%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                                                     %
%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 2.5             %
%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 3.0             %
%                                                                     %
% If you are separating the files in this message by hand, you will   %
% need to identify the file type and place it in the appropriate      %
% directory.  The possible types are: Document, DocAssoc, Other,      %
% Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files      %
% tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file    %
% directory.  Macro files go into your TeX macros directory. Style    %
% files are used by Scientific Word and do not need to be extracted.  %
% Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a       %
% graphics directory.                                                 %
%                                                                     %
% Graphic files need to be converted from the text format (this is    %
% done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. %
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% Files included:                                                     %
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\input{tcilatex}

\begin{document}


\section{Ma 681}

\vspace{1pt}

\section{Lecture 7}

\vspace{1pt}

\subsection{Complex Integration}

\vspace{1pt}

\subsubsection{Line Integrals}

\vspace{1pt}

Definition: A \textit{continuous curve} $C$ in the $x,y-plane$ $\lbrack
z-plane\rbrack $ is a set of points $\left( x,y\right) $ $\lbrack z\rbrack $
for which

\vspace{1pt}

\begin{center}
$x=\varphi \left( t\right) \qquad y=\psi \left( t\right) \qquad \lbrack
z=\varphi \left( t\right) +i\psi \left( t\right) \rbrack \qquad a\leq t\leq
b\qquad \qquad \left( 1\right) $

\vspace{1pt}
\end{center}

where $\varphi \left( t\right) $ and $\psi \left( t\right) $ are continuous
functions in $a\leq t\leq b.$

\vspace{1pt}

It is \textit{simple} if it is non-self-intersecting, i.e., if $\varphi
\left( t_{1}\right) =\varphi \left( t_{2}\right) $ and $\psi \left(
t_{1}\right) =\psi \left( t_{2}\right) ,$ where $a<t_{1}\leq t_{2}<b,$ then $%
t_{1}=t_{2}.$

\vspace{1pt}

It is a \textit{simple closed curve }(a Jordan curve) if $\varphi \left(
t_{1}\right) =\varphi \left( t_{2}\right) $ and $\psi \left( t_{1}\right)
=\psi \left( t_{2}\right) $ $\Longrightarrow t_{1}=a$ and $t_{2}=b.$

\vspace{1pt}

Theorem: (Jordan Curve Theorem) A Jordan curve $J$ divides the plane into
two mutually exclusive domains, one bounded (called the \textit{interior})
and the other unbounded (the \textit{exterior)}; every point of $J$ is a
boundary point of each domain.

\vspace{1pt}

Note: Peano showed that $\exists $ continuous curves (not Jordan curves)
passing through every point of a square.

\vspace{1pt}

Definition: The continuous curve $\left( 1\right) $ is said to be a \textit{%
smooth arc} if $\varphi \left( t\right) $ and $\psi \left( t\right) $ have
continuous derivatives and

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\lbrack \varphi ^{\prime }\left( t\right) \rbrack ^{2}+\lbrack \psi
^{\prime }\left( t\right) \rbrack ^{2}\neq 0$

\vspace{1pt}
\end{center}

in $a\leq t\leq b.$

\vspace{1pt}

Note: A smooth arc has length

\vspace{1pt}

\begin{center}
$L=\int_{a}^{b}\left\{ \lbrack x^{\prime }\left( t\right) \rbrack
^{2}+\lbrack y^{\prime }\left( t\right) \rbrack ^{2}\right\} ^{\frac{1}{2}%
}dt $

\vspace{1pt}
\end{center}

A curve is said to be \textit{rectifiable if }it has finite length.

\vspace{1pt}

Let a function $F\left( x,y\right) $ be defined at every point of the curve $%
C$, defined by $\left( 1\right) .$ Make a subdivision $\Delta $ of the
interval $\lbrack a,b\rbrack :$ $a=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=b$

\vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{4.1874in}{1.3162in}{0pt}{}{}{subdivision.bmp}{%
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\vspace{1pt}

By the \textit{norm} of $\left\| \Delta \right\| $ the subdivision we mean

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\left\| \Delta \right\| =\max_{j}\left( t_{j}-t_{j-1}\right) $

\vspace{1pt}
\end{center}

Definition: If the limit

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\lim_{\left\| \Delta \right\| \rightarrow 0}\sum_{j=1}^{n}F(\varphi \left(
t_{j}\right) ,\psi \left( t_{j}\right) )\left[ \varphi \left( t_{j}\right)
-\varphi \left( t_{j-1}\right) \right] $

\vspace{1pt}
\end{center}

exists, we call it the \textit{line integral of }$F\left( x,y\right) $ 
\textit{over }$C$ \textit{with respect to }$x,$ and denote it by

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\int_{C}F\left( x,y\right) dx=\int_{\left( x_{0},\text{ }y_{0}\right)
}^{\left( x_{1},\text{ }y_{1}\right) }F\left( x,y\right) dx$

\vspace{1pt}
\end{center}

where $x_{0}=\varphi \left( a\right) $,$\ \ y_{0}=\psi \left( a\right) ,$ \ $%
x_{1}=\varphi \left( b\right) ,$ \ $y_{1}=\psi \left( b\right) .$

\vspace{1pt}Similarly, we may define the \textit{line integral of }$F\left(
x,y\right) $ \textit{over }$C$ \textit{with respect to }$y$

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\int_{C}F\left( x,y\right) dy=\lim_{\left\| \Delta \right\| \rightarrow
0}\sum_{j=1}^{n}F(\varphi \left( t_{j}\right) ,\psi \left( t_{j}\right) )%
\left[ \psi \left( t_{j}\right) -\psi \left( t_{j-1}\right) \right] $

\vspace{1pt}
\end{center}

provided the limit exists.

\vspace{1pt}

Theorem: If $C$ is a smooth arc and $F\left( x,y\right) $ is continuous on $%
C $, then the line integrals defined above exist.

\vspace{1pt}

Proof: $\ \varphi ^{\prime }\left( t\right) $ and $\psi ^{\prime }\left(
t\right) $ are continuous in $a\leq t\leq b.$ Hence by the Mean Value Theorem

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\int_{C}F\left( x,y\right) dx=\lim_{\left\| \Delta \right\| \rightarrow
0}\sum_{j=1}^{n}F(\varphi \left( t_{j}\right) ,\psi \left( t_{j}\right)
)\varphi ^{\prime }\left( t_{j}^{\prime }\right) \left( t_{j}-t_{j-1}\right) 
$

\vspace{1pt}
\end{center}

By Duhamel's Theorem the right hand side is equal to the Riemann Integral
which is

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\int_{a}^{b}F(x,y)dx=\int_{a}^{b}F\left( \varphi \left( t\right) ,\psi
\left( t\right) \right) \varphi ^{\prime }\left( t\right) dt$

\vspace{1pt}
\end{center}

An analogous result holds for $\int_{C}F\left( x,y\right) dy.$

\vspace{1pt}

Duhamel's Theorem: Suppose $f\left( t\right) $ and $g\left( t\right) $ are
continuous in $a\leq t\leq b,$ $\Delta :a=t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}=b$ is a
subdivision, and $t_{j-1}<\xi _{j}<t_{j}$ \ \ and $t_{j-1}<\eta _{j}<t_{j}$

for $j=1,2,\ldots ,n$. Then

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\lim_{\left\| \Delta \right\| \rightarrow 0}\sum_{j=1}^{n}f\left( \xi
_{j}\right) g\left( \eta _{j}\right) \left( t_{j}-t_{j-1}\right)
=\int_{a}^{b}f\left( t\right) g\left( t\right) dt$

\vspace{1pt}
\end{center}

Special Case: If $\varphi \left( t\right) =t=x$ and $\psi \left( t\right)
=\psi \left( x\right) $ is continuous, then $\int_{a}^{b}F\left( x,y\right)
dx=\int_{a}^{b}F\left( x,\psi \left( x\right) \right) dx.$

\vspace{1pt}

Example: Let $C$ be the ellipse $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.$
Evaluate $\int_{C}\left( y^{3}dx+x^{3}dy\right) $

\vspace{1pt}

We may parametrize $C$ as $x=a\cos t,$ $\ y=b\sin t,$ $0\leq t\leq 2\pi .$

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\int_{C}\left( y^{3}dx+x^{3}dy\right) =\int_{0}^{2\pi }\left(
y^{3}dx+x^{3}dy\right) =\int_{0}^{2\pi }(b^{3}\sin ^{3}t(-a\sin t)+a^{3}\cos
^{3}t\left( b\cos t\right) )dt$

$\vspace{1pt}$

$=-ab^{3}\int_{0}^{2\pi }\sin ^{4}tdt+a^{3}b\int_{0}^{2\pi }\cos
^{4}tdt=\allowbreak -\frac{3}{4}ab^{3}\pi +\frac{3}{4}a^{3}b\pi $

\vspace{1pt}
\end{center}

Thus the value of this line integral clearly depends upon the path.

\vspace{1pt}

\subsubsection{The Complex Line Integral}

\vspace{1pt}

Let $C$ be a continuous curve in the $z-plane$ defined by

$\vspace{1pt}$

\begin{center}
$z\left( t\right) =\varphi \left( t\right) +i\psi (t)\qquad \qquad a\leq
t\leq b$

\vspace{1pt}
\end{center}

Let $f\left( z\right) =u\left( x,y\right) +iv\left( x,y\right) $ be defined
on $C.$ Form the subdivision

$\Delta :$ $a=t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}=b$ and let $z_{j}=z\left(
t_{j}\right) .$ Consider the sum

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\sum_{j=1}^{n}f\left( \zeta _{j}\right) \left( z_{j}-z_{j-1}\right) \qquad
\qquad \left( \ast \right) $

\vspace{1pt}
\end{center}

where $\zeta _{j}=z\left( t_{j}^{\prime }\right) $ \ $($ $t_{j-1}\leq
t_{j}^{\prime }\leq t_{j})$ is on $C.$ Let $\left\| \Delta \right\|
\rightarrow 0.$

\vspace{1pt}

Definition: If the limit

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\lim_{\left\| \Delta \right\| \rightarrow 0}\sum_{j=1}^{n}f\left( \zeta
_{j}\right) \left( z_{j}-z_{j-1}\right) $

\vspace{1pt}
\end{center}

exists, it is called the \textit{line integral} of $f\left( z\right) $ and
is denoted by $\int_{C}f\left( z\right) dz.$

\vspace{1pt}

Note: If $C$ is simple, then we may consider the limit as $\max \left|
z_{j}-z_{j-1}\right| \rightarrow 0$ for $1\leq j\leq n.$

\vspace{1pt}

Theorem: If $C$ is a smooth arc and $f\left( z\right) $ is continuous along $%
C$, then $\int_{C}f\left( z\right) dz$ exists. Indeed,

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\int_{C}f\left( z\right) dz=\int_{C}\left( u+iv\right) \left( dx+idy\right)
=\int_{C}udx-\int_{C}vdy+i\int_{C}vdx+i\int_{C}udy$

$\vspace{1pt}$

$=\int_{a}^{b}\lbrack u\left( \varphi \left( t\right) ,\psi \left( t\right)
\right) +iv\left( \varphi \left( t\right) ,\psi \left( t\right) \right)
\rbrack \left[ \varphi ^{\prime }\left( t\right) +i\psi ^{\prime }\left(
t\right) \right] dt$

\vspace{1pt}
\end{center}

Proof: Writing $\zeta _{j}=\xi _{j}+i\eta _{j}$ \ \ $u_{j}=u\left( \xi
_{j},\eta _{j}\right) $ \ \ $v_{j}=v\left( \xi _{j},\eta _{j}\right) $ \ $%
\left( \ast \right) $ becomes

\vspace{1pt}

$\sum_{j=1}^{n}\left( u_{j}+iv_{j}\right)
(x_{j}+iy_{j}-x_{j-1}-iy_{j-1})=\sum_{j=1}^{n}\left( u_{j}+iv_{j}\right)
\left( x_{j}-x_{j-1}+i\left[ y_{j}-y_{j-i}\right] \right) $

\vspace{1pt}

$\qquad =\sum_{j=1}^{n}\left\{ u_{j}\left( x_{j}-x_{j-1}\right) -v_{j}\left(
y_{j}-y_{j-1}\right) +iv_{j}\left( x_{j}-x_{j-1}\right) +iu_{j}\left(
y_{j}-y_{j-i}\right) \right\} \qquad \left( \ast \ast \right) $

\vspace{1pt}

But $x_{j}-x_{j-i}=\varphi \left( t_{j}\right) -\varphi \left(
t_{j-1}\right) =\varphi ^{\prime }\left( \tau _{j}\right) \left(
t_{j}-t_{j-1}\right) $ and$\ \ \ y_{j}-y_{j-i}=\psi \left( t_{j}\right)
-\psi \left( t_{j-1}\right) =\psi ^{\prime }\left( \tau _{j}^{\prime
}\right) \left( t_{j}-t_{j-1}\right) $ \ where $t_{j-1}\leq \tau _{j},\tau
_{j}^{\prime }\leq t_{j}$ by the Mean Value Theorem.

\vspace{1pt}

From the Theorem on the existence of the real line integral and Duhamel's
Theorem given $\in >0$ $\ \exists $ a $\delta =\delta \left( \in \right) $%
\vspace{1pt} such that

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\left| \sum u\left( \varphi \left( \tau _{j}^{\prime \prime }\right) ,\psi
\left( \tau _{j}^{\prime \prime }\right) \right) \varphi ^{\prime }\left(
\tau _{j}\right) \left( t_{j}-t_{j-1}\right) -\int_{C}udx\right| <$ $\in $

\vspace{1pt}
\end{center}

when $\left\| \Delta \right\| <\delta $ \ where $t_{j-1}\leq \tau
_{j}^{\prime \prime }\leq t_{j}.$ We have similar inequalities for the other
three expressions in $\left( \ast \ast \right) .$ Thus

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\left| \sum_{j=1}^{n}f\left( \zeta _{j}\right) \left( z_{j}-z_{j-1}\right)
-\int_{C}\left( u+iv\right) \left( dx+idy\right) \right| <4$ $\in $ \ if $%
\left\| \Delta \right\| <\delta .$

\vspace{1pt}
\end{center}

Remark: We can write $\int_{C}f\left( z\right) dz$ in a particularly concise
way. Since $C$ has the representation $z\left( t\right) =\varphi \left(
t\right) +i\psi (t)\qquad a\leq t\leq b,$ then

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\int_{C}f\left( z\right) dz=\int_{a}^{b}f\left( z\left( t\right) \right)
z^{\prime }\left( t\right) dt$

\vspace{1pt}
\end{center}

Theorem: Let $F^{\prime }$ be continuous on an open set $G$ and let

$C:$ $z\left( t\right) =\varphi \left( t\right) +i\psi (t)$ \ \ $a\leq t\leq
b$ be a smooth curve in $G.$ Let $F^{\prime }\left( z\right) =f\left(
z\right) $ for $z\in G.$ Then

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\int_{C}f\left( z\right) dz=F\left( z\left( b\right) \right) -F\left(
z\left( a\right) \right) $

\vspace{1pt}
\end{center}

Proof:\qquad $\int_{C}f\left( z\right) dz=\int_{a}^{b}f\left( z\left(
t\right) \right) z^{\prime }\left( t\right) dt=\int_{a}^{b}F^{\prime }\left(
z\left( t\right) \right) z^{\prime }\left( t\right) dt=\int_{a}^{b}\frac{d}{%
dt}F\left( z(t)\right) dt$

\vspace{1pt}

in which the chain rule was used to get the last result from the preceding
one. Now the last expression is the integral of a complex valued function
over an interval of the real line, so

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\int_{a}^{b}\frac{d}{dt}F\left( z(t)\right) dt=\int_{a}^{b}\func{Re}\left( 
\frac{d}{dt}F\left( z(t)\right) \right) dt+i\int_{a}^{b}\func{Im}\left( 
\frac{d}{dt}F\left( z(t)\right) \right) dt.$

\vspace{1pt}
\end{center}

We may now apply the fundamental theory of calculus to the two real
integrals on the right to get

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\int_{a}^{b}\frac{d}{dt}F\left( z(t)\right) dt=\func{Re}\left( F\left(
z\left( b\right) \right) \right) -\func{Re}\left( F\left( z\left( a\right)
\right) \right) +i\left[ \func{Im}\left( F\left( z\left( b\right) \right)
\right) -\func{Im}\left( F\left( z\left( a\right) \right) \right) \right] $

\vspace{1pt}

$=\func{Re}\left( F\left( z\left( b\right) \right) \right) +i\func{Im}\left(
F\left( z\left( b\right) \right) \right) -\left[ \func{Re}\left( F\left(
z\left( a\right) \right) \right) +i\func{Im}\left( F\left( z\left( a\right)
\right) \right) \right] $

\vspace{1pt}

$=F\left( z\left( b\right) \right) -F\left( z\left( a\right) \right) $

\vspace{1pt}
\end{center}

Remark: $F(z)$ is called the \textit{antiderivative of }$f\left( z\right) $
if $F^{\prime }\left( z\right) =f\left( z\right) .$

\vspace{1pt}

We shall see later that if a complex function has a derivative, then it has
derivatives of all order. Thus it is really enough to just assume the
existence of $F^{\prime }.$

\vspace{1pt}

Since the result tells us that when an antiderivative exists the value of $%
\int_{C}f\left( z\right) dz$ depends only on the end points $C,$ we see that
if $C^{\prime }$ is any other curve having the same initial and terminal
points as $C$, then

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\int_{C}f\left( z\right) dz=\int_{C^{\prime }}f\left( z\right) dz$

\vspace{1pt}
\end{center}

Hence in this case the line integral in independent of the path taken
between the initial and terminal points. In particular if $\Gamma $ is a
closed path. then

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\oint_{\Gamma }f\left( z\right) dz=0.$

\vspace{1pt}
\end{center}

\vspace{1pt}Example: Compute $\int_{C}z^{2}dz$ if $C:z\left( t\right)
=t^{5}-it\cos t$ \ $0\leq t\leq 1$

\vspace{1pt}

Let $F\left( z\right) =\frac{z^{3}}{3}.$ \ \ Then $\int_{C}z^{2}dz=F\left(
1-i\cos 1\right) -F\left( 0\right) =\frac{1}{3}\left( 1-i\cos 1\right) ^{3}$

\vspace{1pt}

Properties of the complex line integral:

\vspace{1pt}

1. $\int_{C}\left[ f\left( z\right) +g\left( z\right) \right]
dz=\int_{C}f\left( z\right) dz+\int_{C}g\left( z\right) dz$

\vspace{1pt}

2. If $k$ is a constant, then $\int_{C}kf\left( z\right) dz=k\int_{C}f\left(
z\right) dz$

\vspace{1pt}

3. If $C^{\prime }$ denotes $C$ described in the opposite direction, then

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\int_{C^{\prime }}$ $f\left( z\right) dz=-\int_{C}f\left( z\right) dz$

\vspace{1pt}
\end{center}

Definition: A \textit{contour} (or piecewise smooth curve) is a continuous
curve consisting of a finite number of smooth arcs.

\vspace{1pt}

4. If the contour $C$ is made up of the smooth arcs $C_{1},C_{2},\ldots
,C_{n},$ then

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\int_{c}f\left( z\right) dz=\left( \int_{C_{1}}+\int_{C_{2}}+\cdots
\int_{C_{n}}\right) f\left( z\right) dz$

\vspace{1pt}
\end{center}

5. If $M$ is an upper bound of $\left| f\left( z\right) \right| $ on the
smooth arc $C:$ $z\left( t\right) =\varphi \left( t\right) +i\psi \left(
t\right) $ (where $f\left( z\right) $ is continuous on $C$) and $L$ is the
length of $C$, then

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\left| \int_{C}f\left( z\right) dz\right| \leq ML$

\vspace{1pt}
\end{center}

Proof: \ We first show \qquad $\left| \int_{C}f\left( z\right) dz\right|
\leq \int_{a}^{b}\left| f\left( z\left( t\right) \right) \right| $ $\left|
z^{\prime }\left( t\right) \right| dt$

\vspace{1pt}

Writing $\int_{C}f\left( z\right) dz$ in polar form we have that $%
\int_{C}f\left( z\right) dz=re^{i\theta }.$ Then

\vspace{1pt}

\begin{center}
$r=e^{-i\theta }\int_{C}f\left( z\right) dz=e^{-i\theta }\int_{a}^{b}f\left(
z\left( t\right) \right) z^{\prime }\left( t\right) dt$

\vspace{1pt}
\end{center}

Since $r$ is real, then

\vspace{1pt}

\begin{center}
$r=\func{Re}\left( r\right) =\func{Re}\left[ e^{-i\theta
}\int_{a}^{b}f\left( z\left( t\right) \right) z^{\prime }\left( t\right) dt%
\right] =\int_{a}^{b}\func{Re}\left[ e^{-i\theta }f\left( z\left( t\right)
\right) z^{\prime }\left( t\right) \right] dt$

\vspace{1pt}
\end{center}

But for any number $w$ $\func{Re}\left( w\right) \leq \left| w\right| .$ \
Therefore

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\func{Re}\left[ e^{-i\theta }f\left( z\left( t\right) \right) z^{\prime
}\left( t\right) \right] \leq \left| e^{-i\theta }f\left( z\left( t\right)
\right) z^{\prime }\left( t\right) \right| =\left| f\left( z\left( t\right)
\right) z^{\prime }\left( t\right) \right| $

\vspace{1pt}
\end{center}

since $\left| e^{-i\theta }\right| =1.$ Therefore

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\left| \int_{C}f\left( z\right) dz\right| =r=\left| \int_{a}^{b}f\left(
z\left( t\right) \right) z^{\prime }\left( t\right) dt\right| \leq
\int_{a}^{b}\left| f\left( z\left( t\right) \right) z^{\prime }\left(
t\right) \right| dt=\int_{a}^{b}\left| f\left( z\left( t\right) \right)
\right| \left| z^{\prime }\left( t\right) \right| dt$

\vspace{1pt}
\end{center}

Now since $\left| f\left( z\right) \right| \leq M$ , then

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\left| \int_{C}f\left( z\right) dz\right| \leq M\int_{a}^{b}\left|
z^{\prime }\left( t\right) \right| dt=M\int_{a}^{b}\sqrt{\varphi ^{\prime
}\left( t\right) ^{2}+\psi ^{\prime }\left( t\right) ^{2}}dt=ML$

\vspace{1pt}
\end{center}

Example: Calculate $\int_{C}\frac{dz}{z}$ where $C$ is a circle of radius $%
\rho $ centered at the origin.

\vspace{1pt}

Let $x=\rho \cos \theta =\varphi \left( \theta \right) $ and $y=\rho \sin
\theta =\psi \left( \theta \right) $ \ \ \ \ $0\leq \theta \leq 2\pi .$ \
Then

$z\left( \theta \right) =\rho \left( \cos \theta +i\sin \theta \right) =\rho
e^{i\theta }$ \ and $z^{\prime }\left( \theta \right) =\rho ie^{i\theta
}d\theta .$ Hence

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\int_{C}\frac{dz}{z}=\int_{0}^{2\pi }\frac{\rho ie^{i\theta }d\theta }{\rho
e^{i\theta }}=\int_{0}^{2\pi }id\theta =2\pi i.$

\vspace{1pt}
\end{center}

Lemma: Suppose $f\left( z\right) $ is analytic and single-valued in a domain 
$D$, and let $z_{0}$ be a fixed point in $D.$ Then the $\int_{C}f\left(
z\right) dz$ along any contour $C$ from $z_{0}$ to $z$ lying entirely in $D$
has the same value, written $\int_{z_{0}}^{z}f\left( \zeta \right) d\zeta $
for any such $C$ $\Longleftrightarrow $ $\oint_{\Gamma }f\left( z\right)
dz=0 $ $\forall $ closed contours $\Gamma $ through $z_{0}$ lying entirely
in $D.$

\vspace{1pt}

Proof: \ Suppose $\int_{z_{0}}^{z}f\left( \zeta \right) d\zeta $ is
independent of path $C.$ Then we can write

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\int_{z_{0}}^{z}f\left( \zeta \right) d\zeta =F\left( z\right) $

\vspace{1pt}
\end{center}

where $F\left( z\right) $ is a single-valued function. Let $\Gamma $ be a
closed contour lying entirely in $D$ and let $z_{0}$ and $z_{1}$ be points
on $\Gamma .$ Let $\Gamma _{1}$ be a the part of $\Gamma $ from $z_{0}$ to $%
z_{1}$ and $\Gamma _{2}$ the part of $\Gamma $ from $z_{1}$ to $z_{0}$ so
that $\Gamma =\Gamma _{1}+\Gamma _{2}.$

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.1874in}{2.5322in}{0pt}{}{}{closed.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 4.1874in;height 2.5322in;depth
0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'closed.bmp';file-properties
"XNPEU";}}

\vspace{1pt}
\end{center}

Then $\oint_{\Gamma }f\left( z\right) dz=\left( \int_{\Gamma
_{1}}+\int_{\Gamma _{2}}\right) f\left( z\right) dz.$ But $\int_{\Gamma
_{1}}=\int_{-\Gamma _{2}}=-\int_{\Gamma _{2}}$ so that $\int_{\Gamma
}f\left( z\right) dz=0.$

\vspace{1pt}

Now suppose $\oint_{\Gamma }f\left( z\right) dz=0$ for any closed contour
lying entirely in $D.$ Let $z_{0}$ and $z_{1}$ be two points in $D$ \ and
let $\Gamma _{1}$ $\ $and $-\Gamma _{2}$ be two paths lying entirely in $D$
from $z_{0}$ to $z_{1}.$ Then $\Gamma =\Gamma _{1}+\Gamma _{2}$ is a closed
path lying entirely in $D.$ Hence

\vspace{1pt}

\begin{center}
\vspace{1pt}$\oint_{\Gamma }f\left( z\right) dz=\left( \int_{\Gamma
_{1}}+\int_{\Gamma _{2}}\right) f\left( z\right) dz=\int_{\Gamma
_{1}}f\left( z\right) dz-\int_{-\Gamma _{2}}f\left( z\right) dz=0$

\vspace{1pt}
\end{center}

Therefore, $\int_{\Gamma _{1}}f\left( z\right) dz=\int_{-\Gamma _{2}}f\left(
z\right) dz$ so that the integral is path independent.

\vspace{1pt}

\begin{center}
\vspace{1pt}

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}
\end{center}

\end{document}

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