%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Scientific Word Wrap/Unwrap Version 2.5 % % Scientific Word Wrap/Unwrap Version 3.0 % % % % If you are separating the files in this message by hand, you will % % need to identify the file type and place it in the appropriate % % directory. The possible types are: Document, DocAssoc, Other, % % Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files % % tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file % % directory. Macro files go into your TeX macros directory. Style % % files are used by Scientific Word and do not need to be extracted. % % Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a % % graphics directory. % % % % Graphic files need to be converted from the text format (this is % % done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Files included: % % % % "/document/Lecture5.tex", Document, 17595, 9/7/1999, 15:31:52, "" % % "/document/ezplane5.bmp", ImportPict, 593694, 9/7/1997, 14:58:32, ""% % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/Lecture5.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.0 \documentclass[12pt,thmsa]{article} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{sw20jart} %TCIDATA{TCIstyle=article/art4.lat,jart,sw20jart} %TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL} %TCIDATA{Created=Mon Aug 19 14:52:24 1996} %TCIDATA{LastRevised=Tuesday, September 07, 1999 11:31:51} %TCIDATA{} %TCIDATA{Language=American English} %TCIDATA{CSTFile=Lab Report.cst} %TCIDATA{PageSetup=72,72,72,72,0} %TCIDATA{AllPages= %H=36 %F=36,\PARA{035

V - \thepage } %} \input{tcilatex} \begin{document} \section{Ma 681} \vspace{1pt} \section{Lecture 5} \vspace{1pt} \subsection{Exponential and Trigonometric Functions} \vspace{1pt}\vspace{1pt} We desire to extend the real functions such as $e^{x},$ $\cos x,$ $\sin x$ to complex functions. Rather than simply define these complex functions, we take an alternate approach. \vspace{1pt} \subsection{The Exponential Function} \vspace{1pt} Consider $e^{x}.$ We seek a function $f\left( z\right) $ such that $% f(x)=e^{x}$ when $x$ replaces $z.$ Recall that $f\left( x\right) =e^{x}$ satisfies the initial value problem \vspace{1pt} \begin{center} $f^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right) \qquad f\left( 0\right) =1$ \vspace{1pt} \end{center} In an analogous fashion we seek a function $f\left( z\right) =e^{z}$ which is analytic and satisfies \vspace{1pt} \begin{center} $\left. \begin{array}{l} f^{\prime }\left( z\right) =f\left( z\right) \\ \\ f\left( 0\right) =1% \end{array} \right\} \qquad (1)$ \vspace{1pt} \end{center} If such a function exists, then it will reduce to $e^{x}$ when we replace $z$ by $x.$ Since $f\left( z\right) =u\left( x,y\right) +iv\left( x,y\right) $ then $(1)\Longrightarrow $ \vspace{1pt} \begin{center} $u_{x}(x,y)+iv_{x}\left( x,y\right) =u\left( x,y\right) +iv\left( x,y\right) $ \vspace{1pt} \end{center} and therefore that\qquad $u_{x}\left( x,y\right) =u\left( x,y\right) $ and $% v_{x}\left( x,y\right) =v\left( x,y\right) .$ Solutions to these equations are \vspace{1pt} \begin{center} $\left. \begin{array}{l} u(x,y)=p\left( y\right) e^{x} \\ \\ v(x,y)=q\left( y\right) e^{x}% \end{array} \right\} \qquad (2)$ \vspace{1pt} \end{center} From $f(0)=u\left( 0,0\right) +iv\left( 0,0\right) =1,$ we have that $% u\left( 0,0\right) =1$ and $v(0,0)=0.$ Hence $p\left( 0\right) =1$ and $% q(0)=0.$ From the Cauchy-Riemann equations we have that \vspace{1pt} $u_{x}\left( x,y\right) =p\left( y\right) e^{x}=v_{y}\left( x,y\right) =q^{\prime }\left( y\right) e^{x}\qquad $and \ \ $u_{y}\left( x,y\right) =p^{\prime }\left( y\right) e^{x}=-v_{x}\left( x,y\right) =-q\left( y\right) e^{x}$ \vspace{1pt} Hence $p\left( y\right) =q^{\prime }\left( y\right) $ and $q\left( y\right) =-p^{\prime }\left( y\right) $ so that \vspace{1pt} \begin{center} $p\left( y\right) =-p^{\prime \prime }(y)\qquad $and $q\left( y\right) =q^{\prime \prime }\left( y\right) $ \vspace{1pt} \end{center} Thus both $p$ and $q$ satisfy the harmonic oscillator equation of the form $% \frac{d^{2}\phi }{dy^{2}}+\phi =0.$ \ We also have that $p\left( 0\right) =q^{\prime }(0)=1$ and $q\left( 0\right) =-p^{\prime }\left( 0\right) =0.$ \vspace{1pt} The general solution of the harmonic oscillator equation is $A\cos y+B\sin y. $ Hence \vspace{1pt} \begin{center} $p(y)=\cos y$ and $q\left( y\right) $\vspace{1pt}$=\sin y.$ \vspace{1pt} \end{center} Therefore\qquad \qquad \begin{center} $f(z)=e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).\qquad (3)$ \end{center} \vspace{1pt} Definition: A function which is regular at all points of the $z-plane$ is called an \textit{entire} \textit{function}. We subdivide entire functions into entire rational functions (only polynomials and their quotients) and entire transcendental functions (all others). \vspace{1pt} Note: $e^{z}$ is an entire transcendental function. \vspace{1pt} Note that if we set $x=0$ and $y=\theta $ in $\left( 3\right) $ then \vspace{1pt} \begin{center} $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta $ \vspace{1pt} \end{center} so that we have a new representation for $z$, namely \vspace{1pt} \begin{center} $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=re^{i\theta }$ \end{center} \vspace{1pt} For the complex exponential we have \vspace{1pt} Theorem: (a) $e^{z_{1}}e^{z_{2}}=e^{z_{1}+z_{2}}\qquad $(b) $\left| e^{z}\right| =e^{x}\qquad $ (c)$e^{z+2\pi ni}=e^{z}$ $(n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots )\qquad $(d)$e^{2n\pi i}=1. $ \vspace{1pt} Remark: $\ e^{z}=e^{x+iy}=\cos y+i\sin y$ so that $\left| e^{z}\right| =e^{x}.$ Thus we see that the absolute value $e^{z}$ is constant on vertical lines. Furthermore, $\arg e^{z}=y$ \ $(\func{mod}2\pi ),$ that is the argument of $e^{z}$ is constant on horizontal lines. Thus we see that $e^{z}$ is real positive if $y$ is an even multiple of $\pi $, real negative if $y$ is an odd multiple of $\pi .$ and pure imaginary if $y$ is an odd multiple of $\pi /2.$ \begin{center} \FRAME{dtbpF}{2.4362in}{2.8971in}{0pt}{}{}{ezplane5.bmp}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 2.4362in;height 2.8971in;depth 0pt;original-width 306.375pt;original-height 365.125pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'ezplane5.bmp';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt} \subsection{The Trigonometric Functions} \vspace{1pt} In the expression $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta $ first replace $% \theta $ by $t$ and then by $-t$ so that we have \vspace{1pt} \begin{center} $e^{it}=\cos t+i\sin t\qquad e^{-it}=\cos t-i\sin t$ \vspace{1pt} \end{center} Solving for $\cos t$ and $\sin t$ and replacing $t$ by $z$ we define $\cos z$ and $\sin z$ by \vspace{1pt} \begin{center} $\left. \begin{array}{l} \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \\ \\ \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}% \end{array} \right\} $ \vspace{1pt} \end{center} $\cos z$ and $\sin z$ are also entire transcendental functions. Some Properties of $\sin z$ and $\cos z.$ 1. \ $\sin z=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\qquad $and \ $\cos z=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y$ \vspace{1pt} $\sin z=$\vspace{1pt}$\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\frac{1}{2i}\left( e^{ix-y}-e^{-ix+y}\right) =\frac{1}{2i}\left( e^{-y}\left[ \cos x+i\sin x% \right] -e^{y}\left[ \cos x-i\sin x\right] \right) $ \qquad\ \ $=\frac{1}{2i}i\sin x\left( e^{y}+e^{-y}\right) +\frac{1}{2i}\cos x\left( -e^{y}+e^{-y}\right) =\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y$ \vspace{1pt} since $1/i=-i.$ \vspace{1pt} 2. $\sin (z+2n\pi )=\sin z$ \ and \ $\cos (z+2n\pi )=\cos z$ \vspace{1pt} 3. $\sin z=0$ $\Longleftrightarrow z$ is an integer multiple of $\pi .$ \vspace{1pt} 4. $\cos z=0$ $\Longleftrightarrow z$ is an odd integer multiple of $\pi /2.$ \vspace{1pt} 5. $\sin (z+w)=\sin z\cos w+\cos z\sin w\qquad \cos \left( z+w\right) =\cos z\cos w-\sin z\sin w$ \vspace{1pt} 6. $\cos (-z)=\cos z$ \ and \ $\sin (-z)=-\sin z$ \vspace{1pt} 7. $\sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1$ \vspace{1pt} 8. $\frac{d}{dz}\sin z=\cos z$ \ and \ $\frac{d}{dz}\cos z=-\sin z.$ \vspace{1pt} \subsection{The Logarithm} \vspace{1pt} \vspace{1pt}Remark: In real \ calculus the natural logarithm is the inverse of the exponential function. That is, for a positive number $x,$ \vspace{1pt} \begin{center} $y=\ln x\qquad \Longleftrightarrow \qquad x=e^{y}.$ \vspace{1pt} \end{center} Thus one may think of the transcendental real natural logarithm as a solution of the equation $x=e^{y}$ for $y$ in terms of $x.$ \vspace{1pt} We may use this approach in seeking a definition of the complex logarithm. Suppose that $z\neq 0,\infty .$ We want to solve for all values of $w$ (if any), such that \vspace{1pt} \begin{center} $e^{w}=z.$ \vspace{1pt} \end{center} Writing $z$ in polar form, namely, $z=re^{i\theta }$ \ where $r=\left| z\right| $ and $\theta $ is any argument of $z$, letting $w=u+iv,$ leads to \vspace{1pt} \begin{center} $e^{u+iv}=e^{u}e^{iv}=re^{i\theta }$ \vspace{1pt} \end{center} Since $\theta $ and $v$ are real, $\left| e^{i\theta }\right| =\left| e^{iv}\right| =1,$ so that taking the magnitude of the equation above leads to $r=e^{u}$ or $u=\ln r,$ which is the real natural logarithm of the positive real number $r.$ Also, $e^{iv}=e^{i\theta },$ so that $v=\theta +2n\pi ,$ where $n$ is any integer. \vspace{1pt} In summary, given any complex number $z\neq 0,\infty $ there are infinitely many numbers $w$ such that $e^{w}=z;$ all such numbers are contained in the expression \vspace{1pt} \begin{center} $\ln \left| z\right| +i\theta +2n\pi i=\ln \left| z\right| +i\arg z$ \vspace{1pt} \end{center} Definition: Each of the solutions $w$ of $e^{w}=z$ \ $(z\neq 0,\infty )$ is called a \textit{logarithm of }$z.$ The function which associates with each such $z$ the corresponding values of $w$ is called the logarithm of $z$ and is denoted by \ $w=\log z.$ \vspace{1pt} Hence \vspace{1pt} \begin{center} $\log z=\ln \left| z\right| +i\arg z\qquad (z\neq 0,\infty )$ \vspace{1pt} \end{center} where $\ln \left| z\right| $ denotes the real logarithm of $\left| z\right| $ and $\arg z$ is given all admissible values. since values of $\arg z$ differ by multiples of $2\pi $, it follows that the various determinations of $\log z$ differ by multiples of $2\pi i.$ \vspace{1pt} Definition: The \textit{principal value} or \textit{determination} of the logarithm corresponds to the principal determination of the argument. We shall define it by the restriction $-\pi <\func{Im}(\log z)=\theta \leq \pi . $ It is often denoted by $\func{Log}z.$ \vspace{1pt} Example: Consider $z=1+i$. Then $\left| z\right| =\sqrt{2}$ and $\arg z$ consists of all numbers $\pi /4+2n\pi ,$ where $n$ is any integer. Hence \vspace{1pt} \begin{center} $\log (1+i)=\ln \sqrt{2}+i\left( \frac{\pi }{4}+2n\pi \right) $ \vspace{1pt} \end{center} Note that the principal value of $\log (1+i)$ is $\func{Log}(1+i)=\ln \sqrt{2% }+i\frac{\pi }{4}.$ \vspace{1pt} Remark: \ \ $\log (z_{1}z_{2})-\log z_{1}-\log z_{2}=0\qquad (\func{mod}2\pi i)$ \vspace{1pt} Remark: One may verify by direct computation that $\log z=\log \sqrt{% x^{2}+y^{2}}+i\theta $ satisfies the logarithm Cauchy-Riemann equations at all finite $z\neq 0.$ Also, one can show that \vspace{1pt} \begin{center} $\frac{d}{dz}\left( \log z\right) =\frac{1}{z}$ \vspace{1pt} \end{center} Remark: In each determination $\log z=\ln \left| z\right| +i\theta ,$ where the $nth$ determination is defined by $(2n-1)\pi <\theta \leq (2n+1)\pi $ \ (% $n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ).$ The value $\theta =2n\pi $ for $z$ real and positive reduces $\log z$ to $\ln x,$ the real natural logarithm. The extension to an analytic function is unique in that the various values of $% \log z$ must be regarded as different determinations of a \textit{single analytic function} which, however, is multiple valued and has a \textit{% singularity at the origin. (}$z=0$ is called a branch point) \vspace{1pt} Indeed, the extension of the real function $\ln x$ (starting, say, from $% \theta =0)$ yields any and all of the determinations of $\log z$ by so-called ``analytic continuation'' (by means of overlapping neighborhoods) around the origin. \vspace{1pt} The principal determination corresponds to a ``cutting'' of the plane along the negative real axis. This ``cutting'' of the plane restricts $\log z$ to a \textit{single-valued} analytic function (once the value is prescribed at any point $z\neq 0.)$ The curve along which this cur may be made is not unique. Any non-self-intersecting curve from $z=0$ to $\infty $ will do, provided exactly one ``edge'' of the cut is considered as belonging to the cut plane. \vspace{1pt} \subsection{The Function $z^{\protect\alpha }$} \vspace{1pt} If $\alpha $ is an arbitrary constant, then $z^{\alpha }$ is defined by \vspace{1pt} \begin{center} $z^{\alpha }=e^{\alpha \log z}\qquad (z\neq 0,\infty )$ \vspace{1pt} \end{center} In general $z^{\alpha }$ is a multivalued. \vspace{1pt} Recall that the principal branch (or value) of $\log z$ is denoted by $\func{% Log}z$ where $\func{Log}z=\ln \left| z\right| +i\theta $ \ $(-\pi <\theta \leq \pi ).$ The $nth$ branch of $\log z$ is $\log z=\func{Log}z+2n\pi i\qquad (n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ).$ Hence \vspace{1pt} \begin{center} $\left( z^{\alpha }\right) _{n}=e^{\alpha \func{Log}z}e^{2\pi ni}$ \vspace{1pt} \end{center} Theorem. $z^{\alpha }$ is an $n-$valued function ($n$ a positive integer)$% \Longleftrightarrow \alpha $ is a (real) rational number of the form $\frac{m% }{n},$ where $m$ and $n$ have no common factor. \vspace{1pt} Example: $z^{\frac{3}{10}}$ is a $10-$valued function. \vspace{1pt} Proof: \ If $\alpha =\frac{m}{n},$ then for any $z\neq 0$ the numbers $% e^{2\pi i(\frac{m}{n})k}$ \ ($k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots )$ assume exactly $n$ distinct values; e.g. for $k=0,1,\ldots n-1.$ For if $k^{\prime }=k+jn,$ where $j$ is an integer, then \vspace{1pt} \begin{center} $e^{^{2\pi i(\frac{m}{n})k\prime }}=e^{^{2\pi i(\frac{m}{n})k}}e^{2\pi i(% \frac{m}{n})jn}=e^{^{2\pi i(\frac{m}{n})k}}$ \vspace{1pt} \end{center} since $e^{^{2\pi imj}}=1$ since $jm$ is an integer. \vspace{1pt} Converse: If $z^{\alpha }$ is $n-$valued, then $\exists $ at least two distinct $k^{\prime }s$ say, $k_{1}$ and $k_{2}$ such that \vspace{1pt} $e^{2\pi i\alpha k_{1}}=e^{2\pi i\alpha k_{2}}\qquad \Longrightarrow e^{2\pi i\alpha (k_{1}-k_{2})}=1\qquad \Longrightarrow \alpha (k_{1}-k_{2})=l$ where $l$ is an integer, since $e^{2\pi ir}=1$ $\Longleftrightarrow $ $r$ is an integer. Thus $\alpha =\frac{l}{k_{1}-k_{2}}=\frac{m}{p},$ where $m$ an $p$ have no common factors. \vspace{1pt} But $p=n;$ for if $pn$ then again $z^{\alpha }$ is $p$ valued, contradicting $n$ valuedness. Hence $p=n.$ \vspace{1pt} Theorem: If $\alpha $ is not rational, $\left( z^{\alpha }\right) _{k}$ $% \left( k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \right) $ assumes a different value for each $% k.$ \vspace{1pt} Proof: If $\exists $ distinct $k_{1}$ and $k_{2}$ such that $e^{2\pi i\alpha k_{1}}=e^{2\pi i\alpha k_{2}}$, then we conclude as before that $\alpha $ is rational, which is a contradiction. \vspace{1pt} Remark: If $\alpha $ is not rational, we have two cases: \vspace{1pt} a) $\alpha $ is real and irrational. Then $\left| e^{2\pi i\alpha k}\right| =1$ for all $k$ and therefore $\left| z^{\alpha }\right| =\left| e^{\alpha (\ln |z|+2\pi ik)}\right| =e^{\alpha \ln |z|}=\left| z\right| ^{\alpha }$ \vspace{1pt} b) If $\alpha $ is not real, then $\alpha =\alpha _{r}+i\alpha _{i}$ so that $\left| e^{2\pi i(\alpha _{r}+i\alpha _{i})k}\right| =e^{-2\pi \alpha _{i}k}$ which is different for each value of $k.$ \vspace{1pt} Remark: We must take care in using certain familiar results. \vspace{1pt} 1) $z^{\alpha }z^{\beta }=e^{\alpha \log z}e^{\beta \log z}\qquad $and\qquad $e^{\alpha +\beta }=e^{\left( \alpha +\beta \right) \log z}$ These two expressions are equal if $\left( \alpha +\beta \right) \log z=\alpha \log z+\beta \log z$ which holds if proper determinations of $\log z$ are used. It is certainly true if the same determination is used throughout. Other possibilities \vspace{1pt} \begin{center} $\alpha (\func{Log}z+2\pi li)+\beta (\func{Log}z+2\pi mi)=\left( \alpha +\beta \right) \left( \func{Log}z+2\pi ni\right) $ \vspace{1pt} \end{center} which is true if \vspace{1pt} \begin{center} $\alpha \cdot 2\pi li+\beta \cdot 2\pi mi=$ $\left( \alpha +\beta \right) \cdot 2\pi ni$ or $\alpha l+\beta m=\left( \alpha +\beta \right) n$ \vspace{1pt} \end{center} Thus $z^{\alpha }z^{\beta }=z^{\alpha +\beta }$ provided the above considerations hold. \vspace{1pt} 2) $\left( z^{\alpha }\right) ^{\beta }=z^{\alpha \beta }=\left( z^{\beta }\right) ^{\alpha }$ \vspace{1pt} Example of 2) If $x$ is real and positive, then $\left( x^{\frac{1}{2}% }\right) ^{3}=\left( x^{3}\right) ^{\frac{1}{2}}$ $\Longleftrightarrow $the proper roots (proper branches of the power function) are chosen. Let $x=1,$ then $x^{\frac{1}{2}}$ may be $-1$ so that $\left( x^{\frac{1}{2}}\right) ^{3}=-1,$ whereas $x^{3}=1$ and $\left( x^{3}\right) ^{\frac{1}{2}}=\left( 1\right) ^{\frac{1}{2}}$ may be $+1.$ \vspace{1pt} Example: Find the principal value of $\left( -i\right) ^{i}.$ \vspace{1pt} $\left( -i\right) ^{i}=e^{i\func{Log}\left( -i\right) }=e^{i\func{Log}\left( e^{-\frac{\pi i}{2}}\right) }$ $=e^{i\left( -\frac{\pi i}{2}\right) }=e^{% \frac{\pi }{2}}$ \vspace{1pt} Remark: \ $\frac{d}{dz}\left( z^{\alpha }\right) =\frac{d}{dz}\left( e^{\alpha \log z}\right) =e^{\alpha \log z}\frac{\alpha }{z}=\alpha z^{\alpha }z^{-1}=\alpha z^{\alpha -1}$ provided the proper determinations of $\log $ are used. \vspace{1pt} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/Lecture5.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/ezplane5.bmp %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% BudGOd@@@@@@@XC@@@@J@@@@WF@@@T^@@@P@@`A@@@@@@`nCI@`sN@@@X{@@@@@@@@@@@@@@                      @@@@                      @@@@    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