%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                                                     %
%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 2.5             %
%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 3.0             %
%                                                                     %
% If you are separating the files in this message by hand, you will   %
% need to identify the file type and place it in the appropriate      %
% directory.  The possible types are: Document, DocAssoc, Other,      %
% Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files      %
% tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file    %
% directory.  Macro files go into your TeX macros directory. Style    %
% files are used by Scientific Word and do not need to be extracted.  %
% Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a       %
% graphics directory.                                                 %
%                                                                     %
% Graphic files need to be converted from the text format (this is    %
% done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. %
%                                                                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                                                     %
% Files included:                                                     %
%                                                                     %
% "/document/review_probs_final.tex", Document, 9879, 12/3/2001, 18:13:58, ""%
% "/document/GNS5B809.bmp", PastePict, 13090, 10/11/2001, 17:46:04, ""%
%                                                                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/review_probs_final.tex %%%%%%%%%%%%%%%

%\newtheorem{theorem}{Theorem}
%\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
%\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
%\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
%\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
%\newtheorem{example}[theorem]{Example}
%\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
%\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
%\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
%\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}


\documentclass{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}

\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=4.00.0.2309}
%TCIDATA{Created=Sunday, May 16, 1999 12:00:37}
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%F=36,\PARA{038<p type="texpara" tag="Body Text" >\hfill \thepage}
%}


\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
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\newtheorem{case}[theorem]{Case}
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\newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\input{tcilatex}

\begin{document}


\section{Ma 227 Review Problems for Final Exam}

\vspace{1pt}\textsl{Please note that the review below is by no means meant
to be exhaustive.}

First of all make sure that you can do all of the problems on the three
exams your had. These exams are at

%TCIMACRO{%
%\hyperref{Exams}{}{}{http://attila.stevens-tech.edu/~llevine/ma227/old_exams227.html} }%
%BeginExpansion
\msihyperref{Exams}{}{}{http://attila.stevens-tech.edu/~llevine/ma227/old_exams227.html}
%EndExpansion
\ \ (Hold the Ctrl key and click.)

\vspace{1pt}

Also go over the practice problems that were assigned for your exams.

\vspace{1pt}Below are some of the homework problems that were assigned
during the semester. The solutions to all of them are on the web.

1. \ DEs Book: Section 9.1 \# 7; \ 9. 2 \#11; 9.3 \#5, 11, 16, 19; 9.4 \#7,
13, 19; 9.5 \#6, 7, 8, 20; 9.8 \#1, 3

\vspace{1pt}

2. Stewart Chapter 12: Section 12.2 \#6, 11, 19; 12.3 \#5, 11, 15; 12.4 \#7,
9, 11, 17, 25; 12.6 \#1, 3, 7, 12.7 \#7, 11, 15; 12.8 \#7, 9, 11, 17;

\vspace{1pt}

3. Stewart Chapter 13: Section 13.1 \#24, 13.2 \#5, 11, 31; 13.3 \#7, 17,
21; 13.4 \#3, 11, 15 13.5 \#3, 5, 11, 15; 13.6 \#5, 9, 17, 21;13.7 \# 3, 7,
13, 15;\ \ 13.8 \#3, 5, 9

\vspace{1pt}

4. 
%TCIMACRO{%
%\hyperref{1998 Final Exam}{}{}{http://attila.stevens-tech.edu/~llevine/ma227/ma227f98.tex} }%
%BeginExpansion
\msihyperref{1998 Final Exam}{}{}{http://attila.stevens-tech.edu/~llevine/ma227/ma227f98.tex}
%EndExpansion
(Hold down Ctrl and click) All parts of problems 3, 4, 5, 6, and 7b, 8a, 9b

\vspace{1pt}

5. Also study the example below.

Example. Verify Gauss's Divergence theorem, namely

\vspace{1pt}

\qquad \qquad 
\begin{equation*}
\int \int\limits_{S}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}ds=\int \int
\int\limits_{V}div\overrightarrow{F}dv 
\end{equation*}

\vspace{1pt}

where $\overrightarrow{F}=(x-y+z)\overrightarrow{i}+2x\overrightarrow{j}+%
\overrightarrow{k}$ and $S$ is the closed parabolic bowl consisting of the
two pieces

\vspace{1pt}$\qquad $%
\begin{equation*}
S_{1}:\text{the circle \ \ }x^{2}+y^{2}\leq 1,\qquad z=1, 
\end{equation*}

and

\qquad 
\begin{equation*}
S_{2}:z=x^{2}+y^{2};\qquad x^{2}+y^{2}\leq 1 
\end{equation*}

\vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{138.3125pt}{136pt}{0pt}{}{}{Figure }{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width 138.3125pt;height 136pt;depth
0pt;original-width 528.5pt;original-height 519.4375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename
'GNS5B809.bmp';tempfile-properties "XPR";}}

\vspace{1pt}

Thus $S_{2}$ is the bowl proper and $S_{1}$ is the circular cap on top.
Since $\overrightarrow{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}=1\Rightarrow $

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}%
\begin{eqnarray*}
\int \int \int\limits_{V}\overrightarrow{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}dv
&=&\int \int \int\limits_{V}1dv=\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{+\sqrt{%
1-x^{2}}}\int_{x^{2}+y^{2}}^{1}dzdydx \\
&=&\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}(1-x^{2}-y^{2})dydx=%
\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}(1-r^{2})rdrd\theta \\
&=&\int_{0}^{2\pi }(\dfrac{r^{2}}{2}-\dfrac{r^{4}}{4})|_{0}^{1}d\theta =%
\frac{\pi }{2}
\end{eqnarray*}

$\qquad $

We now evaluate 
\begin{equation*}
\int \int_{S}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}ds=\left( \int
\int_{S_{1}}+\int \int_{S_{2}}\right) \overrightarrow{F}\cdot 
\overrightarrow{n}ds 
\end{equation*}

On $S_{2}$ we use cylindrical coordinates

\vspace{1pt}%
\begin{equation*}
x=r\cos \theta ,\qquad y=r\sin \theta \qquad z=z 
\end{equation*}

\vspace{1pt}

\qquad $\Rightarrow \qquad $%
\begin{equation*}
x=r\cos \theta ,\qquad y=r\sin \theta \qquad z=x^{2}+y^{2}=r^{2}, 
\end{equation*}

Let $r=u,\qquad \theta =v\qquad \Rightarrow \qquad x=u\cos v,\qquad y=u\sin
v,\qquad z=u^{2}\qquad 0\leq u\leq 1\qquad 0\leq v\leq 2\pi $

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}\qquad $\Rightarrow \qquad $%
\begin{equation*}
\overrightarrow{r}(u,v)=u\cos v\overrightarrow{i}+u\sin v\overrightarrow{j}%
+u^{2}\overrightarrow{k} 
\end{equation*}

\qquad \qquad \qquad 
\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{r_{u}} &=&\cos v\overrightarrow{i}\sin v\overrightarrow{j}+2u%
\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{r_{v}} &=&-u\sin v\overrightarrow{i+}u\cos v\overrightarrow{j%
}
\end{eqnarray*}

\qquad \qquad \qquad

\vspace{1pt}

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{r_{u}}\times \overrightarrow{r_{v}} &=&\left| 
\begin{array}{lll}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 
\cos v & \sin v & 2u \\ 
-u\sin v & u\cos v & 0%
\end{array}%
\right| =-2u^{2}\sin v\overrightarrow{j}+u\cos ^{2}v\overrightarrow{k}+u\sin
^{2}v\overrightarrow{k}-2u^{2}\cos v\overrightarrow{i} \\
&=&-2u^{2}\cos v\overrightarrow{i}-2u^{2}\sin v\overrightarrow{j}+u%
\overrightarrow{k}
\end{eqnarray*}

\qquad \qquad $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $

Note that for $v=\theta =0,\qquad r=u=1$, and we have

\qquad 
\begin{equation*}
\overrightarrow{r_{u}}\times \overrightarrow{r_{v}}=-2\overrightarrow{i}+%
\overrightarrow{k} 
\end{equation*}
which is inner.

Therefore we use%
\begin{equation*}
-\overrightarrow{r_{u}}\times \overrightarrow{r_{v}}=2u^{2}\cos v%
\overrightarrow{i}+2u^{2}\sin v\overrightarrow{j}-u\overrightarrow{k}=%
\overrightarrow{N} 
\end{equation*}

\qquad 
\begin{equation*}
\overrightarrow{F}=(u\cos v-u\sin v+u^{2})\overrightarrow{i}+2u\cos v%
\overrightarrow{j}+\vec{k} 
\end{equation*}

$\Rightarrow $ \ 
\begin{equation*}
\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{N}=2u^{3}\cos ^{2}v-2u^{3}\sin v\cos
v+2u^{4}\cos v+4u^{3}\sin v\cos v-u 
\end{equation*}

Therefore%
\begin{eqnarray*}
\int \int_{S_{2}}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{N}ds
&=&\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}[2u^{3}\cos ^{2}v+2u^{3}\sin v\cos
v+2u^{4}\cos v-u]dudv \\
&=&\int_{0}^{2\pi }[\frac{1}{2}\cos ^{2}v+\frac{1}{2}\sin v\cos v+\frac{2}{5}%
\cos v-\frac{1}{2}]dv \\
&=&\int_{0}^{2\pi }\{\frac{1}{4}(1+\cos 2v)\}dv+[\frac{1}{4}\sin ^{2}v+\frac{%
2}{5}\sin v-\frac{1}{2}v]_{0}^{2\pi } \\
&=&\frac{v}{4}+\frac{\sin 2v}{8}|_{0}^{2\pi }-\pi
\end{eqnarray*}

Thus

$\vspace{1pt}$\qquad \qquad \qquad 
\begin{equation*}
\int \int_{S_{2}}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{N}ds=\frac{\pi }{2}%
-\pi =-\frac{\pi }{2} 
\end{equation*}%
\qquad \qquad \qquad

On $S_{1}$ : this is the circle $x^{2}+y^{2}\leq 1,\qquad z=1$. We use the
parametrization

\vspace{1pt}\qquad \qquad \qquad \qquad 
\begin{equation*}
x=r\cos \theta ,\qquad y=r\sin \theta ,\qquad z=1 
\end{equation*}

Therefore $\overrightarrow{r}(u,v)=u\cos v\overrightarrow{i}+u\sin v%
\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}\qquad 0\leq u\leq 1,\qquad 0\leq v\leq
2\pi $

\vspace{1pt}

\qquad \qquad \qquad 
\begin{equation*}
\overrightarrow{r_{u}}=\cos \overrightarrow{v}+\sin v\overrightarrow{j}%
\qquad \overrightarrow{r_{v}}=-u\sin v\overrightarrow{i}+u\cos v%
\overrightarrow{j} 
\end{equation*}

\vspace{1pt}

\begin{equation*}
\overrightarrow{r_{u}}\times \overrightarrow{r_{v}}=\left| 
\begin{array}{lll}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 
\cos v & \sin v & 0 \\ 
-u\sin v & u\cos v & 0%
\end{array}%
\right| =u\cos ^{2}v\overrightarrow{k}+u\sin ^{2}v\overrightarrow{k}=u%
\overrightarrow{k} 
\end{equation*}

\vspace{1pt}

As expected this is outward since $0\leq u\leq 1.$

Therefore $\overrightarrow{N}=u\overrightarrow{k}$ and $\overrightarrow{F}%
=(u\cos v-u\sin v+1)\overrightarrow{i}+2u\cos v\overrightarrow{j}+%
\overrightarrow{k}$

\vspace{1pt}\qquad \qquad $\Rightarrow \qquad $%
\begin{equation*}
\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{N}=u 
\end{equation*}

\vspace{1pt}

$\Rightarrow $ \ 
\begin{equation*}
\int \int\limits_{S_{1}}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{N}%
ds=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}ududv=\pi 
\end{equation*}

\vspace{1pt}So that%
\begin{equation*}
\diint_{S_{2}}+\diint_{S_{1}}=-\frac{\pi }{2}+\pi =\frac{\pi }{2}
\end{equation*}

\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/review_probs_final.tex %%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/GNS5B809.bmp %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

BudHs@@@@@@@@XCA@@@J@@@@~J@@@Hk@@@P@@`@@A@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
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K@@@@p@o@@@@@C|B@@@@|OpK@@@@p@o@@@@@C|B@@@@|
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H@pWB@@@@P|H@pOB@@@@P|H@pOB@@@@X|H@pGB@@@@X|H@pGB@
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o~B@@@@p|H@po~B@@@@x|H@pg~B@@@@x|H@pg~B@@@@@}H@p_~B@@@@@}
H@p_~B@@@@H}H@pW~B@@@@H}H@pW~B@@@@P}H@pO~B@@@@P}H@pO~B@@
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}B@@@@h}H@pw}B@@@@p}H@po}B@@@@p}H@po}B@@@@x}H@pg}B@@@@x}H
@pg}B@@@@@~H@p_}B@@@@@~H@p_}B@@@@H~H@pW}B@@@@H~H@pW}B@@@
@P~H@pO}B@@@@P~H@pO}B@@@@X~H@pG}B@@@@X~H@pG}B@@@@`~H@p|
B@@@@`~H@p|B@@@@h~H@pw|B@@@@h~H@pw|B@@@@p~H@po|B@@@@p~H@
po|B@@@@x~H@pg|B@@@@x~H@pg|B@@@@@H@p_|B@@@@@H@p_|B@@@@
HH@pW|B@@@@HH@pW|B@@@@PH@pO|B@@@@PH@pO|B@@@@XH@pG|
B@@@@XH@pG|B@@@@`H@poyD@@HK@@@@@~c@@fS@@`|o@@@@@zOB@|Y~O
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S@@`|o@@@@@_Ac@@cS@@`|o@@@@@Ac@@bc@@^|o@@@@@Ac@@bc@
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}OC@psB@@@@pz@pgsJ@`QK@@@@@kC@_Nk@@F}o@@@@@tOE@@qD@`CSA@_`
K@@@@@}SA@P|OA@xpT@pGxB@@@@x~N@@GS@@Z|oC@|{}o@@@@@noC@pqD@`F{@
@^K@@@@@zs@@d|OA@HrL@pWwB@@@@`~L@@IS@@b|OC@|u}o@@@@@bOC@hrD@
@Js@@[K@@@@`xs@@j|OA@`rL@pvB@@@@x}J@@LS@@n|oB@|k}o@@@@@^oB@
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VOB@hsD@@Nc@@XK@@@@`uc@@z|OA@`sH@pOvB@@@@H}H@`OS@@||OB@|_}o
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