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% Scientific Word Wrap/Unwrap Version 2.5 %
% Scientific Word Wrap/Unwrap Version 3.0 %
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% If you are separating the files in this message by hand, you will %
% need to identify the file type and place it in the appropriate %
% directory. The possible types are: Document, DocAssoc, Other, %
% Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files %
% tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file %
% directory. Macro files go into your TeX macros directory. Style %
% files are used by Scientific Word and do not need to be extracted. %
% Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a %
% graphics directory. %
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% Graphic files need to be converted from the text format (this is %
% done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. %
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% Files included: %
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% "/document/Lecture10.tex", Document, 19837, 11/3/1999, 22:54:24, "" %
% "/document/deformation.bmp", ImportPict, 299934, 10/1/1997, 14:12:14, ""%
% "/document/curvecircle.bmp", ImportPict, 299934, 10/1/1997, 14:23:44, ""%
% "/document/inout.bmp", ImportPict, 299934, 10/1/1997, 16:19:26, "" %
% "/document/manycurves.bmp", ImportPict, 299934, 10/1/1997, 16:17:22, ""%
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% "/document/Cauchyintformula.bmp", ImportPict, 299934, 10/1/1997, 22:07:14, ""%
% "/document/higherderiv.bmp", ImportPict, 299934, 10/5/1997, 21:06:38, ""%
% "/document/linesegment.bmp", ImportPict, 299934, 10/5/1997, 21:34:16, ""%
% %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/Lecture10.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.0
\documentclass[12pt,thmsa]{article}
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%F=39,\PARA{035
X - \thepage }
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\input{tcilatex}
\begin{document}
\section{Ma 681}
\vspace{1pt}
\section{Lecture 10}
\vspace{1pt}
\subsection{Consequences of Cauchy's Theorem}
\vspace{1pt}
In what follows we adopt the convention that a closed path is oriented
\textit{positively} if it is oriented counterclockwise.
\vspace{1pt}
Deformation Theorem: Let $\Gamma $ and $\gamma $ be positively oriented
closed paths, where $\gamma $ is in the interior of $\Gamma .$ Let $f$ be
differentiable on an open set containing both paths and the set of points
between them. Then
\vspace{1pt}
\begin{center}
$\oint_{\Gamma }f\left( z\right) dz=\oint_{\gamma }f\left( z\right) dz$
\FRAME{dtbpF}{4.2903in}{2.5936in}{0pt}{}{}{deformation.bmp}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.2903in;height 2.5936in;depth
0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'deformation.bmp';file-properties
"XNPEU";}}
\vspace{1pt}
\end{center}
Remark: If one thinks of the curves as pieces of string, one curve can be
continuously deformed into the other, moving only over points between the
curves at which $f$ is differentiable. Points at which $f$ is not
differentiable form a barrier to the deformation as far as the integral is
concerned, so the region between the curves cannot contain any such points.
In topology these curves are said to be \textit{homotopic.}
\vspace{1pt}
Example: Evaluate $\oint_{\Gamma }\dfrac{1}{z-a}dz$ over any closed path
containing $a.$
\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.2903in}{2.5936in}{0pt}{}{}{curvecircle.bmp}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.2903in;height 2.5936in;depth
0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'curvecircle.bmp';file-properties
"XNPEU";}}
\vspace{1pt}
\end{center}
By the Deformation Theorem since $1/\left( z-a\right) $ is differentiable on
both curves and the region between them, then representing $\gamma
:z(t)=a+re^{i\theta }$ \ $0\leq \theta \leq 2\pi $ we have
\vspace{1pt}
\begin{center}
$\oint_{\Gamma }\dfrac{1}{z-a}dz=\oint_{\gamma }\dfrac{1}{z-a}%
dz=\int_{0}^{2\pi }\dfrac{1}{re^{i\theta }}ire^{i\theta }d\theta =2\pi i$
\vspace{1pt}
\end{center}
Thus we see that the integral on the left for any closed path enclosing $a$
is equal to an integral which we can evaluate.
\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.2903in}{2.5936in}{0pt}{}{}{inout.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 4.2903in;height 2.5936in;depth
0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'inout.bmp';file-properties
"XNPEU";}}
\vspace{1pt}
\end{center}
``Proof'' : $\left[ \int_{\Gamma }+\int_{C}+\int_{-\gamma }+\int_{-C}\right]
f\left( z\right) dz=0\Rightarrow \oint_{\Gamma }f\left( z\right)
dz=\oint_{\gamma }f\left( z\right) dz$
\vspace{1pt}
Extended Deformation Theorem: Instead of a single closed path $\gamma $
enclosed by $\Gamma $ we now consider any finite number of such paths
enclosed by $\Gamma .$
\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.2903in}{2.5936in}{0pt}{}{}{manycurves.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 4.2903in;height 2.5936in;depth
0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'manycurves.bmp';file-properties
"XNPEU";}}
\end{center}
Theorem: Let $\Gamma $ be a positively oriented closed path. Let $\gamma
_{1},\gamma _{2},\ldots \gamma _{n}$ be positively oriented closed paths in
the interior on $\Gamma $ such that no two of $\Gamma ,$ $\gamma _{1},\gamma
_{2},\ldots \gamma _{n}$ intersect, and no point interior to $\gamma _{j}$
is in common with a point interior to another $\gamma _{k}.$ Let $f$ be
differentiable on an open set containing $\Gamma $, each $\gamma _{j}$ and
all points that are both interior to $\Gamma $ and exterior to each $\gamma
_{j}.$ Then
\vspace{1pt}
\begin{center}
$\oint_{\Gamma }f(z)dz=\sum_{j=1}^{n}\oint_{\gamma _{j}}f\left( z\right) dz$
\vspace{1pt}
\end{center}
This is our earlier Deformation Theorem if $n=1.$
\vspace{1pt}
Example: Evaluate $\doint_{\Gamma }\dfrac{1}{z^{2}+1}dz,$ \ where $\Gamma $
is any closed path enclosing both $i$ and $-i.$
\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.2903in}{2.5936in}{0pt}{}{}{extendeddefor.bmp}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.2903in;height 2.5936in;depth
0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'extendeddefor.bmp';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}
\vspace{1pt}
Now we enclose $i$ and $-i$ within two circles $\gamma _{1}$ and $\gamma
_{2} $ of radius small enough so neither intersects the other and each lies
entirely in the interior of $\Gamma .$ Then $f\left( z\right) =1/(z^{2}+1)$
is differentiable on $\Gamma $ and the two circles and in the region between
them. But
\begin{center}
$\vspace{1pt}$
$\dfrac{1}{z^{2}+1}$ $=\dfrac{i}{2}\dfrac{1}{z+i}-\dfrac{i}{2}\dfrac{1}{z-i}$
\vspace{1pt}
\end{center}
By the Extended Deformation Theorem
$\vspace{1pt}$
\begin{center}
$\oint_{\Gamma }\dfrac{1}{z^{2}+1}dz$ $=\oint_{\gamma _{1}}\dfrac{1}{z^{2}+1}%
dz+\oint_{\gamma _{2}}\dfrac{1}{z^{2}+1}dz$
$\vspace{1pt}$
$=\oint_{\gamma _{1}}\dfrac{i}{2}\dfrac{1}{z+i}dz-\oint_{\gamma _{1}}\dfrac{i%
}{2}\dfrac{1}{z-i}dz+\oint_{\gamma _{2}}\dfrac{i}{2}\dfrac{1}{z+i}%
dz-\oint_{\gamma _{2}}\dfrac{i}{2}\dfrac{1}{z-i}dz$
\vspace{1pt}
\end{center}
But the first and fourth integrals are zero by Cauchy's Theorem, since the
integrand is differentiable on and within the respective circles. The second
and third integrals are $2\pi i$ by an earlier example. Hence
\vspace{1pt}
\begin{center}
$\doint_{\Gamma }\dfrac{1}{z^{2}+1}dz=-\dfrac{i}{2}\left( 2\pi i\right) +%
\dfrac{i}{2}\left( 2\pi i\right) =0.$
\vspace{1pt}
\end{center}
\subsection{Applications of Cauchy's Theorem}
\vspace{1pt}
The Cauchy Integral Formula.
\vspace{1pt}
Let $f\left( z\right) $ be regular inside and on a simple closed contour $C.$
Let $\zeta $ be any (fixed) point in $D$ the interior of $C.$ The function $%
\frac{f\left( z\right) }{z-\zeta }$ is analytic and single-valued in $D$ and
on $C$ except at $z=\zeta .$ Let $C_{r}$ be the circle centered at $\zeta $
with radius $r>0,$ where $C_{r}\subset D$ and both $C$ and $C_{r}$ are
positively oriented with respect to their interiors.
\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.2903in}{2.5936in}{0pt}{}{}{cauchyintformula.bmp}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.2903in;height 2.5936in;depth
0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'Cauchyintformula.bmp';file-properties "XNPEU";}}
\vspace{1pt}
$\oint_{C}\dfrac{f\left( z\right) }{z-\zeta }dz=\oint_{C_{r}}\dfrac{f\left(
z\right) }{z-\zeta }dz$
\vspace{1pt}
\end{center}
Since $f\left( z\right) $ is continuous, we can take $r$ so small that $%
\left| f\left( z\right) -f\left( \zeta \right) \right| <\in $ for $z$ on $%
C_{r}.\Longrightarrow $
\vspace{1pt}
\begin{center}
$\oint_{C}\dfrac{f\left( z\right) }{z-\zeta }dz=\oint_{C_{r}}\dfrac{f\left(
z\right) }{z-\zeta }dz=\oint_{C_{r}}\dfrac{f\left( \zeta \right) }{z-\zeta }%
dz+\oint_{C_{r}}\dfrac{f\left( z\right) -f\left( \zeta \right) }{z-\zeta }%
dz=2\pi if\left( \zeta \right) +\oint_{C_{r}}\dfrac{f\left( z\right)
-f\left( \zeta \right) }{z-\zeta }dz$
\vspace{1pt}
$\left| \oint_{C}\dfrac{f\left( z\right) }{z-\zeta }dz-2\pi if\left( \zeta
\right) \right| =\left| \oint_{C_{r}}\dfrac{f\left( z\right) -f\left( \zeta
\right) }{z-\zeta }dz\right| \leq \dfrac{\in }{r}\left( 2\pi r\right) $
\vspace{1pt}
\end{center}
since $z$ is on $C_{r}$ so that $\left| z-\zeta \right| =r.$ Since the left
hand side is independent of $\in $ and $\in >0$ may be chosen arbitrarily
small, the left hand side equals zero. Therefore
\vspace{1pt}
\begin{center}
$f\left( \zeta \right) =\dfrac{1}{2\pi i}\oint_{C}\dfrac{f\left( z\right) }{%
z-\zeta }dz\qquad \qquad \left( 1\right) $
\vspace{1pt}
\end{center}
$\left( 1\right) $ is called the Cauchy Integral Formula.
\vspace{1pt}
Theorem: Cauchy Integral Formula Let $f$ \ be differentiable on an open set $%
G.$ Let $\Gamma $ be a closed path enclosing only points of $G.$ Then, for
any $z_{0}$\vspace{1pt} in the interior of $\Gamma $
\vspace{1pt}
\begin{center}
$f\left( z_{0}\right) =\dfrac{1}{2\pi i}\oint_{\Gamma }\dfrac{f\left(
z\right) }{z-z_{0}}dz$
\vspace{1pt}
\end{center}
Example: Evaluate \ $\oint_{\Gamma }\dfrac{e^{z^{2}}}{z-i}dz$ \ for any
closed path $\Gamma $ whose graph does not pass through $i.$
\vspace{1pt}
We consider two cases: Case 1. The closed path $\Gamma $ does not enclose $%
i. $ Then $\frac{e^{z^{2}}}{z-i}$ is differentiable on $\Gamma $ and in its
interior. By Cauchy's Theorem the integral is zero.
\vspace{1pt}
Case 2. The closed path $\Gamma $ encloses $i.$ Now $f\left( z\right)
=e^{z^{2}}$ is differentiable throughout the entire plane. By Cauchy's
Integral Formula
\vspace{1pt}
\begin{center}
$\oint_{\Gamma }\dfrac{e^{z^{2}}}{z-i}dz=2\pi if\left( i\right) =2\pi e^{-1}$
\vspace{1pt}
\end{center}
Theorem: Formula for Higher Derivatives \ Let $f$ be differentiable on an
open set $G,$ and let $\Gamma $ be a closed path in $G$ enclosing only
points of $G.$ If $z_{0}$ is any point in the interior of $\Gamma $, then $f$
has derivatives of all orders at $z_{0}$. Further, the $nth$ derivative of $%
f $ at $z_{0}$ is given by
\vspace{1pt}
\begin{center}
$f^{\left( n\right) }\left( z_{0}\right) =\dfrac{n!}{2\pi i}\doint_{\Gamma }%
\dfrac{f\left( z\right) }{\left( z-z_{0}\right) ^{n+1}}dz$
\vspace{1pt}
\end{center}
Remark: The integral above is exactly what we would get if we differentiated
Cauchy's Integral Formula $n$ times with respect to $z_{0}$ under the
integral sign.
\vspace{1pt}
Example: Evaluate \ \ $\doint_{\Gamma }\dfrac{e^{z^{3}}}{\left( z-i\right)
^{3}}dz$ \ where $\Gamma $ is a closed path that does not pass through $i.$
\vspace{1pt}
Again we have two cases. If $\Gamma $ does not enclose $i$ , then the
integral is $0$ by Cauchy's Theorem. If $\Gamma $ does enclose $i$, then let
$f\left( z\right) =e^{z^{3}}.$ The integral formula for higher derivatives
gives
\vspace{1pt}
$\doint_{\Gamma }\dfrac{e^{z^{3}}}{\left( z-i\right) ^{3}}dz=\dfrac{2\pi i}{%
2!}f^{\prime \prime }\left( i\right) =\pi i\left[ \left( 6z+9z^{4}\right)
e^{z^{3}}\right] _{z=i}=\pi i\left( 6i+9\right) e^{-i}$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =3\pi
i\left( 3+2i\right) \left( \cos 1-i\sin 1\right) $
$\vspace{1pt}$
Proof of the theorem: We proceed by induction on $n.$ The case $n=0$ is
Cauchy's integral formula, which was proved above. Suppose the theorem holds
for $n=k$. We want to show that
\vspace{1pt}
\begin{center}
$f^{\left( k+1\right) }\left( z_{0}\right) =\dfrac{\left( k+1\right) !}{2\pi
i}\doint_{\Gamma }\dfrac{f\left( z\right) }{\left( z-z_{0}\right) ^{k+2}}dz$
\vspace{1pt}
\end{center}
First we may use the deformation theorem to replace $\Gamma $ by a circle $%
\gamma $ of radius $2r$ about $z_{0}$, where $r$ is small enough so that
this circle is in the interior of $\Gamma .$
\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.2903in}{2.5936in}{0pt}{}{}{higherderiv.bmp}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.2903in;height 2.5936in;depth
0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'higherderiv.bmp';file-properties
"XNPEU";}}
\vspace{1pt}
\end{center}
If $\left| h\right| 1$ if $\left| z\right| >R.$
Hence $1/p\left( z\right) $ is bounded for $\left| z\right| >R.$ But $%
1/\left| p\left( z\right) \right| $ is continuous on the compact disk $%
\left| z\right| \leq R$ and is therefore also bounded for $\left| z\right|
\leq R.$ Therefore $1/p\left( z\right) $ is a differentiable function which
is bounded on the entire plane. By Liouville's Theorem $1/p\left( z\right) $
must be a constant. This implies that $p\left( z\right) $ is a constant
function, which is a contradiction. Thus there must be some $z$ for which $%
p\left( z\right) =0.$
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/Lecture10.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/deformation.bmp %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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