\hfill \thepage} %} Dear Prof. Levine, Here is homework 2. Jim Davidson \input{tcilatex} \begin{document} \section{Ma 681\qquad } \subsection{Solutions to Exercises for Lecture 2} \vspace{1pt} 1. \ \ Prove Theorem 2.1 \vspace{1pt} \qquad 1.) \ \ \ $z=x+iy$ \qquad \qquad\ \ $\overline{z}=x-iy$ \qquad \qquad\ \ $\overline{\overline{z}}=x+iy=z.$ \vspace{1pt} \qquad 2.) \ \ \ $z=x+iy$ \ \ \ \ $w=a+ib$ \qquad \qquad\ \ $z+w=x+iy+a+ib$ \qquad \qquad\ \ $z+w=x+a+i(y+b)$ \qquad \qquad\ \ $\overline{z+w}=x+a-i(y+b)$ \qquad \qquad\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=x-iy+a-ib$ \qquad \qquad \qquad\ \ \ \ \ $=\overline{z}+\overline{w}$ \vspace{1pt} \ \ \ \ \ \ 3.) \ \ $z=x+iy$ \ \ \ \ \ $w=a+ib$ \qquad \qquad\ $zw=(x+iy)(a+ib)$ \qquad \qquad\ \ \ \ \ \ \ $=ax+ibx+iay-by$ \qquad \qquad \qquad $=ax-by+i(bx+ay)$ \qquad \qquad $\overline{zw}=ax-by-i(bx+ay)$ \qquad \qquad \qquad $=ax-ibx-iay-by$ \qquad \qquad \qquad $=(x-iy)(a-ib)$ \qquad \qquad \qquad $=\overline{z}\overline{w}$ \vspace{1pt} \qquad 4.) \ \ $\left| \overline{z}\right| =\left| x-iy\right| $ \qquad \qquad \qquad $=\sqrt{x^{2}+(-y)^{2}}$ \qquad \qquad \qquad $=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ \qquad \qquad \qquad $=\left| x+iy\right| $ \qquad \qquad \qquad $=\left| z\right| $ \vspace{1pt} \qquad 5.) \ \ $\left| zw\right| =\left| (x+iy)(a+ib)\right| $ \qquad \qquad \qquad $=\left| ax+ibx+iay-by\right| $ \qquad \qquad \qquad $=\left| ax-by+i(bx+ay)\right| $ \qquad \qquad \qquad $=\sqrt{(ax-by)^{2}+(bx+ay)^{2}}$ \qquad \qquad \qquad $=\sqrt{% a^{2}x^{2}-2axby+b^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}+2bxay+a^{2}y^{2}}$ \qquad \qquad \qquad $=\sqrt{a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}}$ \qquad \qquad \qquad $=\sqrt{(x^{2}+y^{2})(a^{2}+b^{2})}$ \qquad \qquad \qquad $=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ \qquad \qquad \qquad $=\left| z\right| \left| w\right| $ \vspace{1pt} \qquad 6.)\qquad $z=x+iy$ \ \ \ \ \ where, \ \ $x=\func{Re}(z)$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\ \ $y=\func{Im}(z)$ \vspace{1pt} \qquad \qquad\ \ \ \ $\frac{1}{2}(z+\overline{z})=\frac{1}{2}(x+iy+x-iy)$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=\frac{1}{2}(2x)$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=x$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=\func{Re}(z)$ \vspace{1pt} \qquad \qquad\ \ \ $\frac{1}{2}(z-\overline{z})=\frac{1}{2i}(x+iy-x+iy)$ \qquad \qquad \qquad \qquad\ \ \ \ \ $=\frac{2iy}{2i}$ \qquad \qquad \qquad \qquad\ \ \ \ \ $=y$ \qquad \qquad \qquad \qquad\ \ \ \ \ $=\func{Im}(z)$ \vspace{1pt} \qquad 7.)\qquad Since $\ z=x+iy$ \qquad \qquad \qquad \qquad $\left| z\right| =\left| x+iy\right| =\sqrt{% x^{2}+y^{2}}\geq 0$ \vspace{1pt} \qquad \qquad \qquad Suppose \ \ $\left| z\right| =0.$ \ \ then, \qquad \qquad \qquad \qquad $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=0$ \qquad \qquad \qquad \qquad $x^{2}+y^{2}=0$ \qquad \qquad \qquad \qquad $x^{2}=-y^{2}$ \vspace{1pt} \qquad \qquad \qquad The only solution that satisfies this is $x=y=0.$ \qquad \qquad \qquad so then, \ \ $z=0.$ \vspace{1pt} \qquad \qquad \qquad Suppose $z=0.$ \qquad \qquad \qquad \qquad then, \ \ $x=y=0$ \qquad \qquad \qquad \qquad then, \ \ $x^{2}+y^{2}=0$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=0$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $\left| x+iy\right| =0$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $\left| z\right| =0.$ \vspace{1pt} \qquad 8.) \ \ \ \ $z\overline{z}=(x+iy)(x-iy)$ \qquad \qquad \qquad $=x^{2}-ixy+ixy+y^{2}$ \qquad \qquad \qquad $=x^{2}+y^{2}$ \qquad \qquad \qquad $=(\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}$ \qquad \qquad \qquad $=\left| x+iy\right| ^{2}$ \qquad \qquad \qquad $=\left| z\right| ^{2}$ \vspace{1pt} 2.\qquad Prove Theorem 2.2 (1) and (2) \qquad (1) \ $\left| \func{Re}(z)\right| =\left| x\right| $ \qquad \qquad \qquad \qquad $=\sqrt{x^{2}}$ \qquad \qquad \qquad \qquad $\leq \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ \qquad \qquad \qquad \qquad $=\left| x+iy\right| $ \qquad \qquad \qquad \qquad $=\left| z\right| $ \qquad (2) \ $\left| \func{Im}(z)\right| =\left| y\right| $ \qquad \qquad \qquad \qquad $=\sqrt{y^{2}}$ \qquad \qquad \qquad \qquad $\leq \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ \qquad \qquad \qquad \qquad $=\left| x+iy\right| $\ \qquad \qquad \qquad \qquad $=\left| z\right| $ \vspace{1pt} 3. \ \ \ Prove that $\left| \frac{z_{1}}{z_{2}}\right| =\frac{\left| z_{1}\right| }{\left| z_{2}\right| }$\qquad \ \ \ \ \ \ Let \ \ $z_{1}=x+iy$ \ \ \ and \ \ \ \ $z_{2}=a+ib$ \vspace{1pt} \qquad $\left| \frac{z_{1}}{z_{2}}\right| =\left| \frac{x+iy}{a+ib}\right| =\left| \frac{(x+iy)(a-ib)}{(a+ib)(a-ib)}\right| $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=\left| \frac{ax-ibx+iay+by}{a^{2}+b^{2}}% \right| $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=\left| \frac{ax+by}{a^{2}+b^{2}}+i(% \frac{ay-bx}{a^{2}+b^{2}})\right| $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=\sqrt{(\frac{ax+by}{a^{2}+b^{2}})^{2}+(% \frac{ay-bx}{a^{2}+b^{2}})^{2}}$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=\sqrt{\frac{% a^{2}x^{2}+2axby+b^{2}y^{2}+a^{2}y^{2}-2aybx+b^{2}x^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=\sqrt{\frac{% a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=\sqrt{\frac{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}{% (a^{2}+b^{2})^{2}}}$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{% a^{2}+b^{2}}}$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=\frac{\left| x+iy\right| }{\left| a+ib\right| }$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=\frac{\left| z_{1}\right| }{\left| z_{2}\right| }.$ \vspace{1pt} 4.)\qquad\ \ Prove that $\left| z_{1}z_{2}.......z_{n}\right| =\left| z_{1}\right| \left| z_{2}\right| ....\left| z_{n}\right| $ \qquad \qquad Proof by induction on $n.$ \vspace{1pt} \qquad \qquad Suppose $n=2.$ \vspace{1pt} \qquad \qquad \qquad $\left| z_{1}z_{2}\right| =\left| z_{1}\right| \left| z_{2}\right| \qquad $by theorem 2.1 (5.) \qquad \qquad Suppose \qquad \qquad \qquad $\left| z_{1}z_{2}......z_{n}\right| =\left| z_{1}\right| \left| z_{2}\right| ........\left| z_{n}\right| $ \vspace{1pt} \qquad \qquad Now, \qquad \qquad \qquad $\left| z_{1}z_{2}......z_{n+1}\right| =\left| z_{1}z_{2}........z_{n}\right| \left| z_{n+1}\right| $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\ \ \ $=\left| z_{1}\right| \left| z_{2}\right| ........\left| z_{n}\right| \left| z_{n+1}\right| $ \vspace{1pt} 5.\qquad\ \ \ \ \ Find arg$(z)$ \ for \qquad \qquad \qquad a.) \ \ \ \ $3i$ \vspace{1pt} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad arg$(z)=\arctan (\frac{3}{0})$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad arg$(z)=\frac{\pi }{2}$ \vspace{1pt} \qquad \qquad \qquad b.)\qquad $-3+2i$ \vspace{1pt} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad This is in the 2nd quadrant. \vspace{1pt} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $\tan (\alpha )=\frac{2}{3}$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $\alpha =\arctan (\frac{2}{3})=.588$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad so, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad arg$(z)=\pi -.588.$ \qquad \qquad \qquad c.)\qquad $-4$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad arg$(z)=\pi $ \vspace{1pt} 6.\qquad Let $z$ and $w$ be complex numbers such that $\overline{z}w\neq 1,$ but such that either $z$ or $w$ has magnitude $1$. \ Prove that \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $% \left| \frac{z-w}{1-\overline{z}w}\right| =1.$ (Hint: $z\overline{z}=\left| z\right| ^{2}$) \vspace{1pt}\qquad \qquad Suppose $\left| z\right| =1.$ \ Then, $\left| \frac{z-w}{1-\overline{z}w}\right| =\left| \frac{z-w}{\left| z\right| ^{2}-% \overline{z}w}\right| =\left| \frac{z-w}{z\overline{z}-\overline{z}w}\right| =\left| \frac{z-w}{\overline{z}(z-w)}\right| =\left| \frac{1}{\overline{z}}% \right| =\frac{1}{\left| \overline{z}\right| }=\frac{1}{\left| z\right| }=1.$ \qquad \qquad Suppose $\left| w\right| =1.$ \ Then, $\left| \frac{z-w}{1-\overline{z}w}\right| =\left| \frac{z-w}{\left| w\right| ^{2}-\overline{z}w}\right| =\left| \frac{z-w}{w\overline{w}-% \overline{z}w}\right| =\left| \frac{z-w}{w(\overline{w}-\overline{z})}% \right| =\frac{\left| z-w\right| }{\left| w\right| \left| \overline{w}-% \overline{z}\right| }=\frac{\left| z-w\right| }{\left| \overline{w}-% \overline{z}\right| }$ \qquad \qquad Suppose that $z=x+iy$ and $w=a+ib.$ \qquad \qquad Then, $\left| z-w\right| =\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=\sqrt{% (a-x)^{2}+(y-b)^{2}}=\left| \overline{w}-\overline{z}\right| $ \qquad \qquad So then, $\frac{\left| z-w\right| }{\left| \overline{w}-% \overline{z}\right| }=1.$ 7.\qquad Prove that for $z,w\in C$ \vspace{1pt} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $\left| z+w\right| ^{2}+\left| z-w\right| ^{2}=2(\left| z\right| ^{2}+\left| w\right| ^{2})$ \vspace{1pt} \qquad $\left| z+w\right| ^{2}+\left| z-w\right| ^{2}=(z+w)(\overline{z+w}% )+(z-w)(\overline{z-w})$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\ \ \ \ $=(z+w)(\overline{z}+\overline{w}% )+(z-w)(\overline{z}-\overline{w})$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\ \ \ \ $=z\overline{z}+z\overline{w}+w% \overline{z}+w\overline{w}+z\overline{z}-z\overline{w}-w\overline{z}+w% \overline{w}$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\ \ \ \ $=2z\overline{z}+2w\overline{w}$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\ \ \ \ $=2\left| z\right| ^{2}+2\left| w\right| ^{2}$ \vspace{1pt} 8.)\qquad Establish 2.1.18 on page 24 of Hille \vspace{1pt} \qquad \qquad ($\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\sum\limits_{r=0}^{n}\binom{n% }{r}\cos ^{n-r}\theta (i\sin ^{r}\theta )$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=\binom{n}{0}\cos ^{n}\theta +% \binom{n}{1}\cos ^{n-1}\theta i\sin \theta -\binom{n}{2}\cos ^{n-2}\theta \sin ^{2}\theta -\binom{n}{3}\cos ^{n-3}\theta i\sin ^{3}\theta +\binom{n}{4}% \cos ^{n-4}\theta \sin ^{4}\theta +..........$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=\cos n\theta +i\sin n\theta \qquad $(by DeMoivre's Theorem) \vspace{1pt} \qquad \qquad so, \qquad \qquad \qquad \qquad $\cos n\theta =\binom{n}{0}\cos ^{n}\theta -% \binom{n}{2}\cos ^{n-2}\theta \sin ^{2}\theta +\binom{n}{4}\cos ^{n-4}\theta \sin ^{4}\theta +..........$ \vspace{1pt}\qquad \qquad \qquad \qquad $\sin n\theta =\binom{n}{1}\cos ^{n-1}\theta \sin \theta -\binom{n}{3}\cos ^{n-3}\theta \sin ^{3}\theta .........$ \qquad \qquad 9.\qquad Prove Theorem 2.5 \vspace{1pt} \qquad \qquad Suppose $P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+........+a_{n}z^{n}$ \qquad \qquad Suppose $a_{0},a_{1},a_{2},..........,a_{n}$ are real. \qquad \qquad Suppose $P(z_{0})=0$ \vspace{1pt} \qquad \qquad Then, \qquad \qquad \qquad \qquad $% a_{0}+a_{1}z_{0}+a_{2}z_{0}^{2}+........+a_{n}z_{0}^{n}=0$ \qquad \qquad \qquad \qquad $\overline{% a_{0}+a_{1}z_{0}+a_{2}z_{0}^{2}+........+a_{n}z_{0}^{n}}=\overline{0}$ \qquad \qquad \qquad \qquad $\overline{a_{0}}+\overline{a_{1}z_{0}}+% \overline{a_{2}z_{0}^{2}}+........+\overline{a_{n}z_{0}^{n}}=0$ \qquad \qquad \qquad \qquad $a_{0}+a_{1}\overline{z_{0}}+a_{2}\overline{% z_{0}^{2}}+........+a_{n}\overline{z_{0}^{n}}=0$ \qquad \qquad \qquad \qquad So therefore, \ \ \ \ \ $P(\overline{z_{0}})=0.$ \vspace{1pt} 10.\qquad Find the roots of $6z^{4}-25z^{3}+32z^{2}+3z-10$, roots: $ \begin{array}{c} -\frac{1}{2} \\ \frac{2}{3} \\ 2+i \\ 2-i% \end{array} $ \qquad \qquad \qquad \vspace{1pt} 11.\qquad Prove that $\arg (\frac{z_{1}}{z_{2}})=\arg z_{1}-\arg z_{2}\qquad $(up to a multiple of $2\pi $) \vspace{1pt} \qquad \qquad Let \ \ \ $z_{1}=r_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})\qquad $so, \ \ \ $\arg z_{1}=\theta _{1}$ \qquad \qquad \qquad\ \ \ $z_{2}=r_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})\qquad $so, \ \ \ $\arg z_{2}=\theta _{2}$ \vspace{1pt} \qquad \qquad \qquad $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})}{r_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})}\frac{(\cos \theta _{2}-i\sin \theta _{2})}{(\cos \theta _{2}-i\sin \theta _{2})}$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=\frac{r_{1}(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-i\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}+i\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2})}{r_{2}(\cos ^{2}\theta _{2}+\sin ^{2}\theta _{2})}$ \vspace{1pt} \qquad \qquad \qquad \qquad $=\frac{r_{1}}{r_{2}}\lbrack \cos (\theta _{1}-\theta _{2})+i\sin (\theta _{1}-\theta _{2})\rbrack $ \vspace{1pt} \qquad \qquad so, $\arg \frac{z_{1}}{z_{2}}=\theta _{1}-\theta _{2}=\arg z_{1}-\arg z_{2}$ \vspace{1pt} 12.\qquad Find the square roots of $-15-8i$ using the formula derived in Lecture 2 and by assuming that $p+iq$ is the required root and finding $p$ and $q.$ \vspace{1pt} \qquad \qquad $\left| -15-8i\right| =\allowbreak 17$ \qquad \qquad \qquad \qquad $\arctan (\frac{8}{15})=.48996$ \vspace{1pt} \qquad \qquad $\arg (-15-8i)=\allowbreak \arctan \frac{8}{15}-\pi $ \vspace{1pt} \qquad \qquad so then, \qquad \qquad \qquad \qquad 1 root is $w=\sqrt{17}\lbrack \cos (\frac{% \arctan \frac{8}{15}-\pi }{2})+i\sin (\frac{\arctan \frac{8}{15}-\pi }{2}% )\rbrack $ \qquad \qquad \qquad \qquad the other root is $w=\sqrt{17}[\cos (\frac{% \arctan \frac{8}{15}-\pi }{2}+\pi )+i\sin (\frac{\arctan \frac{8}{15}-\pi }{2% }+\pi )]$ Suppose now that $p+iq$ is a root of $-15-8i,$ where $p$ and $q$ are real. $% \ $Then $\left( p+iq\right) ^{2}=\allowbreak p^{2}+2ipq-q^{2}=-15-8i$ . Thus $2pq=-8$ or $q=-\frac{4}{p}$and $p^{2}-q^{2}=-15.$ Hence \vspace{1pt} \[ p^{2}-\frac{16}{p^{2}}=-15 \] $p^{4}+15p^{2}-16=0$, Solution is: $\left\{ p=1\right\} ,\left\{ p=-1\right\} ,\left\{ p=4i\right\} ,\left\{ p=-4i\right\} .$ We reject the last two solutions since $p$ is real. Thus $p=\pm 1,q=\mp 4$ so the roots are $1-4i$ and $-1+4i.$ \vspace{1pt} 13.\qquad \qquad Find the sixth roots of unity. \vspace{1pt} \qquad \qquad \qquad \qquad $z^{\frac{1}{n}}$ when $z=1$ is\qquad $\cos (% \frac{2\pi k}{n})+i\sin (\frac{2\pi k}{n})$ \vspace{1pt} \qquad \qquad \qquad \qquad root 1:\qquad $1$ \qquad \qquad \qquad \qquad root 2:\qquad $\cos (\frac{\pi }{3})+i\sin (% \frac{\pi }{3})=\allowbreak \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3}$ \qquad \qquad \qquad \qquad root 3:\qquad $\cos (\frac{2\pi }{3})+i\sin (% \frac{2\pi }{3})=\allowbreak -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3}$ \qquad \qquad \qquad \qquad root 4:\qquad $\cos (\pi )+i\sin (\pi )=\allowbreak -1$ \qquad \qquad \qquad \qquad root 5:\qquad $\cos (\frac{4\pi }{3})+i\sin (% \frac{4\pi }{3})=\allowbreak -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\sqrt{3}$ \qquad \qquad \qquad \qquad root 6:\qquad $\cos (\frac{5\pi }{3})+i\sin (% \frac{5\pi }{3})=\allowbreak \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\sqrt{3}$ \vspace{1pt} 14.\qquad \qquad Sketch the curve $\left| z-3+7i\right| =4$ \vspace{1pt} \qquad \qquad \qquad \qquad This is a circle with center at (3,-7) and radius 4 \qquad \qquad \qquad\ $(x-3)^{2}+(y+7)^{2}=16$\FRAME{itbpF}{3in}{2.0003in}{% 0in}{}{}{Plot}{\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3in;height 2.0003in;depth 0in;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;function \TEXUX{$(x-3)^{2}+(y+7)^{2}=16$};linecolor "Black";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "Point";xmin "-5";xmax "8";ymin "-12";ymax "1";xviewmin "-1.1557436752374";xviewmax "7.15522049608613";yviewmin "-11.1520252003647";yviewmax "-2.84106102904121";rangeset"XY";phi 45;theta 45;plottype 12;constrained TRUE;num-x-gridlines 24;num-y-gridlines 24;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};yis \TEXUX{y};var1name \TEXUX{$x$};var2name \TEXUX{$y$};valid_file "T";tempfilename 'FIH0L002.wmf';tempfile-properties "XPR";}} \vspace{1pt}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \vspace{1pt} \vspace{1pt}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 15.\qquad \qquad Sketch the locus of points satisfying $\left| z+6i\right| \leq \left| z-1+3i\right| $ \vspace{1pt} \vspace{1pt} \vspace{1pt}\qquad \qquad \qquad $x^{2}+(y+6)^{2}\leq (x-1)^{2}+(y+3)^{2}$ $x^{2}+(y+6)^{2}=\allowbreak x^{2}+y^{2}+12y+36$ and $(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=% \allowbreak x^{2}-2x+10+y^{2}+6y$ $\allowbreak x^{2}+y^{2}+12y+36\leq x^{2}-2x+10+y^{2}+6y$, Solution is: $% \left\{ y\leq -\frac{13}{3}-\frac{1}{3}x\right\} $ \vspace{1pt}$y\leq -\frac{13}{3}-\frac{1}{3}x$\FRAME{dtbpF}{3in}{2in}{0in}{}{% }{Plot}{\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3in;height 2in;depth 0in;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;function \TEXUX{$-\frac{13}{3}-\frac{1}{3}x$};linecolor "Black";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "Point";xmin "-5";xmax "5";xviewmin "-5";xviewmax "5";yviewmin "-6.06666666666667";yviewmax "-2.59866666666667";phi 45;theta 45;plottype 4;numpoints 49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};valid_file "T";tempfilename 'FIH0L003.wmf';tempfile-properties "XPR";}} The point $\left( 0,-6\right) $ satifies this inequality. Hence, the locus is below this line. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/ex2_sol.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/FIH0L002.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% WwlqZB@@@@@@@P\GXOA{I@@@@@``CJ@@I@@@CTVD@@`A@t_@@@@@@t_@@@p}@@p@|C@@@@@@@B@ @@@@`@@@`@B@@@@@`@@H@@B@@@BH@@CLp@|qG_@PLqDC@FYdQ@tUW]A@dPBI@Yg]v@D_|qCPO@@ @@aA@@@XH@@@Pk@@@@UC@@@|FZ@py`C@kEV@|o_|ApfNJ@G]s@lsD@@pW[@@@ENR@@pzJA @PutD@@wS@@|oTZ@piUC@KxT@|_gtAp{^I@o]o@TcEA@pTgD@@seS@@PISB@pm_I@@ZOg@ @|aC@pV~A@_zO@|onbApNgH@SNm@tBIA@`S~H@@oae@@Dy\C@@mMR@@WgJA@hOqE@`~MCB @{[mO@pOx^A@kGH@}_Oj@PRKF@`RRU@@nQGA@@YeC@pksJ@@L{\@@\NzA@pGB@O\@|]B @FrH@@gHu@@\c\D@pQTV@@X]kA@dfvG@`^c@@`~OO@X{[A`swG@hoh@@`O@@@@eA@@@lH@@ @`l@@@@XC@@[|oF@`uVA`^cG@_~Og@X|BCP@slA@BpeK@LPa@A@AmNE@DX]Y@TpxAPG[H@ w|oe@PugB`\gK@S~Os@X{aC@@mPB@@@EN@@p\MA@@VFF@@d[]@@@wJB@@{I@]|j@tszB@ XkL@F~v@|znC`@oxB@B|dS@D`[mAP@LnH@AhZj@DpqGC@@cON@b|@PwCphO@@@AS@@ 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