%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                                                     %
%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 2.5             %
%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 3.0             %
%                                                                     %
% If you are separating the files in this message by hand, you will   %
% need to identify the file type and place it in the appropriate      %
% directory.  The possible types are: Document, DocAssoc, Other,      %
% Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files      %
% tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file    %
% directory.  Macro files go into your TeX macros directory. Style    %
% files are used by Scientific Word and do not need to be extracted.  %
% Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a       %
% graphics directory.                                                 %
%                                                                     %
% Graphic files need to be converted from the text format (this is    %
% done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. %
%                                                                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                                                     %
% Files included:                                                     %
%                                                                     %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/Lecture11.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.0


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\input{tcilatex}
\begin{document}


\section{Ma 681}

\vspace{1pt}

\section{Lecture 11}

\vspace{1pt}

Series Representations of Functions

\vspace{1pt}

Remark: We have seen that a power series that converges in an open disk
defines an infinitely differentiable function in that disk. We now go the
other way and show that a function that is differentiable in an open disk
can be represented as a power series expanded about the center of that disk.

\vspace{1pt}

Theorem \ Taylor Series \ Let $f$ be differentiable in an open disk $D$
about $a.$ Then for each $z\in D$

\vspace{1pt}

\begin{center}
$f\left( z\right) =\dsum_{n=0}^{\infty }\dfrac{f^{(n)}\left( a\right) }{n!}%
\left( z-a\right) ^{n}$

\vspace{1pt}
\end{center}

Proof: Let $z$ be any point in $D,$ and let $R$ be the radius of $D.$ Let $r$
be such that $0<r<R$ and let $\left| z-a\right| <r,$ and let $\gamma $ be
the circle of radius $r$ about $a.$

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{3.2742in}{2.5936in}{0pt}{}{}{taylor.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 3.2742in;height 2.5936in;depth
0pt;original-width 233.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'/document/graphics/taylor.bmp';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}

By the Cauchy integral formula, with $w$ as the variable of integration on $%
\gamma $ we have

\vspace{1pt}

\begin{center}
$f\left( z\right) =\dfrac{1}{2\pi i}\doint_{\gamma }\dfrac{f\left( w\right) 
}{w-z}dw$

\vspace{1pt}
\end{center}

We can write $\dfrac{1}{w-z}=\dfrac{1}{w-a+a-z}=\dfrac{1}{w-a-\left(
z-a\right) }=\dfrac{1}{w-a}\dfrac{1}{1-\dfrac{z-a}{w-a}}$

Now $w$ is on $\gamma $ and $z$ is in the interior of $\gamma $ so that $%
\left| \dfrac{z-a}{w-a}\right| <1.$ Thus

\begin{center}
$\dfrac{1}{w-z}=\dfrac{1}{w-a}\sum_{n=0}^{\infty }\left( \dfrac{z-a}{w-a}%
\right) ^{n}=\dsum_{n=0}^{\infty }\dfrac{\left( z-a\right) ^{n}}{\left(
w-a\right) ^{n+1}}$

\vspace{1pt}
\end{center}

Hence \ \ $f\left( z\right) =\dfrac{1}{2\pi i}\doint_{\gamma }\dfrac{f\left(
w\right) }{w-z}dw=\dfrac{1}{2\pi i}\doint_{\gamma }f\left( w\right) \left[
\dsum_{n=0}^{\infty }\dfrac{\left( z-a\right) ^{n}}{\left( w-a\right) ^{n+1}}%
\right] dw$

\vspace{1pt}

Termwise integration is possible since the series is uniformly convergent
with respect to $w$ because

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\left| \dfrac{\left( z-a\right) ^{n}}{\left( w-a\right) ^{n+1}}\right| =%
\dfrac{\left| z-a\right| ^{n}}{r^{n+1}}<1$

\vspace{1pt}
\end{center}

Thus\qquad $f\left( z\right) =\dsum_{n=0}^{\infty }\left( \dfrac{1}{2\pi i}%
\doint_{\gamma }\dfrac{f\left( w\right) }{\left( w-a\right) ^{n+1}}dw\right)
\left( z-a\right) ^{n}=\dsum_{n=0}^{\infty }\dfrac{f^{(n)}\left( a\right) }{%
n!}\left( z-a\right) ^{n}$

\vspace{1pt}

Remark: If $\sum c_{n}\left( z-a\right) ^{n}=\sum d_{n}\left( z-a\right)
^{n} $, in an open disk then about $a$ then $c_{n}=d_{n}$ $\forall $ $n.$
The reason is that if $f$ is the function defined by these power series, then

\vspace{1pt}

\begin{center}
$c_{n}=d_{n}=\dfrac{f^{(n)}\left( a\right) }{n!}$
\end{center}

\vspace{1pt}

This means that whatever legitimate means is used to find a power series
representation about $a$ this must be the Taylor series of that function
about $a.$

\vspace{1pt}

Example: Find the MacLaurin series (Taylor series about the origin) for $%
e^{z},$ $\sin z,$ and $\cos z.$

\vspace{1pt}

Since $\frac{d^{n}e^{z}}{dz^{n}}=e^{z}$ for all $n$ and $e^{0}=1,$ then $%
e^{z}=\sum_{0}^{\infty }\dfrac{z^{n}}{n!}.$ From the definition of $\cos t$
we have

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\cos t=\dfrac{e^{it}+e^{-it}}{2}=\dfrac{1}{2}\dsum_{n=0}^{\infty }$ $\dfrac{%
\left( it\right) ^{n}+\left( -it\right) ^{n}}{n!}=\dsum_{m=0}^{\infty }%
\dfrac{\left( -1\right) ^{m}t^{2m}}{\left( 2m\right) !}$
\end{center}

\vspace{1pt}

whereas$\qquad \sin t=-$ $\dfrac{d}{dt}\dsum_{m=0}^{\infty }\dfrac{\left(
-1\right) ^{m}t^{2m}}{\left( 2m\right) !}=\dsum_{m=0}^{\infty }\dfrac{\left(
-1\right) ^{m+1}t^{2m+1}}{\left( 2m+1\right) !}$

\vspace{1pt}

Example: Expand $\dfrac{2i}{4+iz}$ in a Taylor series about $-3i.$

\vspace{1pt}

We want a Taylor series of the form $\sum c_{n}\left( z+3i\right) ^{n}.$

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\dfrac{2i}{4+iz}=\dfrac{2i}{4+i\left( z+3i\right) +3}=\dfrac{2i}{7+i\left(
z+3i\right) }=\dfrac{2i}{7}\dfrac{1}{1+\left( i/7\right) \left( z+3i\right) }
$

\vspace{1pt}
\end{center}

However, the geometric series implies $\dfrac{1}{1+t}=\dfrac{1}{1-\left(
-t\right) }=\sum_{0}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}t^{n}\qquad $if \ \ $%
\left| t\right| <1.$

Letting $t=$ $\left( i/7\right) \left( z+3i\right) $ implies

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\dfrac{2i}{4+iz}=\dfrac{2i}{7}\dsum_{n=0}^{\infty }\left( -1\right)
^{n}\left( \dfrac{i}{7}(z+3i)\right) ^{n}=2\dsum_{n=0}^{\infty }\left(
-1\right) ^{n}\dfrac{i^{n+1}}{7^{n+1}}\left( z+3i\right) ^{n}.$

\vspace{1pt}
\end{center}

This series converges for $\left| \left( i/7\right) \left( z+3i\right)
\right| <1$, that is for $\left| z+3i\right| <7.$

\vspace{1pt}

Remark: The existence of a power series expansion of a function implies the
existence of an antiderivative.

\vspace{1pt}

Corollary Let $f$ be differentiable in an open disk about $a.$ Then there is
a differentiable function $g$ such that $g^{\prime }(z)=f\left( z\right) $ $%
\forall $ $z$ in this disk.

\vspace{1pt}

Proof. We know that $f(z)=\dsum_{n=0}^{\infty }c_{n}\left( z-a\right) ^{n}$
in this disk about $a.$ Define

\vspace{1pt}

\begin{center}
$g\left( z\right) =\dsum_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{n+1}c_{n}\left( z-a\right)
^{n+1}$

\vspace{1pt}
\end{center}

for $z$ in the disk. It is easy to check that the series for $g\left(
z\right) $ has the same radius of convergence as the series for $f(z).$ The
power series for $g\left( z\right) $ can be differentiated term by term,
which yields $g^{\prime }\left( z\right) =f\left( z\right) .$

\vspace{1pt}

Remark: Taylor series yield information about the zeros of differentiable
functions. We say a number $\zeta $ is a \textit{zero} of $f$ if $f\left(
\zeta \right) =0.$ A zero $\zeta $ is \textit{isolated} if there is an open
disk about $\zeta $ having no other zero of $f$ than $\zeta .$ For example,
the zeros of $\sin z$ are isolated and occur at $n\pi $ for any integer $n.$

\vspace{1pt}

We shall see that the zeros of a differentiable function must be isolated if
the function is not simply the zero function. First we establish

\vspace{1pt}

Theorem: Isolated Zeros: Let $f$ be differentiable on an open set $G$ and
let $\zeta $ be a zero of $f$ in $G.$ Then either $\zeta $ is an isolated
zero, or there is a disk about $\zeta $ on which $f(z)$ is identically zero.

\vspace{1pt}

Proof: $\ $We may write $f\left( z\right) =\dsum_{0}^{\infty }c_{n}\left(
z-\zeta \right) ^{n}$ in some open disk $D$ about $\zeta .$ We consider two
cases:

\vspace{1pt}

1. $c_{n}=0$ $\forall $ $n,$ so that $f\left( z\right) \equiv 0$ throughout $%
D.$

\vspace{1pt}

2. Some coefficient in the series is not zero. Let $m$ be the smallest
integer such that $c_{m}\neq 0.$ For $z\in D$

\vspace{1pt}

$f\left( z\right) =\sum_{n=m}^{\infty }c_{n}\left( z-\zeta \right)
^{n}=\sum_{n=0}^{\infty }c_{n+m}\left( z-\zeta \right) ^{n+m}=\left( z-\zeta
\right) ^{m}\sum_{n=0}^{\infty }c_{n+m}\left( z-\zeta \right) ^{n}$

\vspace{1pt}

Now $\sum_{n=0}^{\infty }c_{n+m}\left( z-\zeta \right) ^{n}$ is a power
series that defines a differentiable function $g\left( z\right) $ in $D$ and
thus $f\left( z\right) =\left( z-\zeta \right) ^{n}g\left( z\right) .$ Now $%
g\left( \zeta \right) =c_{m}\neq 0,$ so there is some open disk $K$ about $%
\zeta $ in which $g\left( z\right) \neq 0.$ Thus, in $K,$ $\ \ f\left(
z\right) \neq 0$ if $z\neq \zeta ,$ so that $\zeta $ is an isolated zero of $%
f.$

\vspace{1pt}

Remark: We shall now use this theorem to show that if $f$ is a
differentiable function that vanishes on a convergent sequence of points in
a domain, then $f$ must be identically zero throughout the entire domain.
This is surprising because it means that values of the function throughout
the domain can be determined by their values on a convergent sequence of
points which may lie in a small part of the domain.

\vspace{1pt}

Theorem: Let $f$ be differentiable on a domain $G.$ Suppose that $\{z_{n}\}$
is a sequence of zeros of $f$ in $G$ converging to a point in $G.$ Then $f=0$
$\forall $ $z\in G.$

\vspace{1pt}

Proof: Recall that a domain is an open, connected set.

\vspace{1pt}

Suppose that $z_{n}\rightarrow \zeta $ where $\zeta \in G.$ Then $f\left(
z_{n}\right) \rightarrow f\left( \zeta \right) .$ But since $f\left(
z_{n}\right) =0$ for each $z_{n},$ then $f\left( \zeta \right) =0.$ Also,
since a sequence of zeros converges to $\zeta ,$ we see that $\zeta $ is not
an isolated zero of $f.$ By the previous theorem there is an open disk $D$
about $\zeta $ in which $f\left( z\right) \equiv 0.$

\vspace{1pt}

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{3.2742in}{2.5936in}{0pt}{}{}{zeros.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 3.2742in;height 2.5936in;depth
0pt;original-width 233.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'/document/graphics/zeros.bmp';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}
\end{center}

We want to show that this forces $f\left( z\right) $ to be zero throughout $%
G.$ Let $w$ be any point of $G.$ We shall show $f(w)=0.$

\vspace{1pt}

Now $G$ is connected so there is a path $\Gamma $ in $G$ from $\zeta $ to $%
w. $ Choose a number $r$ such that every point of $\Gamma $ is at a distance
of at least $2r$ from any boundary point of $G,$ and also choose $r$ to be
less than the radius of $D.$ Now choose a succession of points $\zeta =\xi
_{0},\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}=w$ on $\Gamma $ so that the distance between
successive $\xi _{j},s$ does not exceed $r.$ Form an open disk $D_{j}$ of
radius about $\xi _{j}.$ By the choice of $r$ each $\xi _{j}$ is in $%
D_{j-1}, $ $D_{j},$ and $D_{j+1}$ for $j=1,\ldots ,n-1.$ Also, $\xi
_{0}=\zeta $ is in $D_{0}$ and in $D_{1}$ and $\xi _{n}=w$ is in $D_{n-1}$
and $D_{n}.$

\vspace{1pt}

Since $\xi _{1}$ is also in $D_{0},$ on which $f(z)=0,$ we can find a
sequence of points common to $D_{0}$ and $D_{1}$ converging to $\xi _{1}.$
But $f(z)=0$ throughout $D_{0},$ so $f(z)=0$ at each point of this sequence;
hence $f\left( z\right) =0$ throughout $D_{1}$ by the preceding theorem.

\vspace{1pt}

$\xi _{2}$ is in $D_{1}$ and $D_{2}.$ Form a sequence of points common to $%
D_{1}$ and $D_{2}$ converging to $\xi _{2}.$ Since $f\left( z\right) $
vanishes on $D_{1}$ then $f\left( z\right) =0$ at each point of this
sequence, so $f\left( z\right) =0$ throughout $D_{2}.$

\vspace{1pt}

Continuing in this way we ``walk'' along $\Gamma $ through the $\xi
_{j}^{\prime }s$ getting $f\left( z\right) =0$ on each open $D_{j}$ in turn,
until we finally get $f\left( z\right) =0$ on $D_{n}.$ But $w$ is in $D_{n}$
so $f\left( w\right) =0,$ and this completes the proof.\FRAME{dtbpF}{2.8513in%
}{2.1447in}{0pt}{}{}{d0d1.bmp}{\special{language "Scientific Word";type
"GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width
2.8513in;height 2.1447in;depth 0pt;original-width 481.8125pt;original-height
361.375pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'/document/graphics/d0d1.bmp';file-properties "XNPEU";}}

Theorem Identity Theorem \ Let $f$ and $g$ be differentiable on a domain $G.$
Suppose $\{z_{n}\}$ is a sequence in $G$ that converges to a point of $G$,
and that $f\left( z_{n}\right) =g\left( z_{n}\right) $ for each $n.$ Then $%
f\left( z\right) =g\left( z\right) $ $\forall $ $z\in G.$

\vspace{1pt}

Proof: Apply the preceding theorem to $f\left( z\right) -g\left( z\right) .$

\vspace{1pt}

\subsection{Laurent Expansion}

\vspace{1pt}

A function has a Taylor expansion about a point $a$ when it is
differentiable in some open set having $a$ as an interior point. We now
consider a different kind of series expansion that can be made about a point
at which the function is not differentiable, or perhaps not even defined.

\vspace{1pt}

The set of points $r<\left| z-z_{0}\right| <R$ is called an \textit{annulus.}
$r$ is the radius of the smaller circle, and $R$ is the radius of the
exterior circle. We may have $r=0$ and in this case $z_{0}$ is not in the
annulus and it is called a punctured disk. We may also have $R=\infty ,$
that is all points exterior to the circle of radius $r$ about $z_{0}.$

\vspace{1pt}

Theorem: Laurent Expansion \ Let $0\leq r<R\leq \infty $ and suppose $f$ is
differentiable the annulus $r<\left| z-z_{0}\right| <R.$ Then for each $z$
in this annulus,

\vspace{1pt}

\begin{center}
$f\left( z\right) =\dsum_{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\left( z-z_{0}\right)
^{n}\qquad \qquad \left( 1\right) $

\vspace{1pt}
\end{center}

where for each integer $n$

\vspace{1pt}

\begin{center}
$c_{n}=\dfrac{1}{2\pi i}\doint_{\gamma }\dfrac{f\left( z\right) }{\left(
z-z_{0}\right) ^{n+1}}dz\qquad \qquad \left( 2\right) $

\vspace{1pt}
\end{center}

where $\gamma $ is any closed path about $z_{0}$ lying entirely in the
annulus.

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{2.8513in}{2.1447in}{0pt}{}{}{annulus.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 2.8513in;height 2.1447in;depth
0pt;original-width 451.6875pt;original-height 286.0625pt;cropleft
"0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'/document/graphics/annulus.bmp';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}

Remark: The series $\left( 1\right) $ is called a \textit{Laurent expansion}
of $f\left( z\right) $ about $z_{0}.$ Note that written out $\left( 1\right) 
$ is

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\cdots +\dfrac{c_{-2}}{\left( z-z_{0}\right) ^{2}}+\dfrac{c_{-1}}{\left(
z-z_{0}\right) }+c_{0}+c_{1}\left( z-z_{0}\right) +c_{2}\left( z-z\right)
^{2}+\cdots $

\vspace{1pt}
\end{center}

$f\left( z\right) $ need not be differentiable, or even defined at $z_{0}$
or at other points interior to the inner circle bounding the annulus. The $%
c_{n}^{\prime }s$ given by $\left( 2\right) $ are called the \textit{Laurent
coefficients of }$f$ \textit{about }$z_{0}.$

\vspace{1pt}

We may think of a Laurent series as a decomposition of $f\left( z\right) $
into a sum

\vspace{1pt}

\begin{center}
$f\left( z\right) =\dsum_{n=-\infty }^{-1}c_{n}\left( z-z_{0}\right)
^{n}+\dsum_{n=0}^{\infty }c_{n}\left( z-z_{0}\right) ^{n}=h\left( z\right)
+g\left( z\right) $

\vspace{1pt}
\end{center}

The part containing all the nonnegative powers of $z-z_{0}$ is a Taylor
series about $z_{0}$ and defines a function $g$ that is analytic on $\left|
z-z_{0}\right| <R.$ The part containing the negative powers of $z-z_{0}$
defines a function $h\left( z\right) $ that is not defined on $\left|
z-z_{0}\right| <r.$ This part contains any ''bad features'' of $f$ within
the inner circle.

\vspace{1pt}

Proof of the Laurent Theorem: Let $z$ be in the annulus. Choose $r_{1}$ and $%
r_{2}$ so that $r<r_{1}<r_{2}<R$ and so that the circle $\gamma _{1}:\left|
z-z_{0}\right| =r_{1}$ does not enclose $z,$ while $\gamma _{2}:\left|
z-z_{0}\right| =r_{2}$ does enclose $z.$

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.0914in}{3.1704in}{0pt}{}{}{circles.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 4.0914in;height 3.1704in;depth
0pt;original-width 292.0625pt;original-height 225.875pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'/document/graphics/circles.bmp';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}
\end{center}

Insert the segments between $\gamma _{1}$ and $\gamma _{2}$ as shown below

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.0914in}{3.1704in}{0pt}{}{}{paths.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 4.0914in;height 3.1704in;depth
0pt;original-width 292.0625pt;original-height 225.875pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'/document/graphics/paths.bmp';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}
\end{center}

forming two closed paths $\Gamma _{1}$ and $\Gamma _{2}$ as shown in the
figure below$.$

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.0914in}{3.1704in}{0pt}{}{}{paths3.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 4.0914in;height 3.1704in;depth
0pt;original-width 292.0625pt;original-height 225.875pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'/document/graphics/paths3.bmp';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}

Since $f$ is differentiable on and in the interior of $\Gamma _{1}$, and
this curve encloses $z.$ Hence by the Cauchy Integral Formula we have that

\vspace{1pt}

\begin{center}
$f\left( z\right) =\dfrac{1}{2\pi i}\doint_{\Gamma _{1}}\dfrac{f\left(
w\right) }{w-z}dw$

\vspace{1pt}
\end{center}

By the Cauchy integral theorem\qquad $\doint_{\Gamma _{2}}\dfrac{f\left(
w\right) }{w-z}dw=0$ because $f\left( z\right) /\left( w-z\right) $ is
differentiable on and in the interior of $\Gamma _{2}.$ Hence

\vspace{1pt}

\begin{center}
$f\left( z\right) =\dfrac{1}{2\pi i}\doint_{\Gamma _{1}}\dfrac{f\left(
w\right) }{w-z}dw+\dfrac{1}{2\pi i}\doint_{\Gamma _{2}}\dfrac{f\left(
w\right) }{w-z}dw$

\vspace{1pt}
\end{center}

where both $\Gamma _{1}$ and $\Gamma _{2}$ are oriented counterclockwise.
Note that in the sum of the integrals we integrate over the two straight
lines $L_{1}$ and $L_{2}$ in both directions, so that the net contribution
is zero. However, with the contributions from $L_{1}$ and $L_{2}$ cancelling
out we are thus integrating over $\gamma _{2}$ in the counterclockwise
direction and $\gamma _{1}$ in the clockwise direction. Since $-\gamma _{1}$
is in the counterclockwise direction we may write the last expression as

\vspace{1pt}

\begin{center}
$f\left( z\right) =\dfrac{1}{2\pi i}\doint_{\gamma _{2}}\dfrac{f\left(
w\right) }{w-z}dw-\dfrac{1}{2\pi i}\doint_{\gamma _{1}}\dfrac{f\left(
w\right) }{w-z}dw\qquad \left( 1\right) $

\vspace{1pt}
\end{center}

Here the orientation on both circles is counterclockwise.

We may write the fraction in the first integral in $\left( 1\right) $ as

\vspace{1pt}

$\dfrac{1}{w-z}=\dfrac{1}{w-z_{0}+z_{0}-z}=\dfrac{1}{w-z_{0}-\left(
z-z_{0}\right) }=\dfrac{1}{w-z_{0}}\dfrac{1}{1-\left( \dfrac{z-z_{0}}{w-z_{0}%
}\right) }$

$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =\dfrac{1}{w-z_{0}}\dsum_{n=0}^{\infty
}\left( \dfrac{z-z_{0}}{w-z_{0}}\right) ^{n}=\dsum_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{%
\left( w-z_{0}\right) ^{n+1}}\left( z-z_{0}\right) ^{n}$

This last series is a convergent geometric series since $w$ is on $\gamma
_{2}$ and thus $\left| \frac{z-z_{0}}{w-z_{0}}\right| <1.$

\vspace{1pt}

For the fraction in the second integral in $\left( 1\right) $ we have

\vspace{1pt}$\dfrac{1}{w-z}=\dfrac{1}{w-z_{0}+z_{0}-z}=\dfrac{1}{%
w-z_{0}-\left( z-z_{0}\right) }=\dfrac{-1}{z-z_{0}}\dfrac{1}{1-\left( \dfrac{%
w-z_{0}}{z-z_{0}}\right) }$

\qquad \qquad \qquad $=\dfrac{-1}{z-z_{0}}\dsum_{n=0}^{\infty }\left( \dfrac{%
w-z_{0}}{z-z_{0}}\right) ^{n}=-\dsum_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{\left(
z-z_{0}\right) ^{n+1}}\left( w-z_{0}\right) ^{n}$

\vspace{1pt}

This geometric expansion also converges since for $w$ on $\gamma _{1}$ we
have $\left| \frac{w-z_{0}}{z-z_{0}}\right| <1.$ Since $f$ is differentiable
on both curves and the convergence of both geometric series is absolute, we
use $\left( 1\right) $ to write

\vspace{1pt}

\QTP{Body Math}
$f\left( z\right) =\dfrac{1}{2\pi i}\doint_{\gamma _{2}}\left(
\dsum_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{\left( w-z_{0}\right) ^{n+1}}f\left( w\right)
dw\right) \left( z-z_{0}\right) ^{n}$

\begin{center}
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\dfrac{1}{2\pi i}\doint_{\gamma
_{1}}\left( \dsum_{n=0}^{\infty }\left( w-z_{0}\right) ^{n}f\left( w\right)
dw\right) \dfrac{1}{\left( z-z_{0}\right) ^{n+1}}$

\vspace{1pt}
\end{center}

\QTP{Body Math}
$\qquad \qquad =\dsum_{n=0}^{\infty }\left( \dfrac{1}{2\pi i}\doint_{\gamma
_{2}}\dfrac{f\left( w\right) }{\left( w-z_{0}\right) ^{n+1}}dw\right) \left(
z-z_{0}\right) ^{n}$

\begin{center}
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\dsum_{n=0}^{\infty }\left( \dfrac{1}{%
2\pi i}\doint_{\gamma _{1}}\left( w-z_{0}\right) ^{n}f\left( w\right)
dw\right) \dfrac{1}{\left( z-z_{0}\right) ^{n+1}}$

\vspace{1pt}
\end{center}

In the last summation let $n=-m-1$ to get

\vspace{1pt}

$f\left( z\right) =\dsum_{n=0}^{\infty }\left( \dfrac{1}{2\pi i}%
\doint_{\gamma _{2}}\dfrac{f\left( w\right) }{\left( w-z_{0}\right) ^{n+1}}%
dw\right) \left( z-z_{0}\right) ^{n}+\dsum_{m=-1}^{-\infty }\left( \dfrac{1}{%
2\pi i}\doint_{\gamma _{2}}\dfrac{f\left( w\right) }{\left( w-z_{0}\right)
^{m+1}}dw\right) \left( z-z_{0}\right) ^{-m}$

\vspace{1pt}

Now use the deformation theorem to replace the integrals over $\gamma _{1}$
and $\gamma _{2}$ with integrals over $\gamma $ so that we have

\vspace{1pt}

\begin{center}
$f\left( z\right) =\dsum_{n=-\infty }^{\infty }\left( \dfrac{1}{2\pi i}%
\doint_{\gamma }\dfrac{f\left( w\right) }{\left( w-z_{0}\right) ^{n+1}}%
dw\right) \left( z-z_{0}\right) ^{n}=\dsum_{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\left(
z-z_{0}\right) ^{n}$
\end{center}

\end{document}

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