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% Scientific Word Wrap/Unwrap Version 2.5 %
% Scientific Word Wrap/Unwrap Version 3.0 %
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% If you are separating the files in this message by hand, you will %
% need to identify the file type and place it in the appropriate %
% directory. The possible types are: Document, DocAssoc, Other, %
% Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files %
% tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file %
% directory. Macro files go into your TeX macros directory. Style %
% files are used by Scientific Word and do not need to be extracted. %
% Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a %
% graphics directory. %
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% Graphic files need to be converted from the text format (this is %
% done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. %
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% Files included: %
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% "/document/Lecture3.tex", Document, 14839, 9/7/1999, 15:31:10, "" %
% "/document/strip.bmp", ImportPict, 541374, 8/13/1997, 14:13:06, "" %
% "/document/connected.bmp", ImportPict, 345222, 8/13/1997, 22:06:22, ""%
% "/document/notconnected.bmp", ImportPict, 345222, 8/13/1997, 22:09:00, ""%
% "/document/absz=1.bmp", ImportPict, 345222, 8/24/1997, 17:11:16, "" %
% "/document/stereo.jpg", ImportPict, 8922, 9/3/1997, 17:38:58, "" %
% %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/Lecture3.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.0
\documentclass[12pt,thmsa]{article}
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\usepackage{sw20jart}
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%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
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%F=36,\PARA{035
III - \thepage }
%}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\section{Ma 681}
\vspace{1pt}
\section{Lecture 3}
\vspace{1pt}
\subsection{Topology of the Plane}
\vspace{1pt}
Definition Let $z_{0}\in C.$ Then
\vspace{1pt}
1. Given an $\in $ $>0$ a \textit{neighborhood} ($\in $ neighborhood) of $%
z_{0}$ is the $\left\{ z|\text{ }\left| z-z_{0}\right| <\in \right\} .$
\vspace{1pt}
2. $z_{0}$ is said to be a \textit{limit point} of a set of points $S$ if
every neighborhood of $z_{0}$ contains a point of $S$ distinct from $z_{0}.$
\vspace{1pt}
Note: Thus every neighborhood of a limit point contains infinitely many
points of $S.$
\vspace{1pt}
Example : $S=\{z$ $|$ $\left| z\right| <1\}.$ $z=1$ is a limit point. In
fact, any $z=a$, where $\left| a\right| =1$ is a limit point. Furthermore,
every point $z_{0}\in S$ is a limit point of $S.$ Note that $S$ does not
contain all of its limit points.
\vspace{1pt}
Example : $\ $The set $S=\{z$ $|$ $\left| z\right| \leq 1\}$ contains all of
its limit points.
\vspace{1pt}
Remark: Thus we see that a limit point of a set may or may not be in the set.
\vspace{1pt}
3. If a set $S$ contains all of its limit points, then $S$ is said to be
\textit{closed.}
\vspace{1pt}
Note: Hille calls the set of limit points of $S$ the \textit{derived set }%
and denotes it by $S^{\prime }.$
\vspace{1pt}
Remark: $\{z$ $|$ $\left| z\right| <1\}$ is not closed, whereas $\{z$ $|$ $%
\left| z\right| \leq 1\}$ is closed.
\vspace{1pt}
Example : The set $S=\{1,2,\ldots ,n,\ldots \}$is closed because the set of
limit points of $S$ is the empty set $\Phi $ and $\Phi \subset S.$
\vspace{1pt}
Example : The strip $\left| x\right| <1$ is not closed whereas $\left|
x\right| \leq 1$ is closed.
\FRAME{dtbpF}{4.3215in}{2.898in}{0pt}{}{}{strip.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 4.3215in;height 2.898in;depth
0pt;original-width 390.6875pt;original-height 261.25pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'strip.bmp';file-properties
"XNPEU";}}
\vspace{1pt}
4. A point $z\in $ $S$ is called an \textit{interior \ point of }$S$ if
there is a neighborhood \ of $z$ that contains only points of $S$\textit{.}
\vspace{1pt}
5. An \textit{open set } consists only of interior points.
\vspace{1pt}
6. A point $z$ is a \textit{boundary point} of a set $S$ if every
neighborhood of $z$ contains at least one point of $S$ and at least one
point not in $S.$
\vspace{1pt}
7. The set of boundary points of $S$ is called the \textit{boundary} of $S.$
\vspace{1pt}
8. The \textit{closure} of a set $S$ is the set consisting of $S$ and all
its limit points. It is denoted by $\bar{S}.$
\vspace{1pt}
Theorem. $\ $The closure $\bar{S}$ of any set $S$ is closed.
\vspace{1pt}
Proof: Suppose that $z_{0}$ is a limit point of $\bar{S}.$ Then $\exists $ a
sequence of points $z_{1},z_{2},\ldots $ $\in \bar{S}$ which converges to $%
z_{0}.$ If an infinite subsequence of this sequence lies in $S$, we are done
since this implies $z_{0}$ is limit point of $S$ and therefore is in $\bar{S}%
.$
\vspace{1pt}
If not, i.e., if this sequence $z_{1},z_{2},\ldots $ contains only finitely
many points of $S,$ remove this finite set of points. Then we have an
infinite sequence of limit points of $S$ which converge to $z_{0}.$
\vspace{1pt}
Given $\in $ $>0$ , consider $\in /2.$ $\exists $ a $z_{n}$ such that $%
\left| z_{0}-z_{n}\right| $ $<\in /2$
$\vspace{1pt}$
Now $z_{n}$ is a limit point of $S.$ Therefore $\exists $ $\tilde{z}_{n}\in
S $ such that $\left| z_{n}-\tilde{z}_{n}\right| $ $<\in /2.$ Hence
\vspace{1pt}
\begin{center}
$\left| z_{0}-\tilde{z}_{n}\right| \leq \left| z_{0}-z_{n}\right| +\left|
z_{n}-\tilde{z}_{n}\right| $ $<\in $
\vspace{1pt}
\end{center}
By definition $z_{0}$ is a limit point of $S$ and hence $z_{0}\in \bar{S}.$
\vspace{1pt}
Definition : An open set $S$ is said to be \textit{connected }if any two of
its points can be joined by a polygonal arc (a continuous curve composed of
finitely many straight-line segments) all of whose points belong to $S.$
\FRAME{dtbpF}{4.3215in}{2.898in}{0pt}{}{}{connected.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 4.3215in;height 2.898in;depth
0pt;original-width 306.375pt;original-height 212.3125pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'connected.bmp';file-properties
"XNPEU";}}
\vspace{1pt}
\FRAME{dtbpF}{4.4676in}{3.1038in}{0pt}{}{}{notconnected.bmp}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.4676in;height 3.1038in;depth
0pt;original-width 306.375pt;original-height 212.3125pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'notconnected.bmp';file-properties
"XNPEU";}}
\vspace{1pt}
Remark: For non-open sets other definitions of connectedness are used.
\vspace{1pt}
Example: $\left| z\right| =1.$ Given any two points on this circle, we
cannot join them with straight lines.
\FRAME{dtbpF}{4.4676in}{3.1038in}{0pt}{}{}{absz=1.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 4.4676in;height 3.1038in;depth
0pt;original-width 306.375pt;original-height 212.3125pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'absz=1.bmp';file-properties
"XNPEU";}}
\vspace{1pt}Definition: A \textit{domain} is an open connected set.
\vspace{1pt}
Definition: A \textit{region} is a domain plus some of its boundary points.
\vspace{1pt}
Definition: A set $S$ is \textit{bounded} if $\exists $ a number $R>0$ such
that if $a+bi\in S$, then
\vspace{1pt}
\begin{center}
$a^{2}+b^{2}R.$
\vspace{1pt}
Under the transformation $z=\frac{1}{w}$ $\ \ \left| z\right| >R$ maps onto
the neighborhood $\left| w\right| <\frac{1}{R}$ of the origin $w=0.$
\vspace{1pt}
A \textit{stereographic projection} imparts geometric meaning to a point at
infinity. Consider the unit sphere with center at $(0,0,\frac{1}{2})$ in
3-dimensional Euclidean space $(x,y,u)$. We identify the $x,y-plane$ with
the complex plane so that the $x,y-plane$ is tangent to the sphere
\vspace{1pt}
\begin{center}
$x^{2}+y^{2}+(u-\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$
\vspace{1pt}
\end{center}
at the origin. $(0,0,0)$ is often called the south pole and $(0,0,1)$ the
north pole. The great circle in the plane $u=\frac{1}{2}$ is called the
equator. The north pole is used as the center of projection. Through the
points $N=(0,0,1)$ and $P=(x,y,0)$ we draw a straight line and note its
intersection $Q=(\xi ,\eta ,\varsigma )$ with the sphere. Then $(\xi ,\eta
,\varsigma )$ is called the stereographic projection or image of the $%
(x,y,0) $ on the sphere and is taken as the spherical representation of the
complex number $z=x+iy.$ In this manner we assign a unique point $Z=Q$ on
the sphere to every point complex number $z.$ Conversely, every point on the
sphere with the exception of the north pole corresponds to a unique complex
number. The mapping is completed by assigning the north pole and the point
at infinity to each other.
\vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{3.5959in}{2.6792in}{0pt}{}{}{stereo.jpg}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.5959in;height 2.6792in;depth
0pt;original-width 246.1875pt;original-height 182.9375pt;cropleft
"0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'stereo.jpg';file-properties "XNPEU";}}
\subsection{Sequences, Subsequences, and the Bolzano-Weierstrass Theorem}
\vspace{1pt}
Definition: A complex \textit{sequence }$\{z_{n}\}$ is an assignment of a
complex number $z_{n}$ to each positive integer $n.$
\vspace{1pt}
Remark: We often write $z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n},\ldots $
\vspace{1pt}
Examples
\vspace{1pt}
a. The same \textit{point }in the complex plane may well correspond to
several or even infinitely many distinct \textit{terms }of a sequence. Thus
the sequence
\vspace{1pt}
\begin{center}
$1,0,3,0,5,0,7,\ldots $
\end{center}
\vspace{1pt}has the unique limit point $0.$
\vspace{1pt}
b. The sequence
\vspace{1pt}
\begin{center}
$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5},%
\frac{4}{5},\ldots $
\vspace{1pt}
\end{center}
has the limit points $1$ and $0$, where the first belongs to the sequence
and the second does not.
Definition: If $L$ is a complex number, we say that $\{z_{n}\}$ \textit{%
converges} to $L$ if given $\in $ $>0$ $\exists $ a positive integer $N$
such that $\left| z_{n}-L\right| <\in $ \ \ if $n>N.$
\vspace{1pt}
When $\{z_{n}\}$ converges to $L,$ we write $\lim_{n\rightarrow \infty
}z_{n}=L$ or $z_{n}\rightarrow L.$ If a sequence does not converge, the we
say that it \textit{diverges.}
\vspace{1pt}
Theorem: Let $z_{n}=x_{n}+iy_{n},$ and $L=a+bi.$ Then $z_{n}\rightarrow
L\Longleftrightarrow x_{n}\rightarrow a$ and $y_{n}\rightarrow b.$
\vspace{1pt}
Theorem: Given any two complex sequences $\{z_{n}\}$ and $\{z_{n}^{\prime
}\},$ suppose that
\begin{center}
$\lim_{n\rightarrow \infty }z_{n}=\alpha ,\qquad \lim_{n\rightarrow \infty
}z_{n}^{\prime }=\alpha ^{\prime }.$
\end{center}
Then
\begin{center}
$\lim_{n\rightarrow \infty }(z_{n}\pm z_{n}^{\prime })=\alpha \pm \alpha
^{\prime }$
$\lim_{n\rightarrow \infty }z_{n}z_{n}^{\prime }=\alpha \alpha ^{\prime }$
\vspace{1pt}
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{z_{n}}{z_{n}^{\prime }}=\frac{\alpha }{%
\alpha ^{\prime }}$
\vspace{1pt}
\end{center}
provided that $\alpha ^{\prime }\neq 0$ in the last formula.
\vspace{1pt}Theorem (\textit{Characterization of limit points)} Let $K$ be a
set of complex numbers and $w$ a complex number. The $w$ is a limit point of
$K$ $\Longleftrightarrow \exists $ a sequence $k_{n},$ such that $k_{n}\in K$%
, $k_{n}\neq w,$ and $k_{n}\rightarrow w.$
\vspace{1pt}
Theorem (Bolzano-Weierstrass) A bounded infinite set of complex numbers has
at least on limit point.
\vspace{1pt}
Remark: the B-W Theorem does not hold for an unbounded infinite set of
points. For example, consider the set $\{1,2,3,\ldots \}$ which has no
(finite) limit point. However, in the extended plane every infinite set has
the B-W property.
\vspace{1pt}
Theorem (Cauchy convergence criterion) The complex sequence $z_{n}$ is
convergent $\Leftrightarrow $ given $\in $ $>0$ $\exists $ an integer $%
N=N(\in )>0$ such that
\vspace{1pt}
\begin{center}
$\left| z_{m}-z_{n}\right| <\in $
\end{center}
\vspace{1pt}
$\forall $ $m,n>N.$
\vspace{1pt}
\subsection{Analytic Functions}
\vspace{1pt}
Functions, Continuity, and Differentiability
\vspace{1pt}
Let $M$ be an arbitrary point set in the complex plane. Suppose that $z$ is
allowed to denote any point of $M.$ Then $z$ is called a complex variable in
$M$ and $M$ is called the region of variation of $z.$ (If $z=x+iy$, then $x$
and $y$ are said to be \textit{real} variables of $S.$)
\vspace{1pt}
If $\exists $ a rule by means of which a new number $w$ may be associated
with each point $z$ of $M$, $w$ is called a \textit{function} of the complex
variable $z$ and we write
\vspace{1pt}
\begin{center}
$w=f(z)$
\vspace{1pt}
\end{center}
where ``$f$'' stands for the prescribed rule. We say $f(z)$ \textit{is
defined in }$M.$ $M$ is called the \textit{region of definition }of the
function; $z$ is called the \textit{argument} of the function; the totality
of values $w$ which correspond to the points $z$ of $M$ is called the
\textit{range of values} of the function (over $M$).
\vspace{1pt}
For the purposes of defining continuity and differentiability we usually
specialize $M$ to be a domain $D$ (open, connected set).
\vspace{1pt}
We may have \textit{many-valued} functions (more than one number $w$ is
associated with each $z\in M$) or \textit{single-valued }functions (a unique
number $w$ is associated with each $z\in M$.)
\vspace{1pt}
Example: For a positive integer $n\geq 2,$ $f(z)=z^{\frac{1}{n}}$ is an $n-$%
valued function for $z\neq 0$. But
\vspace{1pt}
\begin{center}
$f(z)=\left| z\right| ^{\frac{1}{n}}(\cos \frac{\theta }{n}+i\sin \frac{%
\theta }{n})\qquad (0\leq \theta <2\pi )$
\vspace{1pt}
\end{center}
is a single valued function of $z$ for all finite $z$; indeed, even in the
extended $z-plane$ if we set $f(\infty )=\infty .$
\vspace{1pt}
In general we assume that if $f(z)$ is defined in a domain $D$ that this
implies $f(z)$ is single-valued.
\vspace{1pt}
We write $z=x+iy$ and $w=u+iv.$ Then the relation $w=f(z)$ may also be
interpreted as follows: To the pair of real numbers $x,y$ there corresponds,
by certain rules, two new real numbers $u,v$. Thus $u$ and $v$ are defined
as a pair of real functions of two real variables, $x$ and $y.$ We set $%
u=u(x,y)$ and $v=v(x,y).$ Hence
\vspace{1pt}
\begin{center}
\vspace{1pt}$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$
\end{center}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/Lecture3.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/strip.bmp %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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