%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Scientific Word Wrap/Unwrap Version 2.5 % % Scientific Word Wrap/Unwrap Version 3.0 % % % % If you are separating the files in this message by hand, you will % % need to identify the file type and place it in the appropriate % % directory. The possible types are: Document, DocAssoc, Other, % % Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files % % tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file % % directory. Macro files go into your TeX macros directory. Style % % files are used by Scientific Word and do not need to be extracted. % % Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a % % graphics directory. % % % % Graphic files need to be converted from the text format (this is % % done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Files included: % % % % "/document/Lecture10.tex", Document, 19837, 11/3/1999, 22:54:24, "" % % "/document/deformation.bmp", ImportPict, 299934, 10/1/1997, 14:12:14, ""% % "/document/curvecircle.bmp", ImportPict, 299934, 10/1/1997, 14:23:44, ""% % "/document/inout.bmp", ImportPict, 299934, 10/1/1997, 16:19:26, "" % % "/document/manycurves.bmp", ImportPict, 299934, 10/1/1997, 16:17:22, ""% % "/document/extendeddefor.bmp", ImportPict, 299934, 10/1/1997, 21:17:16, ""% % "/document/Cauchyintformula.bmp", ImportPict, 299934, 10/1/1997, 22:07:14, ""% % "/document/higherderiv.bmp", ImportPict, 299934, 10/5/1997, 21:06:38, ""% % "/document/linesegment.bmp", ImportPict, 299934, 10/5/1997, 21:34:16, ""% % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/Lecture10.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.0 \documentclass[12pt,thmsa]{article} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{sw20jart} %TCIDATA{TCIstyle=article/art4.lat,jart,sw20jart} %TCIDATA{OutputFilter=Latex.dll} %TCIDATA{Created=Mon Aug 19 14:52:24 1996} %TCIDATA{LastRevised=Wednesday, November 03, 1999 17:54:22} %TCIDATA{} %TCIDATA{Language=American English} %TCIDATA{CSTFile=Lab Report.cst} %TCIDATA{PageSetup=72,72,72,72,0} %TCIDATA{AllPages= %H=36 %F=39,\PARA{035

X - \thepage } %} \input{tcilatex} \begin{document} \section{Ma 681} \vspace{1pt} \section{Lecture 10} \vspace{1pt} \subsection{Consequences of Cauchy's Theorem} \vspace{1pt} In what follows we adopt the convention that a closed path is oriented \textit{positively} if it is oriented counterclockwise. \vspace{1pt} Deformation Theorem: Let $\Gamma $ and $\gamma $ be positively oriented closed paths, where $\gamma $ is in the interior of $\Gamma .$ Let $f$ be differentiable on an open set containing both paths and the set of points between them. Then \vspace{1pt} \begin{center} $\oint_{\Gamma }f\left( z\right) dz=\oint_{\gamma }f\left( z\right) dz$ \FRAME{dtbpF}{4.2903in}{2.5936in}{0pt}{}{}{deformation.bmp}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.2903in;height 2.5936in;depth 0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'deformation.bmp';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \end{center} Remark: If one thinks of the curves as pieces of string, one curve can be continuously deformed into the other, moving only over points between the curves at which $f$ is differentiable. Points at which $f$ is not differentiable form a barrier to the deformation as far as the integral is concerned, so the region between the curves cannot contain any such points. In topology these curves are said to be \textit{homotopic.} \vspace{1pt} Example: Evaluate $\oint_{\Gamma }\dfrac{1}{z-a}dz$ over any closed path containing $a.$ \begin{center} \FRAME{dtbpF}{4.2903in}{2.5936in}{0pt}{}{}{curvecircle.bmp}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.2903in;height 2.5936in;depth 0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'curvecircle.bmp';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \end{center} By the Deformation Theorem since $1/\left( z-a\right) $ is differentiable on both curves and the region between them, then representing $\gamma :z(t)=a+re^{i\theta }$ \ $0\leq \theta \leq 2\pi $ we have \vspace{1pt} \begin{center} $\oint_{\Gamma }\dfrac{1}{z-a}dz=\oint_{\gamma }\dfrac{1}{z-a}% dz=\int_{0}^{2\pi }\dfrac{1}{re^{i\theta }}ire^{i\theta }d\theta =2\pi i$ \vspace{1pt} \end{center} Thus we see that the integral on the left for any closed path enclosing $a$ is equal to an integral which we can evaluate. \begin{center} \FRAME{dtbpF}{4.2903in}{2.5936in}{0pt}{}{}{inout.bmp}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.2903in;height 2.5936in;depth 0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'inout.bmp';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \end{center} ``Proof'' : $\left[ \int_{\Gamma }+\int_{C}+\int_{-\gamma }+\int_{-C}\right] f\left( z\right) dz=0\Rightarrow \oint_{\Gamma }f\left( z\right) dz=\oint_{\gamma }f\left( z\right) dz$ \vspace{1pt} Extended Deformation Theorem: Instead of a single closed path $\gamma $ enclosed by $\Gamma $ we now consider any finite number of such paths enclosed by $\Gamma .$ \begin{center} \FRAME{dtbpF}{4.2903in}{2.5936in}{0pt}{}{}{manycurves.bmp}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.2903in;height 2.5936in;depth 0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'manycurves.bmp';file-properties "XNPEU";}} \end{center} Theorem: Let $\Gamma $ be a positively oriented closed path. Let $\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots \gamma _{n}$ be positively oriented closed paths in the interior on $\Gamma $ such that no two of $\Gamma ,$ $\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots \gamma _{n}$ intersect, and no point interior to $\gamma _{j}$ is in common with a point interior to another $\gamma _{k}.$ Let $f$ be differentiable on an open set containing $\Gamma $, each $\gamma _{j}$ and all points that are both interior to $\Gamma $ and exterior to each $\gamma _{j}.$ Then \vspace{1pt} \begin{center} $\oint_{\Gamma }f(z)dz=\sum_{j=1}^{n}\oint_{\gamma _{j}}f\left( z\right) dz$ \vspace{1pt} \end{center} This is our earlier Deformation Theorem if $n=1.$ \vspace{1pt} Example: Evaluate $\doint_{\Gamma }\dfrac{1}{z^{2}+1}dz,$ \ where $\Gamma $ is any closed path enclosing both $i$ and $-i.$ \begin{center} \FRAME{dtbpF}{4.2903in}{2.5936in}{0pt}{}{}{extendeddefor.bmp}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.2903in;height 2.5936in;depth 0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'extendeddefor.bmp';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt} Now we enclose $i$ and $-i$ within two circles $\gamma _{1}$ and $\gamma _{2} $ of radius small enough so neither intersects the other and each lies entirely in the interior of $\Gamma .$ Then $f\left( z\right) =1/(z^{2}+1)$ is differentiable on $\Gamma $ and the two circles and in the region between them. But \begin{center} $\vspace{1pt}$ $\dfrac{1}{z^{2}+1}$ $=\dfrac{i}{2}\dfrac{1}{z+i}-\dfrac{i}{2}\dfrac{1}{z-i}$ \vspace{1pt} \end{center} By the Extended Deformation Theorem $\vspace{1pt}$ \begin{center} $\oint_{\Gamma }\dfrac{1}{z^{2}+1}dz$ $=\oint_{\gamma _{1}}\dfrac{1}{z^{2}+1}% dz+\oint_{\gamma _{2}}\dfrac{1}{z^{2}+1}dz$ $\vspace{1pt}$ $=\oint_{\gamma _{1}}\dfrac{i}{2}\dfrac{1}{z+i}dz-\oint_{\gamma _{1}}\dfrac{i% }{2}\dfrac{1}{z-i}dz+\oint_{\gamma _{2}}\dfrac{i}{2}\dfrac{1}{z+i}% dz-\oint_{\gamma _{2}}\dfrac{i}{2}\dfrac{1}{z-i}dz$ \vspace{1pt} \end{center} But the first and fourth integrals are zero by Cauchy's Theorem, since the integrand is differentiable on and within the respective circles. The second and third integrals are $2\pi i$ by an earlier example. Hence \vspace{1pt} \begin{center} $\doint_{\Gamma }\dfrac{1}{z^{2}+1}dz=-\dfrac{i}{2}\left( 2\pi i\right) +% \dfrac{i}{2}\left( 2\pi i\right) =0.$ \vspace{1pt} \end{center} \subsection{Applications of Cauchy's Theorem} \vspace{1pt} The Cauchy Integral Formula. \vspace{1pt} Let $f\left( z\right) $ be regular inside and on a simple closed contour $C.$ Let $\zeta $ be any (fixed) point in $D$ the interior of $C.$ The function $% \frac{f\left( z\right) }{z-\zeta }$ is analytic and single-valued in $D$ and on $C$ except at $z=\zeta .$ Let $C_{r}$ be the circle centered at $\zeta $ with radius $r>0,$ where $C_{r}\subset D$ and both $C$ and $C_{r}$ are positively oriented with respect to their interiors. \begin{center} \FRAME{dtbpF}{4.2903in}{2.5936in}{0pt}{}{}{cauchyintformula.bmp}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.2903in;height 2.5936in;depth 0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'Cauchyintformula.bmp';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} $\oint_{C}\dfrac{f\left( z\right) }{z-\zeta }dz=\oint_{C_{r}}\dfrac{f\left( z\right) }{z-\zeta }dz$ \vspace{1pt} \end{center} Since $f\left( z\right) $ is continuous, we can take $r$ so small that $% \left| f\left( z\right) -f\left( \zeta \right) \right| <\in $ for $z$ on $% C_{r}.\Longrightarrow $ \vspace{1pt} \begin{center} $\oint_{C}\dfrac{f\left( z\right) }{z-\zeta }dz=\oint_{C_{r}}\dfrac{f\left( z\right) }{z-\zeta }dz=\oint_{C_{r}}\dfrac{f\left( \zeta \right) }{z-\zeta }% dz+\oint_{C_{r}}\dfrac{f\left( z\right) -f\left( \zeta \right) }{z-\zeta }% dz=2\pi if\left( \zeta \right) +\oint_{C_{r}}\dfrac{f\left( z\right) -f\left( \zeta \right) }{z-\zeta }dz$ \vspace{1pt} $\left| \oint_{C}\dfrac{f\left( z\right) }{z-\zeta }dz-2\pi if\left( \zeta \right) \right| =\left| \oint_{C_{r}}\dfrac{f\left( z\right) -f\left( \zeta \right) }{z-\zeta }dz\right| \leq \dfrac{\in }{r}\left( 2\pi r\right) $ \vspace{1pt} \end{center} since $z$ is on $C_{r}$ so that $\left| z-\zeta \right| =r.$ Since the left hand side is independent of $\in $ and $\in >0$ may be chosen arbitrarily small, the left hand side equals zero. Therefore \vspace{1pt} \begin{center} $f\left( \zeta \right) =\dfrac{1}{2\pi i}\oint_{C}\dfrac{f\left( z\right) }{% z-\zeta }dz\qquad \qquad \left( 1\right) $ \vspace{1pt} \end{center} $\left( 1\right) $ is called the Cauchy Integral Formula. \vspace{1pt} Theorem: Cauchy Integral Formula Let $f$ \ be differentiable on an open set $% G.$ Let $\Gamma $ be a closed path enclosing only points of $G.$ Then, for any $z_{0}$\vspace{1pt} in the interior of $\Gamma $ \vspace{1pt} \begin{center} $f\left( z_{0}\right) =\dfrac{1}{2\pi i}\oint_{\Gamma }\dfrac{f\left( z\right) }{z-z_{0}}dz$ \vspace{1pt} \end{center} Example: Evaluate \ $\oint_{\Gamma }\dfrac{e^{z^{2}}}{z-i}dz$ \ for any closed path $\Gamma $ whose graph does not pass through $i.$ \vspace{1pt} We consider two cases: Case 1. The closed path $\Gamma $ does not enclose $% i. $ Then $\frac{e^{z^{2}}}{z-i}$ is differentiable on $\Gamma $ and in its interior. By Cauchy's Theorem the integral is zero. \vspace{1pt} Case 2. The closed path $\Gamma $ encloses $i.$ Now $f\left( z\right) =e^{z^{2}}$ is differentiable throughout the entire plane. By Cauchy's Integral Formula \vspace{1pt} \begin{center} $\oint_{\Gamma }\dfrac{e^{z^{2}}}{z-i}dz=2\pi if\left( i\right) =2\pi e^{-1}$ \vspace{1pt} \end{center} Theorem: Formula for Higher Derivatives \ Let $f$ be differentiable on an open set $G,$ and let $\Gamma $ be a closed path in $G$ enclosing only points of $G.$ If $z_{0}$ is any point in the interior of $\Gamma $, then $f$ has derivatives of all orders at $z_{0}$. Further, the $nth$ derivative of $% f $ at $z_{0}$ is given by \vspace{1pt} \begin{center} $f^{\left( n\right) }\left( z_{0}\right) =\dfrac{n!}{2\pi i}\doint_{\Gamma }% \dfrac{f\left( z\right) }{\left( z-z_{0}\right) ^{n+1}}dz$ \vspace{1pt} \end{center} Remark: The integral above is exactly what we would get if we differentiated Cauchy's Integral Formula $n$ times with respect to $z_{0}$ under the integral sign. \vspace{1pt} Example: Evaluate \ \ $\doint_{\Gamma }\dfrac{e^{z^{3}}}{\left( z-i\right) ^{3}}dz$ \ where $\Gamma $ is a closed path that does not pass through $i.$ \vspace{1pt} Again we have two cases. If $\Gamma $ does not enclose $i$ , then the integral is $0$ by Cauchy's Theorem. If $\Gamma $ does enclose $i$, then let $f\left( z\right) =e^{z^{3}}.$ The integral formula for higher derivatives gives \vspace{1pt} $\doint_{\Gamma }\dfrac{e^{z^{3}}}{\left( z-i\right) ^{3}}dz=\dfrac{2\pi i}{% 2!}f^{\prime \prime }\left( i\right) =\pi i\left[ \left( 6z+9z^{4}\right) e^{z^{3}}\right] _{z=i}=\pi i\left( 6i+9\right) e^{-i}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =3\pi i\left( 3+2i\right) \left( \cos 1-i\sin 1\right) $ $\vspace{1pt}$ Proof of the theorem: We proceed by induction on $n.$ The case $n=0$ is Cauchy's integral formula, which was proved above. Suppose the theorem holds for $n=k$. We want to show that \vspace{1pt} \begin{center} $f^{\left( k+1\right) }\left( z_{0}\right) =\dfrac{\left( k+1\right) !}{2\pi i}\doint_{\Gamma }\dfrac{f\left( z\right) }{\left( z-z_{0}\right) ^{k+2}}dz$ \vspace{1pt} \end{center} First we may use the deformation theorem to replace $\Gamma $ by a circle $% \gamma $ of radius $2r$ about $z_{0}$, where $r$ is small enough so that this circle is in the interior of $\Gamma .$ \begin{center} \FRAME{dtbpF}{4.2903in}{2.5936in}{0pt}{}{}{higherderiv.bmp}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.2903in;height 2.5936in;depth 0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'higherderiv.bmp';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \end{center} If $\left| h\right| 1$ if $\left| z\right| >R.$ Hence $1/p\left( z\right) $ is bounded for $\left| z\right| >R.$ But $% 1/\left| p\left( z\right) \right| $ is continuous on the compact disk $% \left| z\right| \leq R$ and is therefore also bounded for $\left| z\right| \leq R.$ Therefore $1/p\left( z\right) $ is a differentiable function which is bounded on the entire plane. By Liouville's Theorem $1/p\left( z\right) $ must be a constant. This implies that $p\left( z\right) $ is a constant function, which is a contradiction. Thus there must be some $z$ for which $% p\left( z\right) =0.$ \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/Lecture10.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/deformation.bmp %%%%%%%%%%%%%%%%%%% BudgSR@@@@@@@XC@@@@J@@@@WF@@@TO@@@P@@`A@@@@@@`vdD@`sN@@@X{@@@@@@@@@@@@@@                      @@@@                      @@@@                      @@@@                     @@@@                      @@@@                      @@@@                      @@@@                     @ @@@                     @@@@                      @@@@                      @@@@                      @@@@                     @@@@                      @@@@                      @@@@                      @@@@                     @@@@                      @@@@                      @@@@                      @@@@  @@@@@@@@                   @@@@   @@@@@@@@                   @@@@   @@@@@@@@                   @@@@   @@@@@@@@                   @@@@  @@@@@@@@                   @@@@   @@@@@@@@  @@@@ @@@@ 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