\hfill \thepage} %} \newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement} \newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm} \newtheorem{case}[theorem]{Case} \newtheorem{claim}[theorem]{Claim} \newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion} \newtheorem{condition}[theorem]{Condition} \newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion} \newtheorem{notation}[theorem]{Notation} \newtheorem{problem}[theorem]{Problem} \newtheorem{solution}[theorem]{Solution} \newtheorem{summary}[theorem]{Summary} \newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}} \input{tcilatex} \begin{document} \section{Ma 227} \subsection{The Directional Derivative and the Gradient} \vspace{1pt}Let $\Phi \left( x,y,z\right) $ be a scalar function with first partial derivatives $\Phi _{x},\Phi _{y},$ and $\Phi _{z}$ in some region of $x,y,z-$space. Let $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ be the vector drawn from the origin to the point $P=\left( x,y,z\right) .$ Suppose that we move from $P$ to a nearby point $Q=\left( x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z\right) .$ \begin{center} \FRAME{dtbpF}{3.2993in}{2.0764in}{0pt}{}{}{r_delta_r.bmp}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.2993in;height 2.0764in;depth 0pt;original-width 13.3337in;original-height 9.1878in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename '/document/graphics/r_delta_r.bmp';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \end{center} Then $\Phi $ will change by an amount $\Delta \Phi $ where \vspace{1pt} \[ \Delta \Phi =\Phi _{x}\Delta x+\Phi _{y}\Delta y+\Phi _{z}\Delta z+\epsilon _{1}\Delta x+\epsilon _{2}\Delta y+\epsilon _{3}\Delta z \] \vspace{1pt} where $\epsilon _{1},\epsilon _{2},$ and $\epsilon _{3}\rightarrow 0$ as the point $Q\rightarrow P.$ If we divide the change $\Delta \Phi $ by the distance $\Delta s=\left| \Delta \vec{r}\right| $ between $P$ and $Q$, we obtain a measure of the rate at which $\Phi $ changes when we move from $P$ to $Q:$ \vspace{1pt} \[ \dfrac{\Delta \Phi }{\Delta s}=\Phi _{x}\frac{\Delta x}{\Delta s}+\Phi _{y}% \frac{\Delta y}{\Delta s}+\Phi _{z}\frac{\Delta z}{\Delta s}+\epsilon _{1}% \frac{\Delta x}{\Delta s}+\epsilon _{2}\frac{\Delta y}{\Delta s}+\epsilon _{3}\frac{\Delta z}{\Delta s} \] \vspace{1pt} \paragraph{Example:} If $\Phi \left( x,y,z\right) $ represents the temperature at any point $% P\left( x,y,z\right) $ then $\frac{\Delta \Phi }{\Delta s}$ is the average rate of change in temperature per unit length at the point $P$ in the direction in which $\Delta s$ is measured. \vspace{1pt} The limiting value of $\frac{\Delta \Phi }{\Delta s}$ as $\Delta s\rightarrow 0,$ that is, as $Q\rightarrow P$ along the segment $PQ,$ is called the derivative of $\Phi $ in the direction $PQ$ or simply the \emph{% directional derivative} of $\Phi .$ Since $\epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3}\rightarrow 0$ as $Q\rightarrow P,$ we have that \vspace{1pt} \[ \dfrac{d\Phi }{ds}=\dfrac{\partial \Phi }{\partial x}\dfrac{dx}{ds}+\dfrac{% \partial \Phi }{\partial y}\dfrac{dy}{ds}+\dfrac{\partial \Phi }{\partial z}% \dfrac{dz}{ds} \] \vspace{1pt} \vspace{1pt}The first factor in each term of the products in the expression above for the directional derivative depend only on $\Phi $ and the point $P.$ The second factors in the products are independent of $\Phi $ and depend on the direction in which the derivative is being computed. We may rewrite the expression above in the form \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} \dfrac{d\Phi }{ds} &=&\left( \Phi _{x}\vec{i}+\Phi _{y}\vec{j}+\Phi _{z}\vec{% k}\right) \cdot \left( \dfrac{dx}{ds}\vec{i}+\dfrac{dy}{ds}\vec{j}+\dfrac{dz% }{ds}\vec{k}\right) \\ &=&\left( \Phi _{x}\vec{i}+\Phi _{y}\vec{j}+\Phi _{z}\vec{k}\right) \cdot \dfrac{d\vec{r}}{ds} \end{eqnarray*} \vspace{1pt} The vector $\Phi _{x}\vec{i}+\Phi _{y}\vec{j}+\Phi _{z}\vec{k}$ is known as the \emph{gradient} of $\Phi $ or $grad\Phi .$ Thus \[ grad\Phi =\Phi _{x}\vec{i}+\Phi _{y}\vec{j}+\Phi _{z}\vec{k} \] \vspace{1pt} The notation $\nabla \Phi $ is often used for $grad\Phi .$ In this notation the operator $\nabla $ is defined as \[ \nabla =\vec{i}\dfrac{\partial }{\partial x}+\vec{j}\dfrac{\partial }{% \partial y}+\vec{k}\dfrac{\partial }{\partial z} \] \vspace{1pt} \paragraph{Example:} Let $\Phi \left( x,y,z\right) =xyz+3x^{4}y^{2}z^{3}.$ Then $\nabla \Phi =\left( yz+12x^{3}y^{2}z^{3}\right) \vec{i}+\left( xz+6x^{4}yz^{3}\right) \vec{j}+\left( xy+9x^{4}y^{2}z^{2}\right) $ \vspace{1pt} \paragraph{Example:} We may use SNB to find the gradient of a function. However, SNB writes vectors as ordered triples instead of the form given in the previous example. Thus $\nabla \left( xyz+3x^{4}y^{2}z^{3}\right) =\allowbreak \left( yz+12x^{3}y^{2}z^{3},xz+6x^{4}yz^{3},xy+9x^{4}y^{2}z^{2}\right) \allowbreak $ \vspace{1pt} With this notation we may write the directional derivative of $\Phi $ in the form \vspace{1pt} \[ \frac{d\Phi }{ds}=grad\Phi \cdot \dfrac{d\vec{r}}{ds}=\nabla \Phi \cdot \frac{d\vec{r}}{ds} \] Remark: Since $\Delta s$ is the length of $\Delta \vec{r}$ then $\dfrac{% \Delta \vec{r}}{\Delta s}$ and hence $\dfrac{d\vec{r}}{ds}$ are unit vectors. Therefore, $\nabla \Phi \cdot \frac{d\vec{r}}{ds}$ is the projection of \ $grad\Phi $ in the direction of $\dfrac{d\vec{r}}{ds}.$ Thus $\nabla \Phi $ has the property that its projection in any direction is equal to the derivative of $\Phi $ in that direction. Since the maximum projection of a vector is the vector itself, it is clear that $grad\Phi $ extends in the direction of the greatest rate of change of $\Phi $ and has that rate of change for its length. \begin{center} \FRAME{dtbpF}{3.039in}{2.2632in}{0pt}{}{}{project_grad.bmp}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.039in;height 2.2632in;depth 0pt;original-width 3.8752in;original-height 2.8746in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename '/document/graphics/project_grad.bmp';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \paragraph{Example:} What is the directional derivative of the function $\Phi =xy^{2}+yz^{3}$ at $% \left( 2,-1,1\right) $ in the direction of the vector $\vec{i}+2\vec{j}+2% \vec{k}$ ? \ $\nabla \left( xy^{2}+yz^{3}\right) =\allowbreak \left( y^{2},2xy+z^{3},3yz^{2}\right) $ and a unit vector in the given direction is $\dfrac{1}{3}\left( 1,2,2\right) .$ Thus $\dfrac{d\Phi }{ds}=\left( y^{2},2xy+z^{3},3yz^{2}\right) \cdot \dfrac{1}{3}% \left( 1,2,2\right) =\allowbreak \frac{1}{3}y^{2}+\frac{4}{3}xy+\frac{2}{3}% z^{3}+2yz^{2}$ Hence \vspace{1pt}$\left. \dfrac{d\Phi }{ds}\right| _{\left( 2,-1,1\right) }=\frac{% 1}{3}\left( -1\right) ^{2}+\frac{4}{3}\left( 2\right) \left( -1\right) +% \frac{2}{3}\left( 1\right) ^{3}+2\left( -1\right) \left( 1\right) ^{2}=\allowbreak -\frac{11}{3}.$ \vspace{1pt} \begin{remark} \vspace{1pt}There is a very nice discussion of the gradient at %TCIMACRO{% %\hyperref{Gradient}{}{}{http://links.math.rpi.edu/devmodules/gradient/}}% %BeginExpansion \msihyperref{Gradient}{}{}{http://links.math.rpi.edu/devmodules/gradient/}% %EndExpansion . There is a discussion of the gradient as well as a couple of very nice Java applets. This site was done at RPI. \end{remark} \vspace{1pt} Let us now consider the operator $\nabla =\overrightarrow{i}\frac{\partial }{% \partial x}+\overrightarrow{j}\frac{\partial }{\partial y}+\overrightarrow{k}% \frac{\partial }{\partial z}$. Given any other vector $\overrightarrow{F}% =F_{1}\overrightarrow{i}+F_{2}\overrightarrow{j}+F_{3}\overrightarrow{k}$ where $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}(x,y,z)$ we can consider $\nabla \cdot \overrightarrow{F}$, called the \emph{divergence} of $\overrightarrow{F% }$, and $\nabla \times \overrightarrow{F}$, called the \emph{curl }$% \overrightarrow{F}$ \vspace{1pt} \[ \nabla \cdot \overrightarrow{F}=\left( \overrightarrow{i}\frac{\partial }{% \partial x}+\overrightarrow{j}\frac{\partial }{\partial y}+\overrightarrow{k}% \frac{\partial }{\partial z}\right) \cdot \left( F_{1}\overrightarrow{i}% +F_{2}\overrightarrow{j}+F_{3}\overrightarrow{k}\right) =\dfrac{\partial F_{1}}{\partial x}+\dfrac{\partial F_{2}}{\partial y}+\dfrac{\partial F_{3}}{% \partial z}=div\overrightarrow{F} \] \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} \nabla \times \overrightarrow{F} &=&curl\overrightarrow{F}=\left( \overrightarrow{i}\frac{\partial }{\partial x}+\overrightarrow{j}\frac{% \partial }{\partial y}+\overrightarrow{k}\frac{\partial }{\partial z}\right) \times \left( F_{1}\overrightarrow{i}+F_{2}\overrightarrow{j}+F_{3}% \overrightarrow{k}\right) \\ &=&\left( \dfrac{\partial F_{3}}{\partial y}-\dfrac{\partial F_{2}}{\partial z}\right) \overrightarrow{i}+\left( \dfrac{\partial F_{1}}{\partial z}-% \dfrac{\partial F_{3}}{\partial x}\right) \overrightarrow{j}+\left( \dfrac{% \partial F_{2}}{\partial x}-\dfrac{\partial F_{1}}{\partial y}\right) \overrightarrow{k} \\ &=&\left\vert \begin{array}{lll} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ F_{1} & F_{2} & F_{3}% \end{array}% \right\vert . \end{eqnarray*} \vspace{1pt} \begin{example} Let $\vec{F}=2x\vec{i}+3y^{2}\vec{j}+2xz\vec{k}.$ Find $\nabla \cdot \vec{F}$ and $\nabla \times \vec{F}$\- \end{example} \vspace{1pt}% \[ div\vec{F}=2+6y+2z \] \[ \nabla \times \vec{F}=\left\vert \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ 2x & 3y^{2} & 2xz% \end{array}% \right\vert =0\vec{i}+0\vec{j}+0\vec{k}-0\vec{k}-0\vec{i}-2z\vec{j} \] \qquad \qquad \qquad \qquad \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/grad_dir_deriv.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/graphics/r_delta_r.bmp %%%%%%%%%%%%%%% BuDzdQ@@@@@@@XC@@@@J@@@@IF@@@PO@@@P@@`A@@@@@@@@@@@`DK@@@Rl@@@@@@@@@@@@@@ @| Cp O@ @| Cp O@ @| Cp O@ @| Cp _}w_}w_}w_}GtPC} O@ @@@@@@@@@@@@@@@@aFZh @| C@@@@@@@@@@@@@@@DZha~ Cp O@@@@@@@@@@@@@@@PhaFz O@ @@@@@@@@@@@@@@@@aFZh @| C@@@@@@@@@@@@@@@DZha~ Cp O@@@@@@@@@@@@@@@PhaFz O@ @@@@@@@@@@@@@@@@aFZh @| C@@@@@@@@@@@@@@@@IdP~ Cp O@@@@@@@@@@@@@@@p_}w O@ @@@@@@@@@@@@@@@@TQEU @| C@@@@@@@@@@@@@@@tQG]ho~z Cp O@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@aDRx_yeW^xaG~ O@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@eTRI{lsNH`@B{mw^ @| C@@@@@@@@@@@@@@@tQG]@@@@@@@@@@@@@@@@TRIe| Cp O@@@@@@@@@@@@@@@`mvZKADP@@@@@@@@@@@@@@@@pqG_| O@ 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