%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Scientific Word Wrap/Unwrap Version 2.5 % % % % If you are separating the files in this message by hand, you will % % need to identify the file type and place it in the appropriate % % directory. The possible types are: Document, DocAssoc, Other, % % Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files % % tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file % % directory. Macro files go into your TeX macros directory. Style % % files are used by Scientific Word and do not need to be extracted. % % Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a % % graphics directory. % % % % Graphic files need to be converted from the text format (this is % % done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Files included: % % % % "/document/95spex1_solutions.tex", Document, 9583, 2/15/1998, 1:49:58, ""% % "/document/fourier_95spex1.bmp", ImportPict, 600054, 2/15/1998, 1:32:34, ""% % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/95spex1_solutions.tex %%%%%%%%%%%%%%%% %% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.0 \documentclass[12pt,thmsa]{article} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{sw20jart} %TCIDATA{TCIstyle=article/art4.lat,jart,sw20jart} %TCIDATA{Created=Mon Aug 19 14:52:24 1996} %TCIDATA{LastRevised=Sat Feb 14 20:49:57 1998} %TCIDATA{Language=American English} %TCIDATA{CSTFile=Exam.cst} %TCIDATA{PageSetup=72,72,36,36,0} \input{tcilatex} \begin{document} \section{Ma 227\qquad Exam I\qquad Spring 1995} \subsection{Problem 1 \ (25 points)} Find the eigenvalues and eigenfunctions for the problem: $\vspace{1pt}$ $y^{\prime \prime }+\lambda y=0,\qquad y^{\prime }(0)=0,\qquad y^{\prime }(\pi )=0\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ $ \vspace{1pt} Be sure to consider the cases $\lambda <0$, $\lambda =0$, and $\lambda >0$. \vspace{1pt} SOLUTION: Case 1. $\lambda =0;$ \ $r^{2}=0;$ \ $r_{1,2}=0$ \ =\TEXTsymbol{>} $% y=C_{1}+C_{2}x$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $y^{\prime }(0)=C_{2}=$\ $y^{\prime }(\pi )=0,$ =% \TEXTsymbol{>} $C_{1}\in R$ \ \ The case is not necessarily trivial. \vspace{1pt} Case 2. $\lambda <0,$ $\lambda =-b^{2}.$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $r^{2}=b^{2},$ \ $r_{1,2}=\pm b.$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $y=C_{1}e^{bx}+C_{2}e^{-bx};$ \ \ \ \ \ \ $y^{\prime }=bC_{1}e^{bx}-bC_{2}e^{-bx}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $y^{\prime }(0)=C_{1}b-C_{2}b=0=C_{1}-C_{2}$ \ =% \TEXTsymbol{>} \ $C_{1}=-C_{2}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $y^{\prime }(\pi )=bC_{1}e^{b\pi }+bC_{1}e^{-b\pi }=0=bC_{1}(e^{b\pi }-e^{-b\pi })$ \ =\TEXTsymbol{>} $C_{1}=0=C_{2}$, i.e., a trivial case. \vspace{1pt} Case 3. \ $\lambda >0,$ $\lambda =b^{2}.$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $r^{2}=-b^{2},$ \ $r_{1,2}=\pm bi.$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $y=C_{1}\cos bx+C_{2}\sin bx,$ \ \ \ $% y=-bC_{1}\sin bx+bC_{2}\cos bx$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y^{\prime }(0)=C_{2}=0$ \ \ =\TEXTsymbol{>} \ \ $% y=C_{1}\cos bx$ and \ $y^{\prime }=-C_{1}b\sin bx.$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $y^{\prime }(0)=y^{\prime }(\pi )=0$ \ =\TEXTsymbol{>% } \ $-C_{1}b\sin 0=-C_{1}b\cos b\pi ,$ \ i.e., $\sin b\pi =\sin 0=0,$ \ $% b=n, $ $n=0,1,2...,$ \ and\ \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} \lambda &=&b^{2}=n^{2} \\ y_{n}(x) &=&C_{n}\cos nx \end{eqnarray*} \paragraph{\protect\vspace{1pt}} \subsection{\protect\vspace{1pt}Problem 2 \ } \paragraph{a) \ (13 points)} Find the first four nonzero terms in the Fourier \emph{cosine }series for \vspace{1pt} $f(x)=\left\{ \begin{array}{c} 1\text{ \ \ \ \ \ \ \ }0} $\sin \frac{n\pi }{2}=0.$ - $n$ is odd: $n=2k-1$ \ =\TEXTsymbol{>} $\sin \frac{(2k+1)\pi }{2}=\pm 1,$ $% k=0,1,2,...$ $\ \ $=\TEXTsymbol{>} \ $a_{n}=\frac{2(-1)^{k}}{(2k+1)\pi };$ \ $\vspace{1pt}$ $a_{0}=\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{\pi }1$ $\ dx=\frac{1}{2}$ $\ \ $=% \TEXTsymbol{>} FCS is \[ \frac{1}{2}+2\sum_{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)\pi }\cos \frac{% (2k+1)x}{2} \] \paragraph{\protect\vspace{1pt}} \paragraph{b) \ (12 points)} Sketch the graph of the function to which the Fourier series in (a) converges on $\ -2\pi } \ $XT^{\prime \prime }+X^{\prime \prime }T+XT=0$ $X(T^{\prime \prime }+T)+X^{\prime \prime }T=0$ $X(T^{\prime \prime }+T)=-X^{\prime \prime }T$ $-\frac{X^{\prime \prime }}{X}=\frac{T^{\prime \prime }}{T}+1=K$ \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} X^{\prime \prime }+KX &=&0 \\ T^{\prime \prime }-(K-1)T &=&0 \end{eqnarray*} \paragraph{\protect\vspace{1pt}} \paragraph{b) \ (14 points)} \subparagraph{\protect\vspace{1pt}i)} Are the functions $1$ and $x$ orthogonal on $\lbrack 0,1\rbrack $ ? Justify your conclusion. \vspace{1pt}\qquad $=\int_{0}^{1}1\cdot xdx=\frac{1}{2}\neq 0$ \ \ =\TEXTsymbol{>} \ the functions are not orthogonal on the given interval.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \subparagraph{ii)} Are the functions $1$ and $x$ orthogonal on $\lbrack -1,1\rbrack $ ? Justify your conclusion. \vspace{1pt} $=\int_{-1}^{1}1\cdot xdx=0$ \ \ the functions are orthogonal on the given interval. \subsection{\protect\vspace{1pt}} \subsection{Problem 4 \ (25 points)} Use the method of separation of variables to solve \vspace{1pt} P.D.E.\qquad $u_{xx}=u_{t}$ \vspace{1pt} B.Cs.\qquad $u(0,t)=0\qquad u_{x}(1,t)=0\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \ \ \ $ \vspace{1pt} I.C.\qquad $u(x,0)=-3\sin \frac{\pi }{2}x+12\sin \frac{9\pi }{2}x$ \vspace{1pt} You must derive the solution. \ Your solution should not have any arbitrary constants in it. \vspace{1pt} SOLUTION: \vspace{1pt} $u(x,t)=X(x)T(t)$ \ =\TEXTsymbol{>} \ $X^{\prime \prime }(x)T(t)=X(x)T^{\prime }(t)$ \ =\TEXTsymbol{>} \ $\frac{X^{\prime \prime }}{X% }=\frac{T^{\prime }}{T}=K$ \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} X^{\prime \prime }-KX &=&0 \\ T^{\prime }-KT &=&0 \end{eqnarray*} Now apply the BC's. $u(0,t)=X(0)T(t)=0$ $u_{x}(1,t)=X^{\prime }(1)T(t)=0$ We do not want the problem to be trivial, hence we shall assume $T(t)\neq 0$ and hereby shall obtain the two BC's for $X(x)$ \begin{eqnarray*} X(0) &=&0 \\ X^{\prime }(1) &=&0 \end{eqnarray*} \vspace{1pt} Consider the three cases for the values of $K$ in $X^{\prime \prime }-KX=0$ with the above BC's. \vspace{1pt} Case 1. $K=0.$ \ $r^{2}=0;$ \ $r_{1,2}=0$ \ =\TEXTsymbol{>} $y=C_{1}+C_{2}x$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\ X(0)=C_{1}=0;$ \ \ $X^{\prime }(1)=C_{2}=0,$ i.e., a trivial case. \vspace{1pt} Case 2. $K>0.$ $\ K=b^{2}.$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\ \ r^{2}=b^{2},$ \ $r_{1,2}=\pm b.$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $X(x)=C_{1}e^{bx}+C_{2}e^{-bx};$ \ \ \ \ \ \ $% X^{\prime }=bC_{1}e^{bx}-bC_{2}e^{-bx}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\ \ X(0)=C_{1}+C_{2}=0$ \ =\TEXTsymbol{>} \ $% C_{1}=-C_{2}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $X^{\prime }(1)=bC_{1}e^{b}+bC_{1}e^{-b}=0=bC_{1}(e^{b}-e^{-b})$ \ =\TEXTsymbol{>} $% C_{1}=0=C_{2}$, i.e., a trivial case again. Case 3. $K<0,$ \ $K=-\beta ^{2}.$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_{1,2}=\pm \beta i$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X(x)=C_{1}\cos \beta x+C_{2}\sin \beta x$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X(0)=0=C_{1}\cos 0;$ \ \ $C_{1}=0$ \ =\TEXTsymbol{>} \ $X(x)=C_{2}\sin \beta x.$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X^{\prime }(1)=C_{2}\beta \cos \beta =0$, \ $\beta =(2n+1)\frac{\pi }{2}$ \ =\TEXTsymbol{>} \ \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} K &=&-\beta ^{2}=-(2n+1)^{2}\frac{\pi ^{2}}{4} \\ X_{n}(x) &=&a_{n}\sin \left[ (2n+1)\frac{\pi }{2}x\right] \end{eqnarray*} \vspace{1pt} Now $T^{\prime }-KT=0$ \ \TEXTsymbol{<}=\TEXTsymbol{>} \ $T^{\prime }+(2n+1)^{2}\frac{\pi ^{2}}{4}T=0$ \ =\TEXTsymbol{>} \ after solving the 1$^{% \text{st }}$order LDU \vspace{1pt} \[ T_{n}(t)=C_{n}e^{-\frac{\pi ^{2}}{4}t(2n+1)^{2}} \] $u(x,t)=X(x)T(t)$ \vspace{1pt} \[ u_{n}(x,t)=a_{n}\sin \left[ (2n+1)\frac{\pi }{2}x\right] \left[ C_{n}e^{-% \frac{\pi ^{2}}{4}t(2n+1)^{2}}\right] \] $\vspace{1pt}$ We include $C_{n}$ into $a_{n}$, obtaining $b_{n}.$ \vspace{1pt} \[ u_{n}(x,t)=b_{n}e^{-\frac{\pi ^{2}}{4}t(2n+1)^{2}}\sin \left[ (2n+1)\frac{% \pi }{2}x\right] \] \vspace{1pt} Thus $\ \ u\left( x,t\right) =\sum_{n=0}^{\infty }u_{n}(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}e^{-\frac{\pi ^{2}}{4}t(2n+1)^{2}}\sin \left[ (2n+1)\frac{\pi }{2}x\right] $ \vspace{1pt} Now, applying the IC, \[ u(x,0)=\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}\sin \left[ (2n+1)\frac{\pi }{2}x\right] . \] \vspace{1pt} \vspace{1pt} >From the IC =\TEXTsymbol{>} $u(x,0)=b_{1}\sin \frac{\pi }{2}x+b_{4}\sin \frac{9\pi }{2}x$, i.e., $b_{0}=-3$ and $b_{4}=12$. All other $b_{i}$'s are equal to zero. \vspace{1pt} \begin{itemize} \item Finally, \[ u(x,t)=-3\sin \left( \frac{\pi }{2}x\right) e^{-\frac{\pi ^{2}}{4}t}+12\sin \left( 9\frac{\pi }{2}x\right) e^{-\frac{81\pi ^{2}}{4}t} \] \end{itemize} - \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/95spex1_solutions.tex %%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/fourier_95spex1.bmp %%%%%%%%%%%%%%%%% Bud}gd@@@@@@@XC@@@@J@@@@tG@@@@Y@@@P@@`A@@@@@@@|II@`sN@@@X{@@@@@@@@@@@@@@                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   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