{1}(e^{b\pi }-e^{-b\pi })$ \ =\TEXTsymbol{>} $C_{1}=0=C_{2}$, i.e., $y=0$ is the only solution, so there are no negative eigenvalues. \vspace{1pt} Case 3. \ $\lambda >0,$ $\lambda =b^{2}.$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $r^{2}=-b^{2},$ \ $r_{1,2}=\pm bi.$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $y=C_{1}\cos bx+C_{2}\sin bx,$ \ \ \ $y(0)=C_{1}=0$ \ \ =\TEXTsymbol{>} \ \ $y=C_{2}\sin bx$ and \ $y^{\prime }=C_{2}b\cos bx.$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $y^{\prime }(0)=y^{\prime }(\pi )$ \ =\TEXTsymbol{>} \ $C_{2}b\cos 0=C_{2}b\cos b\pi ,$ \ i.e., $\cos b\pi =\cos 0=1,$ \ $b=2n,$ $% n=0,1,2...,$ \ and\ \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} \lambda &=&b^{2}=4n^{2} \\ y_{0}(x) &=&C_{0}x \\ y_{n}(x) &=&C_{n}\sin 2nx \end{eqnarray*} \paragraph{\protect\vspace{1pt}} \paragraph{Problem 3 \ } \paragraph{a) \ (13 points)} Find the first four nonzero terms in the Fourier \emph{sine }series for \vspace{1pt} $f(x)=\left\{ \begin{array}{c} -2\text{ \ \ \ \ \ \ \ }0} \ $X^{\prime \prime }T=T^{\prime \prime }X;$ \ \ $\frac{X^{\prime \prime }}{X}=\frac{T^{\prime \prime }}{T}=K;$ \ $% X^{\prime \prime }-KX=0$ \ and \ $T^{\prime \prime }-KT=0.$ Now apply the BC's. $u(0,t)=X(0)T(t)=0$ $u^{\prime }(1,t)=X^{\prime }(1)T(t)=0$ That is, if we do not want the problem to be trivial, we shall assume $% T(t)\neq 0$ and hereby shall obtain the two BC's for $X(x)$ \begin{eqnarray*} X(0) &=&0 \\ X^{\prime }(1) &=&0 \end{eqnarray*} \vspace{1pt} Consider the familiar three cases for the values of $K$ in $X^{\prime \prime }-KX=0$ with the above BC's. \vspace{1pt} Case 1. $K=0.$ \ \lbrack Analogous to Problem 2, Case 1\rbrack\ Trivial case. Case 2. $K>0.$ \ \lbrack Analogous to Problem 2, Case 2, only here we have $% K>0,$ not $K<0$\rbrack . Trivial case. Case 3. $K<0,$ \ $K=-\beta ^{2}.$ $r_{1,2}=\pm \beta i$ $X(x)=C_{1}\cos \beta x+C_{2}\sin \beta x$ $X(0)=0=C_{1}\cos 0;$ \ \ $C_{1}=0$ \ =\TEXTsymbol{>} \ $X(x)=C_{2}\sin \beta x.$ $X^{\prime }(1)=C_{2}\beta \cos \beta =0$, \ $\beta =(2k+1)\frac{\pi }{2}$ \ =\TEXTsymbol{>} \ \begin{eqnarray*} K &=&-\beta ^{2}=-(2k+1)^{2}\frac{\pi ^{2}}{4} \\ X_{k}(x) &=&a_{k}\sin \left[ (2k+1)\frac{\pi }{2}x\right] \end{eqnarray*} \vspace{1pt} Now $T^{\prime \prime }-KT=0$ \ \TEXTsymbol{<}=\TEXTsymbol{>} \ $T^{\prime \prime }+(2k+1)^{2}\frac{\pi ^{2}}{4}T=0$ \ =\TEXTsymbol{>} \ $r_{1,2}=\pm (2k+1)\frac{\pi }{2}i.$ \vspace{1pt} \[ T_{k}(t)=C_{1}\cos (2k+1)\frac{\pi }{2}t+C_{2}\sin (2k+1)\frac{\pi }{2}t \] $u(x,t)=X(x)T(t)$ \vspace{1pt} \[ u(x,t)=a_{k}\sin \left[ (2k+1)\frac{\pi }{2}x\right] \left[ C_{1}\cos (2k+1)% \frac{\pi }{2}t+C_{2}\sin (2k+1)\frac{\pi }{2}t\right] \] $\vspace{1pt}$ $u(x,0)=0$ \ =\TEXTsymbol{>} the cosine part in $T(t)$ disappears, as the only way for the BC to be true is that $C_{1}=0$ . We also include $C_{2}$ into $a_{k}$, obtaining $b_{k}.$ \vspace{1pt} \[ u_{k}(x,t)=b_{k}\sin \left[ (2k+1)\frac{\pi }{2}x\right] \sin (2k+1)\frac{% \pi }{2}t \] \vspace{1pt} Thus\qquad \qquad \qquad $u\left( x,t\right) =\sum_{k=0}^{\infty }u_{k}(x,t)=\sum_{k=0}^{\infty }b_{k}\sin \left[ (2k+1)\frac{\pi }{2}% x\right] \sin (2k+1)\frac{\pi }{2}t$ \vspace{1pt} Now \begin{eqnarray*} u_{t}(x,t) &=&\sum_{k=0}^{\infty }b_{k}(2k+1)\frac{\pi }{2}\sin \left[ (2k+1)% \frac{\pi }{2}x\right] \cos (2k+1)\frac{\pi }{2}t \\ u_{t}(x,0) &=&\sum_{k=0}^{\infty }b_{k}(2k+1)\frac{\pi }{2}\sin \left[ (2k+1)% \frac{\pi }{2}x\right] , \end{eqnarray*} \vspace{1pt} From the IC =\TEXTsymbol{>} $u_{t}(x,0)=\sum_{k=0}^{\infty }b_{k}(2k+1)\frac{% \pi }{2}\sin \left[ (2k+1)\frac{\pi }{2}x\right] =-3\pi \sin \frac{3\pi }{2}x $ \vspace{1pt} These last two expressions are equal if we take $b_{1}=-2$, and all of the other $b_{i}$'s are set equal to zero. \vspace{1pt} Finally, \[ u(x,t)=-2\sin \left[ \frac{3\pi }{2}x\right] \sin \frac{3\pi }{2}t \] \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/94sex1_solutions.tex %%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/fourier_94sex1.bmp %%%%%%%%%%%%%%%%% Bud}gd@@@@@@@XC@@@@J@@@@tG@@@@Y@@@P@@`A@@@@@@@|II@`sN@@@X{@@@@@@@@@@@@@@                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            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