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%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 2.5             %
%                                                                     %
% If you are separating the files in this message by hand, you will   %
% need to identify the file type and place it in the appropriate      %
% directory.  The possible types are: Document, DocAssoc, Other,      %
% Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files      %
% tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file    %
% directory.  Macro files go into your TeX macros directory. Style    %
% files are used by Scientific Word and do not need to be extracted.  %
% Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a       %
% graphics directory.                                                 %
%                                                                     %
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% Files included:                                                     %
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%% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.0


\documentclass[12pt,thmsa]{article}
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\usepackage{sw20jart}

%TCIDATA{TCIstyle=article/art4.lat,jart,sw20jart}

%TCIDATA{Created=Mon Aug 19 14:52:24 1996}
%TCIDATA{LastRevised=Mon Apr 27 12:51:09 1998}
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%TCIDATA{PageSetup=72,72,36,36,0}

\input{tcilatex}
\begin{document}


\section{Ma 227\qquad \qquad Exam II\qquad \qquad Spring 1998}

\subsection{Problem 1}

\paragraph{(20 points)}

Give two expressions for the $\int \int_{D}xy\;dA$ where \textit{D} is the
region in the figure below. Do \textit{not }evaluate the expressions.

\vspace{1pt}\qquad \qquad \FRAME{dtbpF}{2.2658in}{2.1741in}{0pt}{}{}{%
img00002.gif}{\special{language "Scientific Word";type
"GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width
2.2658in;height 2.1741in;depth 0pt;original-width 164.875pt;original-height
158.0625pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'/document/img00002.gif';file-properties "XNPEU";}}

\paragraph{\protect\vspace{1pt}SOLUTION}

First, let's integrate with respect to $y$ and then with respect to $x$. \
Given that $\ y=x^{2}$ and $y=\sqrt{x}$, we can find the point of
intersection of these functions by setting the two functions equal to one
another. So, we have $\sqrt{x}=x^{2}$. \ Solving for $x$ \ we find that $x=1$%
. \ When $x=1$, $\ y=1$. \ Therefore, the point of intersection is $(1,1)$.
\ Now we can write the intergral of the region \textit{\ D} as:

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\dint_{0}^{1}\dint_{x^{2}}^{\sqrt{x}}xy\;dydx$
\end{center}

Second, let's integrate with respect to $x$ and then with respect to $y$. \
Since $y=\sqrt{x}$, this implies that $x=y^{2}$. \ Similarly, \ $y=x^{2}$,
implies that $x=\sqrt{y}$. \ We already found the point of intersection,
namely $(1,1)$. \ So we can write the integral of the region \textit{D} as:

\begin{center}
$\dint_{0}^{1}\dint_{y^{2}}^{\sqrt{y}}xy\;dxdy$

\vspace{1pt}
\end{center}

\subsection{Problem 2}

\paragraph{\ (20 points)}

Give two expressions for the area of the region bounded by $y=x-6$ and $%
y^{2}=x$. \ Be sure to sketch \textit{R.} \ Do\textit{\ not }evaluate these
expressions.

\paragraph{SOLUTION\protect\vspace{1pt}}

First, let's sketch the region \textit{R.}

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{2.9715in}{1.9908in}{0pt}{}{}{eqp5d600.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 2.9715in;height 1.9908in;depth
0pt;original-width 216.8125pt;original-height 144.5625pt;cropleft
"0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'/document/EQP5D600.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

Now, let's integrate with respect to x and then with respect to y. \ We are
given that $y^{2}=x$. \ Since $y=x-6$, this implies that $x=y+6$. \ Next, we
must find the point of intersection of these two functions by setting the
two functions equal to one another. \ So, we have $y^{2}=y+6$. \ Solving for 
$y$, we find that \ $y=-2$ and $y=3$. \ We can write our integral as:

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\int_{-2}^{3}\int_{y^{2}}^{y+6}dxdy$
\end{center}

Now, let's integrate with respect to y and then with respect to x. \ We are
given that $y=x-6$. $\ $Since $y^{2}=x$, we know that $y=\pm \sqrt{x}$ . \
When $y=-2,x=4$ and when $y=3,$ $x=9$. \ This integral must be split along
the $x-axis$. \ We can write our integral as:

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\int_{0}^{4}\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}dydx\;+\int_{4}^{9}\int_{x-6}^{\sqrt{%
x}}dydx$
\end{center}

\QTP{Body Math}
$\vspace{1pt}$

\subsection{PROBLEM 3}

\paragraph{(20 points)}

Give the expression in \textit{cylindrical} coordinates for the volume of
the solid inside both the cylinder $x^{2}+y^{2}=4$ and the ellipsoid $%
4x^{2}+4y^{2}+z^{2}=64$. \ Sketch the part of the volume in the first
octant. \ Do \textit{not} evaluate this expression.

\vspace{1pt}

\paragraph{SOLUTION}

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{2.3679in}{2.348in}{0pt}{}{}{img00006a.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 2.3679in;height 2.348in;depth
0pt;original-width 172.375pt;original-height 170.875pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'/document/img00006a.bmp';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}

The ellipsoid \ intersects the $x,y$-plane in the circle $x^{2}+y^{2}=16$. \
Thus, our region is bounded by the circle $x^{2}+y^{2}=4$. \ So , in polar
coordinates we have the equation $r=2$. \ Next, we can solve the equation of
the ellipsoid $4x^{2}+4y^{2}+z^{2}=64$ \ for $z$, i.e., $z=\pm 2\sqrt{%
-x^{2}-y^{2}+16}$ which can be rewritten in polar coordinates as $z=\pm 2%
\sqrt{16-r^{2}}$. \ The volume of the solid can now be wriiten as:

\[
2\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2}\int_{0}^{+2\sqrt{16-r^{2}}}rdzdrd\theta 
\]

\subsection{Problem 4}

\paragraph{(20 points)}

Evaluate $\int_{C}\overrightarrow{F}\bullet \overrightarrow{dr}$ , where $%
\overrightarrow{F}=xy\overrightarrow{i}+(x-y)\overrightarrow{j}$ and $C$
consists of\ the line segments from $(0,0)$ and $(2,0)$ and from $(2,0)$ to $%
(3,2)$.

\vspace{1pt}

\paragraph{SOLUTION}

We have to parametrize $\overrightarrow{F}$ and $\overrightarrow{r}$ first.

$x=(x_{1}-x_{0})t+x_{0}$

$y=(y_{1}-y_{0})t+y_{0}$

Let $C_{1}$be the segment from $(0,0)$ to $(2,0)$. \ Here $x=2t$ and $y=0$.
\ This implies that $dx=2dt$ and $dy=0$

Then

\begin{center}
$\overrightarrow{F}=0\overrightarrow{i}+(2t-0)\overrightarrow{j}=2t%
\overrightarrow{j}.$

$\overrightarrow{r}=x(t)\overrightarrow{i}+y(t)\overrightarrow{j}=2t%
\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}$

$d\overrightarrow{r}=2dt\overrightarrow{i}$
\end{center}

\vspace{1pt}

Next, 
\[
\overrightarrow{F}\bullet \overrightarrow{dr}=2t\overrightarrow{j}\cdot (2dt%
\overrightarrow{i})=0 
\]

\vspace{1pt}

Integrate now:

\begin{center}
$
\begin{array}{l}
\int_{C_{1}}\overrightarrow{F}\bullet \overrightarrow{dr}=\int_{0}^{1}0%
\;dt=0.
\end{array}
$
\end{center}

Let $C_{2\text{ }}$be the segment from $(2,0)$ to $(3,2)$ we have $x=t+2$
and $y=2t$. \ This implies that $dx=dt$ and $dy=2dt$

Then

\begin{center}
$\overrightarrow{F}=(t+2)(2t)\overrightarrow{i}+(t+2-2t)\overrightarrow{j}%
=(2t^{2}+4t)\overrightarrow{i}+(2-t)\overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{r}=x(t)\overrightarrow{i}+y(t)\overrightarrow{j}=(t+2)%
\overrightarrow{i}+2t\overrightarrow{j}$

$d\overrightarrow{r}=dt\overrightarrow{i}+2dt\overrightarrow{j}$
\end{center}

Next,

\begin{center}
$\overrightarrow{F}\bullet \overrightarrow{dr}=((2t^{2}+4t)\overrightarrow{i}%
+(2-t)\overrightarrow{j})\cdot (dt\overrightarrow{i}+2dt\overrightarrow{j}%
)=(2t^{2}+4t)dt+2(2-t)dt$
\end{center}

Integrate now:

\begin{center}
$\int_{C_{2}}\overrightarrow{F}\bullet \overrightarrow{dr}%
=\int_{0}^{1}(2t^{2}+4t)dt+\int_{0}^{1}2(2-t)dt=\frac{8}{3}+3=\frac{17}{3}$
\end{center}

Finally,

\begin{center}
$\int_{C}\overrightarrow{F}\bullet \overrightarrow{dr}=\int_{C_{1}}%
\overrightarrow{F}\bullet \overrightarrow{dr}$ $\ +\int_{C_{2}}%
\overrightarrow{F}\bullet \overrightarrow{dr}=0+(\frac{17}{3})=\frac{17}{3}$
\end{center}

\subsection{PROBLEM 5}

\paragraph{(20 points)}

Show that $\int_{C}\overrightarrow{F}\bullet \overrightarrow{dr}$ where $%
\overrightarrow{F}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$ is path
independent. \ Now evaluate the line integral when $C$ is the arc of
parabola $y=x_{{}}^{2}$from $(-1,1)$ to $(3,9)$.

\vspace{1pt}

\paragraph{SOLUTION}

\vspace{1pt}

$curl\overrightarrow{\,F}=\left( 
\begin{array}{lll}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 
\frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial 
}{\partial z} \\ 
x & y & 0
\end{array}
\right) =0$

Since $curl\,\overrightarrow{F\,}=0$, we know that $\overrightarrow{F}$ is
path independent. Or since we are in two dimensions and $P=x,Q=y,$ we have
that $P_{y}=Q_{x}=0.$

Now, let's evaluate the line integral. Since $\overrightarrow{F}$ is path
independent, there is a $\nabla f$, such that $\nabla f=\,\overrightarrow{F\,%
}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$.

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\nabla f=f_{x}\overrightarrow{i}+f_{y}\overrightarrow{j}=x\overrightarrow{i}%
+y\overrightarrow{j}$
\end{center}

which implies that $f_{x}=x$ , $f_{y}=y.$

\vspace{1pt}

\begin{center}
$f=\int x\;dx=\frac{x^{2}}{2}+h\left( y\right) $
\end{center}

Differentiate $f$ with respect to $y$ and then differentiate $f$ with
respect to $z$.

\begin{center}
$f_{y}=h^{\prime }\left( y\right) =y$
\end{center}

Hence $h\left( y\right) $ $=\frac{y^{2}}{2}$\vspace{1pt}$+K$

Finally,

\begin{center}
$f=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+K$.

$\int_{C}\overrightarrow{F}\bullet \overrightarrow{dr}=\int_{C}\nabla f\cdot
dr=f(b)-f(a)=f(3,9)-f(-1,1)=45-1=44$.

\qquad
\end{center}

\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/98spex2_solutions.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%

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