%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% Scientific Word Wrap/Unwrap Version 2.5 %
% Scientific Word Wrap/Unwrap Version 3.0 %
% %
% If you are separating the files in this message by hand, you will %
% need to identify the file type and place it in the appropriate %
% directory. The possible types are: Document, DocAssoc, Other, %
% Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files %
% tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file %
% directory. Macro files go into your TeX macros directory. Style %
% files are used by Scientific Word and do not need to be extracted. %
% Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a %
% graphics directory. %
% %
% Graphic files need to be converted from the text format (this is %
% done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. %
% %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% Files included: %
% %
% "/document/Lecture2.tex", Document, 15123, 9/7/1999, 15:18:14, "" %
% "/document/distance.bmp", ImportPict, 541374, 8/10/1997, 17:32:20, ""%
% "/document/plane.bmp", ImportPict, 541374, 8/10/1997, 23:45:04, "" %
% "/document/arguments.bmp", ImportPict, 541374, 8/11/1997, 11:54:36, ""%
% "/document/vectorsum.bmp", ImportPict, 541374, 8/11/1997, 12:32:50, ""%
% %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/Lecture2.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.0
\documentclass[12pt,thmsa]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{sw20jart}
%TCIDATA{TCIstyle=article/art4.lat,jart,sw20jart}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Created=Mon Aug 19 14:52:24 1996}
%TCIDATA{LastRevised=Tuesday, September 07, 1999 11:18:11}
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%TCIDATA{Language=American English}
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%TCIDATA{AllPages=
%H=36
%F=36,\PARA{035
II - \thepage }
%}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\section{Ma 681}
\vspace{1pt}
\section{Lecture 2}
\vspace{1pt}
Recall:
\vspace{1pt}
Definition: Given some set $X$ of element $a,b,c,....,$ then $X$ is called a
\textit{metric space} if for each pair of points $a,b\in X$ \ there is
defined a real number $d(a,b)$ (called the \textit{distance between }$a$
\textit{and} \vspace{1pt}$b$) which satisfies the properties:
\vspace{1pt}
D$_{1}$. $d(a,b)\geq 0$ and $=0$ $\Longleftrightarrow $ $a=b.$
\vspace{1pt}
D$_{2}.$ $d(a,b)=d(b,a)$
\vspace{1pt}
D$_{3}.$ $d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)$ \ \ (triangular inequality)
\vspace{1pt}
\vspace{1pt}Example 1: If $X=R$ and $d(a,b)=\left| b-a\right| $, then $R$ is
called the Euclidean one-dimensional space $E_{1}.$
\vspace{1pt}
Recall that if $z=x+iy,$ then $\left| z\right| =(x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{2}}.$
\vspace{1pt}
Example 2: If $X=C$, let
\vspace{1pt}
\begin{center}
$d(z_{1},z_{2})=d(x_{1}+iy_{1},x_{2}+iy_{2})=\left| z_{1}-z_{2}\right| =%
\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}.$
\end{center}
\vspace{1pt}
Then $C$ is a metric space and is called the Euclidean Plane $E_{2}.$
\FRAME{dtbpF}{5.4734in}{2.8816in}{0pt}{}{}{distance.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 5.4734in;height 2.8816in;depth
0pt;original-width 498.375pt;original-height 261.25pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'distance.bmp';file-properties
"XNPEU";}}
\vspace{1pt}Theorem 2.1 $\forall $ $z,w\in C$ we have
\vspace{1pt}
1. $\overline{\left( \overline{\bar{z}}\right) }=z\qquad $2. $\overline{z+w}=%
\bar{z}+\bar{w}\qquad $3$.$ $\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}\qquad $4$.$ $%
\left| \bar{z}\right| =\left| z\right| \qquad $5$.$ $\left| zw\right|
=\left| z\right| \left| w\right| \qquad $
6. Real part of $z=\func{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z})\qquad $and Imaginary
part of $z=\func{Im}(z)=\frac{1}{2i}(z-\bar{z})$
7. $\left| z\right| \geq 0$ and $\left| z\right| =0\Leftrightarrow
z=0.\qquad 8.$ $z\bar{z}=\left| z\right| ^{2}$
\vspace{1pt}
Theorem 2.2 Inequalities: $\forall z,w\in C$
1. $\left| \func{Re}(z)\right| \leq \left| z\right| \qquad $2$.$ $\left|
\func{Im}(z)\right| \leq \left| z\right| $
3. $\left| z+w\right| \leq \left| z\right| +\left| w\right| \qquad $4$.$ $%
\left| \text{ }\left| z\right| -\left| w\right| \right| \leq \left|
z+w\right| $
\vspace{1pt}
Proof of (3):\qquad $0\leq \left| z+w\right| ^{2}=(z+w)\overline{(z+w)}%
=(z+w)(\bar{z}+\bar{w})=z\bar{z}+z\bar{w}+w\bar{z}+w\bar{w}$
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=\left| z\right|
^{2}+z\bar{w}+\overline{(z\bar{w})}+\left| w\right| ^{2}=\left| z\right|
^{2}+2\func{Re}(z\bar{w})+\left| w\right| ^{2}$
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $\leq \left|
z\right| ^{2}+2\left| z\bar{w}\right| +\left| w\right| ^{2}=\left| z\right|
^{2}+2\left| z\right| \left| w\right| +\left| w\right| ^{2}=(\left| z\right|
+\left| w\right| )^{2}$
\vspace{1pt}
Proof of (4): $\left| z\right| =\left| z+w-w\right| \leq \left| z+w\right|
+\left| w\right| $
\vspace{1pt}
Hence\qquad $\left| z\right| -\left| w\right| \leq \left| z+w\right| $ Now
interchanging $z$ and $w$ $\Longrightarrow \left| w\right| -\left| z\right|
\leq \left| w+z\right| .$ Hence
\vspace{1pt}
\begin{center}
$-\left| z+w\right| \leq \left| z\right| -\left| w\right| \leq \left|
z+w\right| $
\vspace{1pt}
\end{center}
which is equivalent to 4.
\subsection{\protect\vspace{1pt}The Complex Plane}
\subsubsection{Geometry of Complex Numbers}
\vspace{1pt}
$\exists $ a 1-1 correspondence between the complex numbers and the points
(or vectors from the origin) of the Euclidean plane.
\FRAME{dtbpF}{4.3215in}{2.898in}{0pt}{}{}{plane.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 4.3215in;height 2.898in;depth
0pt;original-width 390.6875pt;original-height 261.25pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'plane.bmp';file-properties
"XNPEU";}}
\vspace{1pt}
We define a Cartesian coordinate system in the plane and identify $z=x+iy$
with the point $P(x,y)$ or with the vector $OP.$
$\vspace{1pt}$
Remark: $r$ is often called the \textit{modulus} of $z$. It is the length of
the vector from $O$ to $P.$ The $x$ axis is called the \textit{real} axis,
and the $y$ axis is called the \textit{imaginary} axis.
\vspace{1pt}
\subsection{Polar Coordinates}
\vspace{1pt}
The angle $\theta $ that the vector $OP$ makes with the positive $x-axis$ is
called the \textit{argument }or the \textit{amplitude} of $z.$ We may
represent $z$ in terms of polar coordinates as
\vspace{1pt}
\begin{center}
\[
z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r\limfunc{cis}\theta
\]
\end{center}
\vspace{1pt}
where $r=\left| z\right| =(x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{2}}.$ We write
\vspace{1pt}
\begin{center}
\[
\theta =\arg z=\arg (x+iy)
\]
\vspace{1pt}
\end{center}
Note that $\theta $ is determined up to a multiple of $2\pi .$ To define $%
\arg z$ as a single-valued function of $z$ we usually make the restriction $%
0\leq \theta <2\pi $ or $-\pi <\theta <\pi .$
\vspace{1pt}
From $x=r\cos \theta $ and $y=r\sin \theta $ we have that
\vspace{1pt}
\begin{center}
\[
\theta =\arctan \frac{y}{x}.
\]
\vspace{1pt}
\end{center}
Remark: arctan has period $\pi ,$ while $\arg z$ has period $2\pi .$ Since $%
\arctan \frac{y}{x}=\arctan \left( \frac{-y}{-x}\right) ,$ $\theta $ may be
the $\arg (-z).$ \ One must test the $\theta $ obtained since $\arg z$ and $%
\arg (-z)$ differ by an odd multiple of $\pi .$
\vspace{1pt}
Remark: $\bar{z}=r(\cos \theta -i\sin \theta )$ and $\arg \bar{z}=-\arg z.$
\vspace{1pt}
Example: Find all of the arguments of $z=-1+4i$
\vspace{1pt} $z$ is in the second quadrant:
\FRAME{dtbpF}{4.0179in}{2.6956in}{0pt}{}{}{arguments.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 4.0179in;height 2.6956in;depth
0pt;original-width 390.6875pt;original-height 261.25pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'arguments.bmp';file-properties
"XNPEU";}}
\vspace{1pt}With the $\alpha $ shown, $\tan \alpha =4$, so $\alpha =\tan
^{-1}4.$ The angle $\theta $ is one argument of $-1+4i,$ and
\begin{center}
$\theta =\pi -\tan ^{-1}4.$
\end{center}
\vspace{1pt}
Hence
\vspace{1pt}
\begin{center}
$\arg (-1+4i)=\left\{ \pi -\tan ^{-1}4+2\pi k|\text{ }k\text{ an integer}%
\right\} $
\end{center}
\vspace{1pt}
\subsubsection{Geometry of the Arithmetic Operations}
\vspace{1pt}
Let $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ and $z_{2}=x_{2}+iy_{2}.$ Then $%
z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2}).$ Geometrically this may be
represented as
\FRAME{dtbpF}{4.0179in}{2.6956in}{0pt}{}{}{vectorsum.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 4.0179in;height 2.6956in;depth
0pt;original-width 390.6875pt;original-height 261.25pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'vectorsum.bmp';file-properties
"XNPEU";}}
\vspace{1pt}
We may also write $z_{1}=r_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})$ and $%
z_{2}=r_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2}).$ Then
\vspace{1pt}
$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\left\{ (\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\sin \theta
_{1}\sin \theta _{2})+i(\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}+\cos \theta
_{2}\sin \theta _{1})\right\} $
\qquad\ \ $=r_{1}r_{2}\left\{ \cos (\theta _{1}+\theta _{2})+i\sin (\theta
_{1}+\theta _{2})\right\} $
\vspace{1pt}
Theorem2.3 $\arg (z_{1}z_{2})=\arg z_{1}+\arg z_{2}.$ (up to a multiple of $%
2\pi )$
\vspace{1pt}
Theorem 2.4 $(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta $
\ (de Moivre)
\vspace{1pt}
Proof: For $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ \ \qquad $z^{2}=r^{2}(\cos
2\theta +i\sin 2\theta ),\ldots ,z^{n}=r^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )$
by Theorem 2.3. However, we also have that $z^{n}=r^{n}(\cos \theta +i\sin
\theta )^{n}.$
Binomial Expansion of $(z+w)^{n}$
\vspace{1pt}
\begin{center}
\[
(z+w)^{n}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}z^{n-r}w^{r}
\]
\vspace{1pt}
\end{center}
where $\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\left( n-r\right) !}.$ Hence
\vspace{1pt}
\begin{center}
$\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}\cos ^{^{n-r}}\theta (i\sin \theta )^{r}=(\cos
n\theta +i\sin n\theta )$
\vspace{1pt}
\end{center}
This can be used to get an expression for $\cos n\theta $ and $\sin n\theta $
in terms of $\cos \theta $ and $\sin \theta .$
\vspace{1pt}Definition. $z^{0}=1\qquad z^{n}=z^{n-1}z\qquad $for $%
n=1,2,\ldots $
\subsection{Polynomials}
\vspace{1pt}
A \textit{polynomial of degree }$n$ is an expression of the form
\vspace{1pt}
\begin{center}
$P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}$
\vspace{1pt}
\end{center}
where $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ are given real or complex numbers.
\vspace{1pt}
Theorem 2.5 If the coefficients of $P(z)$ are real and $z_{0}$ is such that $%
P(z_{0})=0,$ then $P(\bar{z}_{0})=0.$
\vspace{1pt}
Rational Powers and Roots.
Definition If $z\neq 0$ then $z^{n}=\dfrac{1}{z^{-n}}$ for $n=-1,-2,\ldots $
Question: How do we define $z^{r}$ where $r$ is a rational number?
Answer: $r$ rational $\Longrightarrow r=\frac{m}{n}$. Therefore we must
define $z^{\frac{m}{n}}$, where $m$ and $n$ are integers. Now $z^{\frac{m}{n}%
}=\left( z^{m}\right) ^{\frac{1}{n}}.\Rightarrow $we need a definition of $%
z^{\frac{1}{n}}$.
\vspace{1pt}
Definition If $w^{n}=z,$ we say $w$ is an $n$ th root of $z.$ We denote this
by $w=z^{\frac{1}{n}}.$
Let $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ and $w=R(\cos \Theta +i\sin \Theta ).$
Hence
\vspace{1pt}
$w^{n}=R^{n}(\cos \Theta +i\sin \Theta )^{n}=R^{n}(\cos n\Theta +i\sin
n\Theta )=z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$
\vspace{1pt}
\vspace{1pt}$\Rightarrow R^{n}=r\qquad $and\qquad $n\Theta =\theta +2k\pi $
\ ($k$ any integer)
$\Rightarrow \left| w\right| =R=r^{\frac{1}{n}}\qquad $the positive $n$th
root of the positive number $r,$ and
\vspace{1pt}
$\arg w=\Theta =\left( \frac{\theta +2k\pi }{n}\right) $ \ $k=0,1,2,\ldots $
Thus
\vspace{1pt}
\begin{center}
$w=z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}\left[ \cos \left( \frac{\theta +2k\pi }{n}%
\right) +i\sin \left( \frac{\theta +2k\pi }{n}\right) \right] $
\end{center}
Here $k$ can be any integer. However, we only get distinct values for $%
k=0,1,2,\ldots n-1$ . For $k=n,n+1,\ldots $ \ or k$=-1,-2,-3,\ldots $ we
repeat these values. To find $z^{\frac{m}{n}}$ we find $(z^{m})^{\frac{1}{n}%
} $.
Example: Find all possible values of $(2-2i)^{\frac{3}{5}}$.
\begin{center}
$(2-2i)^{3}=(4-8i-4)(2-2i)=-16-16i$ .
\end{center}
\vspace{1pt}
Therefore we need the fifth roots of $-16-16i$. Now $\tan \theta =\frac{y}{x}%
=\frac{-16}{-16}=+1$. Since $-16-16i$ is in the third quadrant $\theta =\pi +%
\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$. Thus the fifth roots are:
$(\sqrt{512})^{\frac{1}{5}}\left[ \cos \left( \frac{\frac{5\pi }{4}}{5}%
\right) +i\sin \left( \frac{5\pi }{20}\right) \right] \qquad \qquad \qquad
k=0$
$(\sqrt{512})^{\frac{1}{5}}\left[ \cos \left( \frac{\frac{5\pi }{4}+2\pi }{5}%
\right) +i\sin \left( \frac{5\pi }{20}+\frac{2\pi }{5}\right) \right] \qquad
\ \ \ k=1$
$\qquad =(\sqrt{512})^{\frac{1}{5}}\left[ \cos \left( \frac{13\pi }{20}%
\right) +i\sin \left( \frac{13\pi }{20}\right) \right] $
$(\sqrt{512})^{\frac{1}{5}}\left[ \cos \left( \frac{5\pi }{20}+\frac{4\pi }{5%
}\right) +i\sin \left( \frac{21\pi }{20}\right) \right] \qquad \qquad \ \
k=2 $
$(\sqrt{512})^{\frac{1}{5}}\left[ \cos \left( \frac{5\pi }{20}+\frac{6\pi }{5%
}\right) +i\sin \left( \frac{29\pi }{20}\right) \right] \qquad \qquad \ \
k=3 $
$(\sqrt{512})^{\frac{1}{5}}\left[ \cos \left( \frac{5\pi }{20}+\frac{8\pi }{5%
}\right) +i\sin \left( \frac{37\pi }{20}\right) \right] \qquad \qquad \ \
k=4 $
Remark: Let $z=1.$ Then the $n$th roots of $1$ are since $\arg 1=0$
\vspace{1pt}
$\sqrt[n]{1}=\omega _{n}=\cos \left( \frac{2mk}{n}\right) +i\sin \left(
\frac{2\pi k}{n}\right) \qquad k=0,1,\ldots n-1$
\vspace{1pt}
\subsection{Curves and Regions in the Complex Plane}
\vspace{1pt}
Suppose $F(x,y)=0$ represents a curve in the plane. Then in complex notation
this becomes
\vspace{1pt}
\begin{center}
\[
F\left[ \frac{1}{2}(z+\bar{z}),\frac{1}{2i}(z-\bar{z})\right] =0
\]
\vspace{1pt}
\end{center}
For a given angle $\theta _{0}$ the equation
\vspace{1pt}
\begin{center}
\[
z=z_{0}+t(\cos \theta _{0}+i\sin \theta _{0})\qquad 0\leq t<\infty
\]
\vspace{1pt}
\end{center}
represents a ray from the point $z_{0}$ making an angle $\theta _{0}$ with
the positive real axis. Thus
\begin{center}
\vspace{1pt}%
\[
\arg (z-z_{0})=\theta _{0}
\]
\end{center}
If $z_{1}\neq z_{0}$ also a point on the line, then we can write the
equation of the \textit{entire }line as
\vspace{1pt}
\begin{center}
$z=z_{0}+s(z_{1}-z_{0}),\qquad -\infty 1$ gives the infinite segment beyond $z_{1}.$ $s<1$ gives the
other infinite segment. Since $s$ is real, we see that the equation of a
line through the points $z_{0}$ and $z_{1}$ may also be written as
\vspace{1pt}
\begin{center}
$\func{Im}\left( \frac{z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}\right) =0.$
\vspace{1pt}
\end{center}
The equation of a circle of radius $r$ centered at $z_{0}$ is given by
\vspace{1pt}
\begin{center}
$\left| z-z_{0}\right| =r$
\vspace{1pt}
\end{center}
or alternatively
\vspace{1pt}
\begin{center}
$z=z_{0}+r(\cos \theta +i\sin \theta )\qquad 0\leq \theta <2\pi $
\vspace{1pt}
\end{center}
The interior of the circle is given by $\left| z-z_{0}\right| 0$
defines a circle for $K\neq 1.$ For $K=1$ it represents the perpendicular
bisector of the line segment joining $z_{1}$ and \ $z_{2}.$
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/Lecture2.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/distance.bmp %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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