\thepage } %} \newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement} \newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm} \newtheorem{case}[theorem]{Case} \newtheorem{claim}[theorem]{Claim} \newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion} \newtheorem{condition}[theorem]{Condition} \newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion} \newtheorem{notation}[theorem]{Notation} \newtheorem{problem}[theorem]{Problem} \newtheorem{solution}[theorem]{Solution} \newtheorem{summary}[theorem]{Summary} \newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}} \input{tcilatex} \begin{document} \subsection*{Ma 227 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Exam III Solutions\hfill 4/24/02} \subsection*{{\protect\normalsize Name: \protect\underline{\hspace{2.5in}} \hfill ID: \protect\underline{\hspace{2.0in}}}} \subsection*{{\protect\normalsize Lecture Section: \protect\underline{% \hspace{2.5in}} \hfill \hspace{2in}}} \hfill {\small \textit{I pledge my honor that I have abided by the Stevens Honor System.}\hspace{2pt}\hfill\underline{\hspace{2.0in}}} \hfill {\small \textbf{SHOW ALL WORK! You may not use a calculator on this exam.}} \begin{description} \item[{1a [20 pts.]}] Show that \begin{equation*} \vec{F}\left( x,y\right) =\sin y\vec{i}+\left( x\cos y+\sin y\right) \vec{j} \end{equation*} \end{description} is a conservative vector field and find a function $f$ such that $\vec{F}% =\nabla f.$ \QTR{blue}{Solution:} Since $\vec{F}$ has no $\vec{k}$ component and \begin{equation*} \frac{\partial \left( \sin y\right) }{\partial y}=\cos y=\frac{\partial \left( x\cos y+\sin y\right) }{\partial x} \end{equation*} then $\vec{F}$ is conservative. (Alternately, one can show that $curl\vec{F}% =0.).$ Thus there exists a function $f\left( x,y\right) $ such that \begin{equation*} f_{x}=\sin y\text{ \ \ and \ }f_{y}=\left( x\cos y+\sin y\right) \end{equation*} >From $f_{x}$ we have \begin{equation*} f\left( x,y\right) =x\sin y+g\left( y\right) \end{equation*} so% \begin{equation*} f_{y}=x\cos y+h^{\prime }\left( y\right) =x\cos y+\sin y \end{equation*} Therefore% \begin{equation*} h\left( y\right) =-\cos y+C \end{equation*} so% \begin{equation*} f\left( x,y\right) =x\sin y-\cos y+C \end{equation*} \begin{description} \item[{1b [5 pts.]}] What can you say about \begin{equation*} \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} \end{equation*} \end{description} Where $\vec{F}$ is the vector function in part a and $C$ is the ellipse $% \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$? Since $\vec{F}$ is a conservative force field and $C$ is a closed curve, then \vspace{1pt}% \begin{equation*} \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0 \end{equation*} \begin{description} \item[{2a $\left[ 15\text{ pts.}\right] $}] Evaluate% \begin{equation*} \int_{C}\left( x+2y\right) dx+\left( x^{2}-y^{3}\right) dy \end{equation*} \end{description} where $C$ consists of the segments from $\left( 1,1\right) $ to $\left( 3,1\right) $ and $\left( 3,1\right) $ to $\left( 3,-1\right) .$ Sketch $C.$ Solution: The path $C$ is shown below. \FRAME{dtbpFX}{3.0007in}{1.9993in}{0pt}{}{}{Plot}{\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3.0007in;height 1.9993in;depth 0pt;display "USEDEF";plot_snapshots FALSE;mustRecompute FALSE;lastEngine "Maple";xmin "-5";xmax "5";xviewmin "0.96";xviewmax "3.0408";yviewmin "-1.04";yviewmax "1.0408";plottype 4;numpoints 49;plotstyle "patch";axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};function \TEXUX{$\left( 3,1,3,-1\right) $};linecolor "black";linestyle 1;pointstyle "point";linethickness 2;lineAttributes "Solid";curveColor "[flat::RGB:0000000000]";curveStyle "Line";function \TEXUX{$\left( 1,1,3,1\right) $};linecolor "black";linestyle 1;pointstyle "point";linethickness 2;lineAttributes "Solid";curveColor "[flat::RGB:0000000000]";curveStyle "Line";}} Let $C_{1}$ be the segment from $\left( 1,1\right) $ to $\left( 3,1\right) $ and $C_{2}$ be the segment from $\left( 3,1\right) $ to $\left( 3,-1\right) . $ Then $C=C_{1}\cup C_{2}.$ \begin{eqnarray*} \int_{C}\left( x+2y\right) dx+\left( x^{2}-y^{3}\right) dy &=&\int_{C_{1}}\left( x+2y\right) dx+\left( x^{2}-y^{3}\right) dy+\int_{C_{2}}\left( x+2y\right) dx+\left( x^{2}-y^{3}\right) dy \\ &=&\int_{C_{1}}\left( x+2\left( 1\right) \right) dx+\int_{C_{2}}\left( \left( 3\right) ^{2}-y^{3}\right) dy \\ &=&\int_{1}^{3}\left( x+2\right) dx+\int_{1}^{-1}\left( 9-y^{3}\right) dy=8-18=-10 \end{eqnarray*} \begin{description} \item[{2b [20 pts.]}] Evaluate% \begin{equation*} \oint_{C}x^{2}ydx-xy^{2}dy \end{equation*} \end{description} where $C$ is the circle $x^{2}+y^{2}=4$ with counterclockwise orientation$.$ Solution: Since the path is a closed curve, we may use Green's Theorem to evaluate the line integral. Thus \begin{eqnarray*} \oint_{C}x^{2}ydx-xy^{2}dy &=&\diint\limits_{x^{2}+y^{2}\leq 4}\left( \frac{% \partial \left( -xy^{2}\right) }{\partial x}-\frac{\partial \left( x^{2}y\right) }{\partial y}\right) dA \\ &=&\diint\limits_{x^{2}+y^{2}\leq 4}\left( -y^{2}-x^{2}\right) dA=-\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2}r^{2}\cdot rdrd\theta \\ &=&-8\pi \end{eqnarray*} \begin{description} \item[3] Let $R$ be the region bounded by the cylinder $x^{2}+y^{2}=1$ and the planes $z=0$ and $z=x+2$. Let \end{description} $S$ be the entire boundary of $R$. Let $\overrightarrow{n}$ be the outward directed unit normal on $S$ and \begin{equation*} \overrightarrow{v}=2x\overrightarrow{i}-3y\overrightarrow{j}+z% \overrightarrow{k}. \end{equation*} \vspace{1pt}Thus $S$ is composed of $S_{1},S_{2},$ and $S_{3}$ as shown in the diagram below. \FRAME{dtbpF}{169.5pt}{136pt}{0pt}{}{}{Figure }{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width 169.5pt;height 136pt;depth 0pt;original-width 496.875pt;original-height 397.5pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename 'GUENLR02.bmp';tempfile-properties "XPR";}} \begin{description} \item[{3 a $\left[ 10\text{ pts.}\right] $}] Compute \begin{equation*} \int \int_{S_{1}}\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}ds \end{equation*} \end{description} On $S_{1}$ \ $\overrightarrow{n}=-\overrightarrow{k}$ \ $\Rightarrow $ \ $% \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}=-z$. But on $z=0$ \ on $S_{1}$ \ $% \Rightarrow $ \ $\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}=0$ \ $% \Rightarrow $ \ \begin{equation*} \int \int_{S_{1}}\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}ds=0 \end{equation*} \begin{description} \item[{3 b [5 pts.]}] Give a parametrization for the surface $S_{3}.$ \end{description} \vspace{1pt}On $S_{3}$ \ $z=x+2$ \ $\Rightarrow $ we parametrize as \begin{equation*} x=u\qquad y=v\qquad z=u+2 \end{equation*} \vspace{1pt} \begin{description} \item[{3 c $\left[ 10\text{ pts.}\right] $}] Use this parametrization to give an expression for \end{description} \begin{equation*} \int \int_{S_{3}}\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}ds \end{equation*} Do \textbf{not }evaluate this expression. Solution:\qquad \qquad \begin{equation*} \overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k% }=u\overrightarrow{i}+v\overrightarrow{j}+(u+2)\overrightarrow{k} \end{equation*} \vspace{1pt} \qquad \qquad \begin{equation*} \overrightarrow{r_{u}}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}\qquad \overrightarrow{r_{v}}=\overrightarrow{j}\qquad \Rightarrow \ \overrightarrow{r_{u}}\times \overrightarrow{r_{v}}=\overrightarrow{k}-% \overrightarrow{i} \end{equation*} $\overrightarrow{r_{u}}\times \overrightarrow{r_{v}}$ is an outer normal. It is not necessary to compute $\left\vert \overrightarrow{r_{u}}\times \overrightarrow{r_{v}}\right\vert $ since this quantity appears in the denominator of $\vec{n}$ and in the expression for $ds,$ and hence cancels out in the calculation. \begin{equation*} \vec{v}=2u\vec{i}-3v\vec{j}+\left( u+2\right) \vec{k} \end{equation*} so% \begin{equation*} \vec{v}\cdot \left( \overrightarrow{r_{u}}\times \overrightarrow{r_{v}}% \right) =2-u \end{equation*} Therefore% \begin{equation*} \int \int_{S_{3}}\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}ds=\int \int_{G}(2-u)dudv \end{equation*} where $G$ is the projection of $S_{3}$ in the $u,v-$ plane. But since $u=x,$ $\ v=y$ and the plane $z=x+2$ slices the cylinder $x^{2}+y^{2}=1$, we see that $G$ is the interior of the circle $x^{2}+y^{2}\leq 1$. Thus on $S_{3}$ we have \vspace{1pt}\qquad \qquad \begin{equation*} \int \int_{S_{3}}\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}ds=\int \int_{x^{2}+y^{2}\leq 1}(2-x)dxdy \end{equation*} \begin{description} \item[{3 d $\left[ 10\text{ pts.}\right] $}] Use cylindrical coordinates to give a parametrization for the surface $S_{2}.$ \end{description} Solution: $x=r\cos \theta \qquad y=r\sin \theta \qquad z=z$ Since our cylinder is $x^{2}+y^{2}=1$ \ $\Rightarrow $ \ $r=1$ \ $% \Rightarrow $ \vspace{1pt} \begin{equation*} \overrightarrow{r}=\cos \theta \overrightarrow{i+}\sin \theta \overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k} \end{equation*}% \ where $0\leq z\leq x+2=\cos \theta +2$, and $0\leq \theta \leq 2\pi .$ \begin{description} \item[{3 e $\left[ 10\text{ pts.}\right] $}] Use this parametrization to give an expression for \end{description} \begin{equation*} \int \int_{S_{2}}\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}ds \end{equation*} Do \textbf{not }evaluate this expression. Solution: Taking $u=\theta $ and $v=z$ \ here, we have% \begin{equation*} \overrightarrow{r}=\cos \theta \overrightarrow{i+}\sin \theta \overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k} \end{equation*} \vspace{1pt}\qquad \qquad \begin{equation*} \overrightarrow{r_{\theta }}=-\sin \theta \overrightarrow{i}+\cos \theta \overrightarrow{j}\qquad \overrightarrow{r_{z}}=\overrightarrow{k} \end{equation*} \vspace{1pt}$\Rightarrow \qquad $% \begin{equation*} \overrightarrow{r_{\theta }}\times \overrightarrow{r_{z}}=\cos \theta \overrightarrow{i}+\sin \theta \overrightarrow{j}\ \end{equation*} $\overrightarrow{n}=\cos \theta \overrightarrow{i}+\sin \theta \overrightarrow{j}$. This is an outward normal since $\theta =0^{\circ }$ gives $\vec{n}=\vec{i}$ \vspace{1pt}\vspace{1pt}Using the parametrization we have% \begin{equation*} \vec{v}=2\cos \theta \vec{i}-3\sin \theta \vec{j}+z\vec{k} \end{equation*}% \qquad \begin{eqnarray*} \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n} &=&(2\cos \theta \overrightarrow{i% }-3\sin \theta \overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k})\cdot \left( \overrightarrow{r_{\theta }}\times \overrightarrow{r_{z}}\right) \\ &=&(2\cos \theta \overrightarrow{i}-3\sin \theta \overrightarrow{j}+z% \overrightarrow{k})\cdot \left( \cos \theta \overrightarrow{i}+\sin \theta \overrightarrow{j}\right) =2\cos ^{2}\theta -3\sin ^{2}\theta \end{eqnarray*} Thus \begin{equation*} \int \int_{S_{2}}\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}ds=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2+\cos \theta }(2\cos ^{2}\theta -3\sin ^{2}\theta )dzd\theta \end{equation*} \vspace{1pt} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%% End /document/ma227_exam_3_sol_02s.tex %%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/GUENLR02.bmp %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% BudXp@@@@@@@@XCA@@@J@@@@TJ@@@@a@@@P@@`@@A@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@B@@@B@@@@H`@@H@@@@`@@H@@BH@@@Lp@C@p\CL@pkli@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ 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