%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                                                     %
%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 2.5             %
%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 3.0             %
%                                                                     %
% If you are separating the files in this message by hand, you will   %
% need to identify the file type and place it in the appropriate      %
% directory.  The possible types are: Document, DocAssoc, Other,      %
% Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files      %
% tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file    %
% directory.  Macro files go into your TeX macros directory. Style    %
% files are used by Scientific Word and do not need to be extracted.  %
% Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a       %
% graphics directory.                                                 %
%                                                                     %
% Graphic files need to be converted from the text format (this is    %
% done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. %
%                                                                     %
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%                                                                     %
% Files included:                                                     %
%                                                                     %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/Lecture9.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\input{tcilatex}

\begin{document}


\section{Ma 681}

\vspace{1pt}

\section{Lecture 9}

\vspace{1pt}

\subsection{The Cauchy Integral Theorem}

\vspace{1pt}

Definition: A domain $D$ is said to be \textit{simply connected} if all
points in the interior of any Jordan curve which lies entirely in $D$ are
also points of $D.$

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.1874in}{2.5322in}{0pt}{}{}{simplyconnected.bmp}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.1874in;height 2.5322in;depth
0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'simplyconnected.bmp';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}
\end{center}

Example: $\left| z\right| <1$ is simply connected, where as $0<\left|
z\right| <1$ is not.

\vspace{1pt}

Example: $\oint_{C}z^{n}dz$ where $C$ is any closed contour and $n\neq -1$, $%
n$ an integer.

Now $z^{n}=F^{\prime }\left( z\right) $ where $F(z)=\dfrac{z^{n+1}}{n+1},$
so that $\int_{z_{0}}^{z}z^{n}dz=F\left( z\right) -F\left( z_{0}\right) .$
Hence

$\oint_{C}z^{n}dz=0,$ because $z=z_{0}$ for a closed contour.

\vspace{1pt}

Theorem: If $f\left( z\right) $ is regular and single-valued in a bounded,

simply-connected domain $D$, and if $C$ is a simple closed contour situated
in $D,$ then

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\oint_{C}f\left( z\right) dz=0$

\vspace{1pt}
\end{center}

\vspace{1pt}Convention: If $C$ is a simple closed continuous curve in D,
then its interior is simply-connected. The point $z$ is said to describe $C$
in the \textit{positive }sense if, as it moves along $C$, the points of the
interior domain of $C$ in the immediate vicinity lie to its left.

\vspace{1pt}

Example: Evaluate \ \ $\doint_{C}\dfrac{2z+1}{z^{2}+3iz}dz$ \ where $C$ is
the circle $\left| z+3i\right| =2$ or radius $2$ about $z=-3i.$

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.1874in}{2.5322in}{0pt}{}{}{circle.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 4.1874in;height 2.5322in;depth
0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'circle.bmp';file-properties
"XNPEU";}}

\vspace{1pt}
\end{center}

Note that $f(z)=\left( 2z+1\right) /\left( z^{2}+3iz\right) $ is
differentiable except at $0$ and $-3i,$ where the denominator is zero. The
path $C$ encloses $-3i$ but not $0.$ Using partial fractions we have

\vspace{1pt}

\begin{center}
$f\left( z\right) =\dfrac{1}{3i}\dfrac{1}{z}+\left( 2+\dfrac{i}{3}\right) 
\dfrac{1}{z+3i}$

\vspace{1pt}
\end{center}

By Cauchy's Theorem $\oint_{C}\frac{1}{z}dz=0,$ since $1/z$ is
differentiable on and inside $C.$ Hence

\begin{center}
$\oint_{C}f\left( z\right) dz=\left( 2+\dfrac{i}{3}\right) \oint_{C}\dfrac{1%
}{z+3i}dz$

\vspace{1pt}
\end{center}

Cauchy's Theorem cannot be used to conclude that this last integral is zero.
We must evaluate it directly. Now we can parametrize $C$ as $z\left(
t\right) =-3i+2e^{it},$ \ $0\leq t\leq 2\pi .$ \ $\Longrightarrow $

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\doint_{C}\dfrac{1}{z+3i}dz=\int_{0}^{2\pi }\dfrac{1}{2e^{it}}%
2ie^{it}dt=\int_{0}^{2\pi }idt=2\pi i$

\vspace{1pt}
\end{center}

$\Longrightarrow \qquad \qquad \doint_{C}\dfrac{2z+1}{z^{2}+3iz}dz$ $=\left(
2+\frac{i}{3}\right) 2\pi i=\pi \left( -\frac{2}{3}+4i\right) $

\vspace{1pt}

Remark: If we add an additional hypothesis, then the theorem is easy to
prove. Write $f\left( z\right) =u\left( x,y\right) +iv\left( x,y\right) $
and assume that $u$ and $v$ and their first partial derivatives are
continuous in $D.$ Now we can obtain the conclusion of Cauchy's theorem
easily by Green's Theorem (Recall $\oint_{C}Pdx+Qdy=\int \int_{D}\left( 
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dA,$
where $D$ consists of $C$ together with its interior.) We have

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\oint_{C}f\left( z\right) dz=\oint_{C}f\left( z\left( t\right) \right)
z^{\prime }\left( t\right) dt=\oint_{C}\left[ u\left( x\left( t\right)
,y\left( t\right) \right) +iv\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right)
\right) \right] \left[ \dfrac{dx}{dt}+i\dfrac{dy}{dt}\right] dt$

\vspace{1pt}
\end{center}

\qquad \qquad \qquad $=\oint_{C}udx-vdy+i\oint_{C}vdx+udy=\dint
\dint_{D}\left( -\dfrac{\partial v}{\partial x}-\dfrac{\partial u}{\partial y%
}\right) dA+i\dint \dint_{D}\left( \dfrac{\partial u}{\partial x}-\dfrac{%
\partial v}{\partial y}\right) dA=0$

\vspace{1pt}

because both integrands vanish by the Cauchy-Riemann equations. However, the
statement of the theorem does not assume continuity of the first partials of 
$u$ and $v.$ This is unnecessarily restrictive.

\vspace{1pt}

We now prove Cauchy's theorem. We shall need two lemmas

Lemma: If $\Gamma $ is a closed path in the plane, then

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\oint_{\Gamma }dz=\oint_{\Gamma }zdz=0$

\vspace{1pt}
\end{center}

Proof: For the first integral, let $G\left( z\right) =z$ and for the second
let $H\left( z\right) =\frac{1}{2}z^{2}.$ The $G$ and $H$ are differentiable
for all $z$, and $G^{\prime }\left( z\right) =1$ and $H^{\prime }\left(
z\right) =z$ for all $z.$ Since $\Gamma $ is closed, the result follows.

\vspace{1pt}

Lemma: Let $R^{\left( n\right) }$ be a set of points on and interior to a
rectangle in the plane for $n=1,2,\ldots $ Suppose each $R^{\left(
n+1\right) }$ is contained within $R^{\left( n\right) }.$ Suppose also that
if $d_{n}$ is the diameter (maximum distance between any two points in the
rectangle) of $R^{\left( n\right) }$, then $d_{n}\rightarrow 0$ as $%
n\rightarrow \infty .$ Then there is exactly one point which belongs to
every $R^{\left( n\right) }.$

\vspace{1pt}

Remark: In the lemma each rectangle in the sequence is contained in the
preceding rectangle. Such rectangles are called \textit{nested.} Further,
the diameters of successive rectangles get smaller, approaching zero in the
limit. In this case the lemma asserts that the rectangles actually shrink to
a single point that is common to all of them.

\vspace{1pt}

We omit the proof.

\vspace{1pt}

Proof of Cauchy's theorem:

\vspace{1pt}

Step 1. We first show that Cauchy's theorem holds when $C$ is the perimeter
of a rectangle which we shall call $\Gamma .$

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.1874in}{2.5322in}{0pt}{}{}{rectangle.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 4.1874in;height 2.5322in;depth
0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'rectangle.bmp';file-properties
"XNPEU";}}

\vspace{1pt}
\end{center}

As suggested by the figure above, form four rectangles by inserting segments
connecting the midpoints of opposite sides of the rectangle. Label these
rectangles $\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{4}.$ Each $\Gamma _{j}$ is oriented
counterclockwise. Then

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\oint_{\Gamma }f\left( z\right) dz=\sum_{j=1}^{4}\oint_{\Gamma _{j}}f\left(
z\right) dz$

\vspace{1pt}
\end{center}

Each of the four interior segments is part of two interior rectangles, and
in this summation is integrated over in both directions. Thus, in the sum on
the right the total contribution of the integrals over the newly inserted
interior lines is zero. Now,

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\left| \oint_{\Gamma }f\left( z\right) dz\right| \leq \sum_{j=1}^{4}\left|
\oint_{\Gamma _{j}}f\left( z\right) dz\right| $

\vspace{1pt}
\end{center}

Therefore, for at least one of the rectangles, call it $\Gamma ^{\left(
1\right) },$

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\dfrac{1}{4}\left| \oint_{\Gamma }f\left( z\right) dz\right| \leq \left|
\oint_{\Gamma ^{\left( 1\right) }}f\left( z\right) dz\right| $
\end{center}

\vspace{1pt}

Subdivide $\Gamma ^{\left( 1\right) }$ by drawing segments connecting the
midpoints of its opposite sides as shown in the figure below.

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.1874in}{2.5322in}{0pt}{}{}{nested rectangle.bmp}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.1874in;height 2.5322in;depth
0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'nested rectangle.bmp';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}
\end{center}

Reasoning as we just did with the first subdivision, this produces four
sub-rectangles within $\Gamma ^{\left( 1\right) },$ and for at least one of
these, call it $\Gamma ^{\left( 2\right) },$

\vspace{1pt}

\begin{center}
\[
\dfrac{1}{4}\left| \oint_{\Gamma ^{\left( 1\right) }}f\left( z\right)
dz\right| \leq \left| \oint_{\Gamma ^{\left( 2\right) }}f\left( z\right)
dz\right| 
\]

\vspace{1pt}
\end{center}

so that

\qquad \qquad $\qquad \qquad $%
\[
\frac{1}{4^{2}}\left| \oint_{\Gamma }f\left( z\right) dz\right| \leq \left|
\oint_{\Gamma ^{\left( 2\right) }}f\left( z\right) dz\right| 
\]

\vspace{1pt}

Continuing in this manner we get an infinite sequence of rectangles $\Gamma
^{(1)},$ $\Gamma ^{(2)},$ $\Gamma ^{(3)},$ $\Gamma ^{(4)},\ldots $ If we let 
$R^{\left( n\right) }$ consist of all points on or in the interior of $%
\Gamma ^{\left( n\right) },$ then each $R^{\left( n\right) }$ is contained
in all the preceding $R^{\left( j\right) \prime }$s (for $j<n)$ and each $%
R^{\left( n\right) }$ is a closed (solid rectangular) set. Furthermore,

\vspace{1pt}

\begin{center}
\[
\frac{1}{4^{n}}\left| \oint_{\Gamma }f\left( z\right) dz\right| \leq \left|
\oint_{\Gamma ^{\left( n\right) }}f\left( z\right) dz\right| \qquad \qquad
\left( 1\right) 
\]

\vspace{1pt}
\end{center}

It is easy to see that $R^{\left( n\right) }$ has diameter $d/2^{n}$ and
perimeter $p/2^{n},$ where $d$ is the diameter of $\Gamma $ and $p$ is the
perimeter of $\Gamma .$

\vspace{1pt}

By the second lemma above there is exactly one point $\zeta $ common to
every $R^{\left( n\right) }.$ By hypothesis $f$ is differentiable at $\zeta
. $ Since $f\left( \zeta \right) $ and $f^{\prime }\left( \zeta \right) $
are constants, then by the first lemma, for any positive integer $j$

\vspace{1pt}

\begin{center}
\[
\doint_{\Gamma ^{\left( j\right) }}f\left( z\right) dz=\doint_{\Gamma
^{\left( j\right) }}\left[ f\left( z\right) -f\left( \zeta \right) -\left(
z-\zeta \right) f^{\prime }\left( \zeta \right) \right] dz\qquad \left(
2\right) 
\]

\vspace{1pt}
\end{center}

Now $\lim_{z\rightarrow \zeta }\left| \dfrac{f(z)-f\left( \zeta \right) }{%
z-\zeta }\right| =f^{\prime }\left( \zeta \right) .$ \ Let $\in $ $>0$ be
given. Then $\exists $ a $\delta >0$ such that

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\left| \dfrac{f(z)-f\left( \zeta \right) }{z-\zeta }-f^{\prime }\left(
\zeta \right) \right| <$ $\in $ \ if $0<\left| z-\zeta \right| <\delta $

\vspace{1pt}
\end{center}

Then

\begin{center}
$\left| f(z)-f\left( \zeta \right) -f^{\prime }\left( \zeta \right) \left(
z-\zeta \right) \right| <\in \left| z-\zeta \right| $ \ if \ $0<\left|
z-\zeta \right| <\delta \qquad \left( 3\right) $
\end{center}

\vspace{1pt}Choose $N$ sufficiently large that $R^{\left( N\right) }$ is
contained inside the disk of radius $\delta $ about $\zeta .$ Then $0<\left|
z-\zeta \right| <\delta $ \ $\forall $ \ $z$ on $\Gamma ^{\left( N\right) }.$
From $\left( 2\right) $ and $\left( 3\right) $

\vspace{1pt}

\begin{center}
\[
\left| \doint_{\Gamma ^{\left( n\right) }}f\left( z\right) dz\right| \leq
\doint_{\Gamma ^{\left( N\right) }}\in \left| z-\zeta \right| dz<\in \dfrac{d%
}{2^{N}}\dfrac{p}{2^{N}} 
\]

\vspace{1pt}
\end{center}

because $\left| z-\zeta \right| <d/2^{N}$ and the length of $\Gamma ^{\left(
N\right) }$ is $p/2^{N}.$ Finally, from $\left( 1\right) $ we get

\vspace{1pt}

\begin{center}
\[
\dfrac{1}{4^{N}}\left| \doint_{\Gamma }f\left( z\right) dz\right| \leq
\left| \doint_{\Gamma ^{\left( n\right) }}f\left( z\right) dz\right| <\in 
\dfrac{dp}{4^{N}} 
\]

\vspace{1pt}
\end{center}

so that

\qquad \qquad \qquad 
\[
\left| \oint_{\Gamma }f\left( z\right) dz\right| <\in dp 
\]

Since $\in dp$ can be made arbitrarily small, we conclude that $%
\oint_{\Gamma }f\left( z\right) dz=0.$

\vspace{1pt}

Step 2: We now prove the theorem for all closed contours $C$ contained in a
disk $E:\left| z-\alpha \right| <R$ in which $f(z)$ is regular. Define $%
F\left( z\right) $ in $E$ by

\vspace{1pt}

\begin{center}
$F\left( z\right) =\int_{C_{z}}f\left( z\right) dz$
\end{center}

where $C_{z}$ is the path in the diagram.

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.1874in}{2.5322in}{0pt}{}{}{step2.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 4.1874in;height 2.5322in;depth
0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'step2.bmp';file-properties
"XNPEU";}}

\vspace{1pt}
\end{center}

Setting $\alpha =a+ib$ and $z=x+iy$ we have

\vspace{1pt}

\begin{center}
\[
F\left( z\right) =\int_{a}^{x}f\left( t+ib\right) dt+i\int_{b}^{y}f\left(
x+it\right) dt\qquad \qquad (4) 
\]

\vspace{1pt}
\end{center}

From Step 1 \ \ $\int_{C_{z}-C_{z}^{\prime }}f\left( z\right) dz=0$ so that $%
\left( \int_{C_{z}}-\int_{C_{z}^{\prime }}\right) f\left( z\right) dz=0.$
Hence $\int_{C_{z}}=\int_{C_{z}^{\prime }}.$ Then

\vspace{1pt}

\begin{center}
\[
F\left( z\right) =i\int_{a}^{y}f\left( a+it\right) dt+\int_{a}^{x}f\left(
t+iy\right) dt\qquad \left( 5\right) 
\]

\vspace{1pt}
\end{center}

We now write $F(z)=U\left( x,y\right) +iV\left( x,y\right) ,$ and
differentiate $(5)$ and $\left( 4\right) $ with respect to $x$ and $y$
respectively to get

\vspace{1pt}

\begin{center}
\[
\left. 
\begin{array}{l}
U_{x}+iV_{x}=f\left( x+iy\right) =f\left( z\right) \\ 
\\ 
U_{y}+iV_{y}=if\left( x+iy\right) =if\left( z\right)%
\end{array}%
\right\} \qquad \qquad \left( 6\right) 
\]

\vspace{1pt}
\end{center}

or \qquad $U_{x}+iV_{x}+i\left( U_{y}+iV_{y}\right) $\vspace{1pt}$=f\left(
z\right) -f\left( z\right) =0$ \ Therefore

\vspace{1pt}

\begin{center}
\vspace{1pt}$U_{x}=V_{y}$ \ and \ \ $V_{x}=-U_{y}$
\end{center}

that is, the Cauchy-Riemann equations hold for $F\left( z\right) $
throughout $E.$ Furthermore, $U_{x},$ $V_{y},$ $V_{x},$ $U_{y}$ are
continuous in $E$ since $f\left( z\right) $ is. Therefore, $F\left( z\right)
=U+iV$ is analytic throughout $E.$ From $\left( 6\right) $ we have that $%
F^{\prime }\left( z\right) =U_{x}+iV_{x}=f\left( z\right) $ so we have
proved thus far:

\vspace{1pt}

If $f\left( z\right) $ is an analytic function in a disk $E:\left| z-\alpha
\right| <R,$ then $\exists $ another single-valued analytic function $%
F\left( z\right) $ in $E$ such that $F^{\prime }\left( z\right) =f\left(
z\right) .$

\vspace{1pt}

Now let $\Gamma $ be an arbitrary contour joining any two points $\alpha $
and $\beta $ in $E.$ Then

\vspace{1pt}

\begin{center}
\[
\int_{\Gamma }f\left( z\right) dz=\int_{\Gamma }\frac{dF}{dz}dz=F\left(
\beta \right) -F\left( \alpha \right) 
\]

\vspace{1pt}
\end{center}

which is path independent. From our earlier result, this means that if $%
f\left( z\right) $ is analytic in $E,$ then $\oint_{C}f\left( z\right) dz=0$
for all closed contours $C$ inside $E.$

\vspace{1pt}

Step 3: Consider $C$ a simple closed contour in $D.$ $\exists $ a number $%
d>0 $ such that if $z_{1}\in C,$ then the disk $E_{1}:\left| z-z_{1}\right|
<2d$ is contained in $D.$ (For $\exists $ a number $\rho >0$ which is the
shortest distance from any point of $C$ to the boundary of $D.$)

\vspace{1pt}

Now cover $D$ with a rectangular grid of lines $x=const.$ \ $y=const.$ with
uniform spacing $d/2.$

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.1874in}{2.5322in}{0pt}{}{}{grid.bmp}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 4.1874in;height 2.5322in;depth
0pt;original-width 306.375pt;original-height 184.4375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'grid.bmp';file-properties
"XNPEU";}}

\vspace{1pt}
\end{center}

Those squares with points in common with $C$ and its interior are of two
types: \ 

a) \ Entirely interior to $C$ (perimeters $C_{1},C_{2},\ldots ,C_{n})$

b) Cut by $C.$

\vspace{1pt}

In type b) we construct $\Gamma _{1},\Gamma _{2},\ldots ,\Gamma _{m}$
consisting of parts of the boundary of the square (that lies inside of $C)$
and sections of $C$ (inside the square). Then

\vspace{1pt}

\begin{center}
$\oint_{C}f\left( z\right) dz=\sum_{k=1}^{n}\oint_{C_{k}}f\left( z\right)
dz+\sum_{j=1}^{m}\oint_{\Gamma _{j}}f\left( z\right) dz$

\vspace{1pt}
\end{center}

But the first term on the right equals zero by Step 1 and the second term is
zero by Step 2. This completes the proof.

\vspace{1pt}

Remark: It is important to understand the hypothesis of Cauchy's integral
theorem. The examples below are designed to clarify them.

\vspace{1pt}

1. $\oint_{C}z^{n}dz=0$ for any nonnegative integer $n$ and any simple
closed path $C$ in the plane, since $z^{n}$ is analytic everywhere, and the
entire plane is a simply connected domain.

\vspace{1pt}

2. Consider $\oint_{C}\dfrac{1}{z}dz$ where $C$ is the unit circle about the
origin, oriented counter-clockwise. We may write $C:z\left( t\right) =\cos
t+i\sin t,$ \ $0\leq t\leq 2\pi $ or $z\left( t\right) =e^{it}.$ Then $%
z^{\prime }\left( t\right) =ie^{it}$ so that

\vspace{1pt}

\begin{center}
\[
\oint_{C}\dfrac{1}{z}dz=\int_{0}^{2\pi }\dfrac{1}{e^{it}}ie^{it}dt=i%
\int_{0}^{2\pi }dt=2\pi i 
\]

\vspace{1pt}
\end{center}

We do not get zero here, even though $\dfrac{1}{z}$ is analytic on $C.$ The
reason the theorem does not hold is that we cannot find a simply-connected
domain $D$ containing $C$ and in which $\frac{1}{z}$ is analytic. Note that $%
\dfrac{1}{z}$ is not analytic at $z=0,$ which is inside $C.$

\vspace{1pt}

In general any time $C$ goes around one or more points where $f\left(
z\right) $ is not analytic, then Cauchy's theorem fails to hold. In such a
case $\oint_{C}f\left( z\right) dz$ may or may not be zero - the theorem
does not say.

3. To illustrate this last point consider $\oint_{C}\dfrac{1}{z^{2}}dz,$
with $C$ as in 2 above. Now $\dfrac{1}{z^{2}}$ is not analytic at $0,$ and
hence not analytic is a simply connected domain containing $C.$ However,

\vspace{1pt}

\begin{center}
\[
\oint_{C}\dfrac{1}{z^{2}}dz=\int_{0}^{2\pi }\dfrac{1}{\left( e^{it}\right)
^{2}}ie^{it}dt=\int_{0}^{2\pi }ie^{-it}dt=i\int_{0}^{2\pi }\cos
tdt+\int_{0}^{2\pi }\sin tdt=0 
\]

\vspace{1pt}
\end{center}

Thus $\oint_{C}\dfrac{1}{z^{2}}dz=0,$ even though the conditions of Cauchy's
theorem do not hold.

\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/Lecture9.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/simplyconnected.bmp %%%%%%%%%%%%%%%%%

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