%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Scientific Word Wrap/Unwrap Version 2.5 % % Scientific Word Wrap/Unwrap Version 3.0 % % % % If you are separating the files in this message by hand, you will % % need to identify the file type and place it in the appropriate % % directory. The possible types are: Document, DocAssoc, Other, % % Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files % % tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file % % directory. Macro files go into your TeX macros directory. Style % % files are used by Scientific Word and do not need to be extracted. % % Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a % % graphics directory. % % % % Graphic files need to be converted from the text format (this is % % done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Files included: % % % % "/document/Lecture2.tex", Document, 15123, 9/7/1999, 15:18:14, "" % % "/document/distance.bmp", ImportPict, 541374, 8/10/1997, 17:32:20, ""% % "/document/plane.bmp", ImportPict, 541374, 8/10/1997, 23:45:04, "" % % "/document/arguments.bmp", ImportPict, 541374, 8/11/1997, 11:54:36, ""% % "/document/vectorsum.bmp", ImportPict, 541374, 8/11/1997, 12:32:50, ""% % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/Lecture2.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.0 \documentclass[12pt,thmsa]{article} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{sw20jart} %TCIDATA{TCIstyle=article/art4.lat,jart,sw20jart} %TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL} %TCIDATA{Created=Mon Aug 19 14:52:24 1996} %TCIDATA{LastRevised=Tuesday, September 07, 1999 11:18:11} %TCIDATA{} %TCIDATA{Language=American English} %TCIDATA{CSTFile=Lab Report.cst} %TCIDATA{PageSetup=72,72,72,72,0} %TCIDATA{AllPages= %H=36 %F=36,\PARA{035

II - \thepage } %} \input{tcilatex} \begin{document} \section{Ma 681} \vspace{1pt} \section{Lecture 2} \vspace{1pt} Recall: \vspace{1pt} Definition: Given some set $X$ of element $a,b,c,....,$ then $X$ is called a \textit{metric space} if for each pair of points $a,b\in X$ \ there is defined a real number $d(a,b)$ (called the \textit{distance between }$a$ \textit{and} \vspace{1pt}$b$) which satisfies the properties: \vspace{1pt} D$_{1}$. $d(a,b)\geq 0$ and $=0$ $\Longleftrightarrow $ $a=b.$ \vspace{1pt} D$_{2}.$ $d(a,b)=d(b,a)$ \vspace{1pt} D$_{3}.$ $d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)$ \ \ (triangular inequality) \vspace{1pt} \vspace{1pt}Example 1: If $X=R$ and $d(a,b)=\left| b-a\right| $, then $R$ is called the Euclidean one-dimensional space $E_{1}.$ \vspace{1pt} Recall that if $z=x+iy,$ then $\left| z\right| =(x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{2}}.$ \vspace{1pt} Example 2: If $X=C$, let \vspace{1pt} \begin{center} $d(z_{1},z_{2})=d(x_{1}+iy_{1},x_{2}+iy_{2})=\left| z_{1}-z_{2}\right| =% \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}.$ \end{center} \vspace{1pt} Then $C$ is a metric space and is called the Euclidean Plane $E_{2}.$ \FRAME{dtbpF}{5.4734in}{2.8816in}{0pt}{}{}{distance.bmp}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 5.4734in;height 2.8816in;depth 0pt;original-width 498.375pt;original-height 261.25pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'distance.bmp';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt}Theorem 2.1 $\forall $ $z,w\in C$ we have \vspace{1pt} 1. $\overline{\left( \overline{\bar{z}}\right) }=z\qquad $2. $\overline{z+w}=% \bar{z}+\bar{w}\qquad $3$.$ $\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}\qquad $4$.$ $% \left| \bar{z}\right| =\left| z\right| \qquad $5$.$ $\left| zw\right| =\left| z\right| \left| w\right| \qquad $ 6. Real part of $z=\func{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z})\qquad $and Imaginary part of $z=\func{Im}(z)=\frac{1}{2i}(z-\bar{z})$ 7. $\left| z\right| \geq 0$ and $\left| z\right| =0\Leftrightarrow z=0.\qquad 8.$ $z\bar{z}=\left| z\right| ^{2}$ \vspace{1pt} Theorem 2.2 Inequalities: $\forall z,w\in C$ 1. $\left| \func{Re}(z)\right| \leq \left| z\right| \qquad $2$.$ $\left| \func{Im}(z)\right| \leq \left| z\right| $ 3. $\left| z+w\right| \leq \left| z\right| +\left| w\right| \qquad $4$.$ $% \left| \text{ }\left| z\right| -\left| w\right| \right| \leq \left| z+w\right| $ \vspace{1pt} Proof of (3):\qquad $0\leq \left| z+w\right| ^{2}=(z+w)\overline{(z+w)}% =(z+w)(\bar{z}+\bar{w})=z\bar{z}+z\bar{w}+w\bar{z}+w\bar{w}$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=\left| z\right| ^{2}+z\bar{w}+\overline{(z\bar{w})}+\left| w\right| ^{2}=\left| z\right| ^{2}+2\func{Re}(z\bar{w})+\left| w\right| ^{2}$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $\leq \left| z\right| ^{2}+2\left| z\bar{w}\right| +\left| w\right| ^{2}=\left| z\right| ^{2}+2\left| z\right| \left| w\right| +\left| w\right| ^{2}=(\left| z\right| +\left| w\right| )^{2}$ \vspace{1pt} Proof of (4): $\left| z\right| =\left| z+w-w\right| \leq \left| z+w\right| +\left| w\right| $ \vspace{1pt} Hence\qquad $\left| z\right| -\left| w\right| \leq \left| z+w\right| $ Now interchanging $z$ and $w$ $\Longrightarrow \left| w\right| -\left| z\right| \leq \left| w+z\right| .$ Hence \vspace{1pt} \begin{center} $-\left| z+w\right| \leq \left| z\right| -\left| w\right| \leq \left| z+w\right| $ \vspace{1pt} \end{center} which is equivalent to 4. \subsection{\protect\vspace{1pt}The Complex Plane} \subsubsection{Geometry of Complex Numbers} \vspace{1pt} $\exists $ a 1-1 correspondence between the complex numbers and the points (or vectors from the origin) of the Euclidean plane. \FRAME{dtbpF}{4.3215in}{2.898in}{0pt}{}{}{plane.bmp}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.3215in;height 2.898in;depth 0pt;original-width 390.6875pt;original-height 261.25pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'plane.bmp';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} We define a Cartesian coordinate system in the plane and identify $z=x+iy$ with the point $P(x,y)$ or with the vector $OP.$ $\vspace{1pt}$ Remark: $r$ is often called the \textit{modulus} of $z$. It is the length of the vector from $O$ to $P.$ The $x$ axis is called the \textit{real} axis, and the $y$ axis is called the \textit{imaginary} axis. \vspace{1pt} \subsection{Polar Coordinates} \vspace{1pt} The angle $\theta $ that the vector $OP$ makes with the positive $x-axis$ is called the \textit{argument }or the \textit{amplitude} of $z.$ We may represent $z$ in terms of polar coordinates as \vspace{1pt} \begin{center} \[ z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r\limfunc{cis}\theta \] \end{center} \vspace{1pt} where $r=\left| z\right| =(x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{2}}.$ We write \vspace{1pt} \begin{center} \[ \theta =\arg z=\arg (x+iy) \] \vspace{1pt} \end{center} Note that $\theta $ is determined up to a multiple of $2\pi .$ To define $% \arg z$ as a single-valued function of $z$ we usually make the restriction $% 0\leq \theta <2\pi $ or $-\pi <\theta <\pi .$ \vspace{1pt} From $x=r\cos \theta $ and $y=r\sin \theta $ we have that \vspace{1pt} \begin{center} \[ \theta =\arctan \frac{y}{x}. \] \vspace{1pt} \end{center} Remark: arctan has period $\pi ,$ while $\arg z$ has period $2\pi .$ Since $% \arctan \frac{y}{x}=\arctan \left( \frac{-y}{-x}\right) ,$ $\theta $ may be the $\arg (-z).$ \ One must test the $\theta $ obtained since $\arg z$ and $% \arg (-z)$ differ by an odd multiple of $\pi .$ \vspace{1pt} Remark: $\bar{z}=r(\cos \theta -i\sin \theta )$ and $\arg \bar{z}=-\arg z.$ \vspace{1pt} Example: Find all of the arguments of $z=-1+4i$ \vspace{1pt} $z$ is in the second quadrant: \FRAME{dtbpF}{4.0179in}{2.6956in}{0pt}{}{}{arguments.bmp}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.0179in;height 2.6956in;depth 0pt;original-width 390.6875pt;original-height 261.25pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'arguments.bmp';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt}With the $\alpha $ shown, $\tan \alpha =4$, so $\alpha =\tan ^{-1}4.$ The angle $\theta $ is one argument of $-1+4i,$ and \begin{center} $\theta =\pi -\tan ^{-1}4.$ \end{center} \vspace{1pt} Hence \vspace{1pt} \begin{center} $\arg (-1+4i)=\left\{ \pi -\tan ^{-1}4+2\pi k|\text{ }k\text{ an integer}% \right\} $ \end{center} \vspace{1pt} \subsubsection{Geometry of the Arithmetic Operations} \vspace{1pt} Let $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ and $z_{2}=x_{2}+iy_{2}.$ Then $% z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2}).$ Geometrically this may be represented as \FRAME{dtbpF}{4.0179in}{2.6956in}{0pt}{}{}{vectorsum.bmp}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.0179in;height 2.6956in;depth 0pt;original-width 390.6875pt;original-height 261.25pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'vectorsum.bmp';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} We may also write $z_{1}=r_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})$ and $% z_{2}=r_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2}).$ Then \vspace{1pt} $z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\left\{ (\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\sin \theta _{1}\sin \theta _{2})+i(\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}+\cos \theta _{2}\sin \theta _{1})\right\} $ \qquad\ \ $=r_{1}r_{2}\left\{ \cos (\theta _{1}+\theta _{2})+i\sin (\theta _{1}+\theta _{2})\right\} $ \vspace{1pt} Theorem2.3 $\arg (z_{1}z_{2})=\arg z_{1}+\arg z_{2}.$ (up to a multiple of $% 2\pi )$ \vspace{1pt} Theorem 2.4 $(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta $ \ (de Moivre) \vspace{1pt} Proof: For $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ \ \qquad $z^{2}=r^{2}(\cos 2\theta +i\sin 2\theta ),\ldots ,z^{n}=r^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )$ by Theorem 2.3. However, we also have that $z^{n}=r^{n}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.$ Binomial Expansion of $(z+w)^{n}$ \vspace{1pt} \begin{center} \[ (z+w)^{n}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}z^{n-r}w^{r} \] \vspace{1pt} \end{center} where $\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\left( n-r\right) !}.$ Hence \vspace{1pt} \begin{center} $\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}\cos ^{^{n-r}}\theta (i\sin \theta )^{r}=(\cos n\theta +i\sin n\theta )$ \vspace{1pt} \end{center} This can be used to get an expression for $\cos n\theta $ and $\sin n\theta $ in terms of $\cos \theta $ and $\sin \theta .$ \vspace{1pt}Definition. $z^{0}=1\qquad z^{n}=z^{n-1}z\qquad $for $% n=1,2,\ldots $ \subsection{Polynomials} \vspace{1pt} A \textit{polynomial of degree }$n$ is an expression of the form \vspace{1pt} \begin{center} $P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}$ \vspace{1pt} \end{center} where $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ are given real or complex numbers. \vspace{1pt} Theorem 2.5 If the coefficients of $P(z)$ are real and $z_{0}$ is such that $% P(z_{0})=0,$ then $P(\bar{z}_{0})=0.$ \vspace{1pt} Rational Powers and Roots. Definition If $z\neq 0$ then $z^{n}=\dfrac{1}{z^{-n}}$ for $n=-1,-2,\ldots $ Question: How do we define $z^{r}$ where $r$ is a rational number? Answer: $r$ rational $\Longrightarrow r=\frac{m}{n}$. Therefore we must define $z^{\frac{m}{n}}$, where $m$ and $n$ are integers. Now $z^{\frac{m}{n}% }=\left( z^{m}\right) ^{\frac{1}{n}}.\Rightarrow $we need a definition of $% z^{\frac{1}{n}}$. \vspace{1pt} Definition If $w^{n}=z,$ we say $w$ is an $n$ th root of $z.$ We denote this by $w=z^{\frac{1}{n}}.$ Let $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ and $w=R(\cos \Theta +i\sin \Theta ).$ Hence \vspace{1pt} $w^{n}=R^{n}(\cos \Theta +i\sin \Theta )^{n}=R^{n}(\cos n\Theta +i\sin n\Theta )=z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ \vspace{1pt} \vspace{1pt}$\Rightarrow R^{n}=r\qquad $and\qquad $n\Theta =\theta +2k\pi $ \ ($k$ any integer) $\Rightarrow \left| w\right| =R=r^{\frac{1}{n}}\qquad $the positive $n$th root of the positive number $r,$ and \vspace{1pt} $\arg w=\Theta =\left( \frac{\theta +2k\pi }{n}\right) $ \ $k=0,1,2,\ldots $ Thus \vspace{1pt} \begin{center} $w=z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}\left[ \cos \left( \frac{\theta +2k\pi }{n}% \right) +i\sin \left( \frac{\theta +2k\pi }{n}\right) \right] $ \end{center} Here $k$ can be any integer. However, we only get distinct values for $% k=0,1,2,\ldots n-1$ . For $k=n,n+1,\ldots $ \ or k$=-1,-2,-3,\ldots $ we repeat these values. To find $z^{\frac{m}{n}}$ we find $(z^{m})^{\frac{1}{n}% } $. Example: Find all possible values of $(2-2i)^{\frac{3}{5}}$. \begin{center} $(2-2i)^{3}=(4-8i-4)(2-2i)=-16-16i$ . \end{center} \vspace{1pt} Therefore we need the fifth roots of $-16-16i$. Now $\tan \theta =\frac{y}{x}% =\frac{-16}{-16}=+1$. Since $-16-16i$ is in the third quadrant $\theta =\pi +% \frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$. Thus the fifth roots are: $(\sqrt{512})^{\frac{1}{5}}\left[ \cos \left( \frac{\frac{5\pi }{4}}{5}% \right) +i\sin \left( \frac{5\pi }{20}\right) \right] \qquad \qquad \qquad k=0$ $(\sqrt{512})^{\frac{1}{5}}\left[ \cos \left( \frac{\frac{5\pi }{4}+2\pi }{5}% \right) +i\sin \left( \frac{5\pi }{20}+\frac{2\pi }{5}\right) \right] \qquad \ \ \ k=1$ $\qquad =(\sqrt{512})^{\frac{1}{5}}\left[ \cos \left( \frac{13\pi }{20}% \right) +i\sin \left( \frac{13\pi }{20}\right) \right] $ $(\sqrt{512})^{\frac{1}{5}}\left[ \cos \left( \frac{5\pi }{20}+\frac{4\pi }{5% }\right) +i\sin \left( \frac{21\pi }{20}\right) \right] \qquad \qquad \ \ k=2 $ $(\sqrt{512})^{\frac{1}{5}}\left[ \cos \left( \frac{5\pi }{20}+\frac{6\pi }{5% }\right) +i\sin \left( \frac{29\pi }{20}\right) \right] \qquad \qquad \ \ k=3 $ $(\sqrt{512})^{\frac{1}{5}}\left[ \cos \left( \frac{5\pi }{20}+\frac{8\pi }{5% }\right) +i\sin \left( \frac{37\pi }{20}\right) \right] \qquad \qquad \ \ k=4 $ Remark: Let $z=1.$ Then the $n$th roots of $1$ are since $\arg 1=0$ \vspace{1pt} $\sqrt[n]{1}=\omega _{n}=\cos \left( \frac{2mk}{n}\right) +i\sin \left( \frac{2\pi k}{n}\right) \qquad k=0,1,\ldots n-1$ \vspace{1pt} \subsection{Curves and Regions in the Complex Plane} \vspace{1pt} Suppose $F(x,y)=0$ represents a curve in the plane. Then in complex notation this becomes \vspace{1pt} \begin{center} \[ F\left[ \frac{1}{2}(z+\bar{z}),\frac{1}{2i}(z-\bar{z})\right] =0 \] \vspace{1pt} \end{center} For a given angle $\theta _{0}$ the equation \vspace{1pt} \begin{center} \[ z=z_{0}+t(\cos \theta _{0}+i\sin \theta _{0})\qquad 0\leq t<\infty \] \vspace{1pt} \end{center} represents a ray from the point $z_{0}$ making an angle $\theta _{0}$ with the positive real axis. Thus \begin{center} \vspace{1pt}% \[ \arg (z-z_{0})=\theta _{0} \] \end{center} If $z_{1}\neq z_{0}$ also a point on the line, then we can write the equation of the \textit{entire }line as \vspace{1pt} \begin{center} $z=z_{0}+s(z_{1}-z_{0}),\qquad -\infty 1$ gives the infinite segment beyond $z_{1}.$ $s<1$ gives the other infinite segment. Since $s$ is real, we see that the equation of a line through the points $z_{0}$ and $z_{1}$ may also be written as \vspace{1pt} \begin{center} $\func{Im}\left( \frac{z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}\right) =0.$ \vspace{1pt} \end{center} The equation of a circle of radius $r$ centered at $z_{0}$ is given by \vspace{1pt} \begin{center} $\left| z-z_{0}\right| =r$ \vspace{1pt} \end{center} or alternatively \vspace{1pt} \begin{center} $z=z_{0}+r(\cos \theta +i\sin \theta )\qquad 0\leq \theta <2\pi $ \vspace{1pt} \end{center} The interior of the circle is given by $\left| z-z_{0}\right| 0$ defines a circle for $K\neq 1.$ For $K=1$ it represents the perpendicular bisector of the line segment joining $z_{1}$ and \ $z_{2}.$ \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/Lecture2.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/distance.bmp %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% BudoBa@@@@@@@XC@@@@J@@@@GH@@@lU@@@P@@`A@@@@@@`hPH@`sN@@@X{@@@@@@@@@@@@@@                            @@@@                       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