Ex. 3 - \thepage } %} \input{tcilatex} \begin{document} \section{Ma 681} \vspace{1pt} \section{Exercises for Lecture 3} \vspace{1pt} \vspace{1pt} 1. Consider the set $S=\{z$ $|$ $\ \left| z+4\right| \geq \left| z-i\right| \}.$ Is $S$ open? What are the boundary points of $S?$ \vspace{1pt} \vspace{1pt}S is not open since it contains points which are not internal points. \vspace{1pt}The boundary points of S is the set $T=\{z$ $|$ $\ \left| z+4\right| =\left| z-i\right| \}=\{z=x+iy|(x+4)^{2}+y^{2}=x^{2}+(y-1)^{2}\}$ $=\{x+iy|x^{2}+8x+16+y^{2}=x^{2}+y^{2}-2y+1\}=\{x+iy|8x+16=-2y+1\}=\{x+iy|y=% \frac{-15}{2}-4x\}$ \vspace{1pt} $y=-4x-\dfrac{15}{2}$\FRAME{dtbpF}{3in}{2in}{0in}{}{}{Plot}{\special% {language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3in;height 2in;depth 0in;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;function \TEXUX{$-4x-\dfrac{15}{2}$};linecolor "Black";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "Point";xmin "-5";xmax "5";xviewmin "-5";xviewmax "5";yviewmin "-28.3";yviewmax "13.316";phi 45;theta 45;plottype 4;numpoints 49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};valid_file "T";tempfilename 'FIS55703.wmf';tempfile-properties "XPR";}}\vspace{1pt} 2. Let $K=\{ni|$ $n$ is an integer$\}.$ Prove that $K$ is closed. \vspace{1pt} \vspace{1pt}$K=\{...,-2i,-i,0,i,2i,...\}$has no limit points since any deleted $\epsilon =0.5$ neighborhood has no point in K. Thus $K$ is vacuously closed because it contains all its limit points. There are no limit points, so $K$ contains all of them. \vspace{1pt} 3. Let $W=\{1/n|$ where $n$ is any nonzero integer$\}$. Find all limit points of $W.$ Is $W$ closed? Is $W$ open? \vspace{1pt} \vspace{1pt}The limit point of $W$ is $0$. W is not closed since $0$ is not in $W$. $W$ is not open since all its points are not internal points. In fact, none of its points are internal points. \vspace{1pt} 4. Let $S$ be a set of complex numbers. Prove that $S$ is closed $% \Leftrightarrow $ $S$ contains all of its boundary points. \vspace{1pt} \vspace{1pt}$[\Longrightarrow ]$ Let $S$ be a closed set of complex numbers. Let $z$ be any boundary point of $S$. Assume $z$ is not an element of $S$. Every $\varepsilon -$neighborhood around $z$ contains a point in $S$. Take $% \varepsilon =\dfrac{1}{n},$ for $n=1,2,...$ and pick a point $z_{n}$ in each neighborhood. All of these points are distinct since $z_{n}\in S$ while $z$ is not. $\{z_{n}\}$ approaches $z$. Therefore $z$ is a limit point of $S$. Since $S$ is closed and contains all of its limit point, $z\in S.$ $% \Longrightarrow \Longleftarrow .$ Our original assumption that $z$ is not in $S$ is wrong. Therefore $S$ contains all its limit point. \vspace{1pt} \vspace{1pt} $[\Longleftarrow ]$ Let $S$ be a set of complex numbers that contains all of its boundary points. Let $z$ be a limit point of $S$. By number $5$, $z$ is either a boundary point or an interior point. If it is an interior point then $z\in S.$ If z is a boundary point than by the assumption $z\in S.$ Thus $S$ contains all of its limit points. $S$ is closed. \vspace{1pt}5. Let $z$ be a number in a set $S$ of complex numbers. Prove that $z$ is either a boundary point of $S$ or an interior point of $S.$ \vspace{1pt} \vspace{1pt}Let z be a number in S. If z is an interior point of S we are done. If not, then there is no $\varepsilon -neighborhood$ of z that is included in S. This means that every $\varepsilon -neighborhood$ of z contains a point outside of S. And z is included in that $\varepsilon -neighborhood.$ Thus z is a boundary point since every $\varepsilon -neighborhood$ of z contains a point of S and a point not in S. \vspace{1pt} 6. Prove the Cauchy convergence criterion. \vspace{1pt} $\lbrack \Longrightarrow \rbrack $ Assume $\{a_{n}\}$ converges to a limit $L$. Given an $\varepsilon >0$ there exists an integer $M$ such that $|a_{n}-l|<\frac{\varepsilon }{2}$ for $n>M$. For all $n,m>\ M$ $|a_{n}-a_{m}|=|a_{n}-l+l-a_{m}|\leq |a_{n}-l|+|l-a_{m}|<\varepsilon .$ \vspace{1pt} \vspace{1pt} $\lbrack \Longleftarrow \rbrack $ Assume the following holds: Given $\epsilon $ $>0$ $\exists $ an integer $N>0$ such that $|z_{m}-z_{n}|<$% \ $\varepsilon $ $\forall $ $m,n>\ N$. \vspace{1pt} Given $\epsilon $ $>0$ . The set $\{z_{n}\}$ is bounded: since $|z_{m}-z_{n}|<\ \varepsilon $ $% \forall $ $m,n>\ N$ \ implies that the restricted set $\{z_{n}\}$ for $n>\ N$% \ is bounded. And adding a finite number of point to a bounded set gives us another bounded set, i.e., we add $z_{1,}z_{2,}...,z_{N-1}.$ Thus the original $\{z_{n}\}$ set is bounded. \vspace{1pt} By B-W, this set has a limit point, call it $L$. This means that there is a subsequence, $\{z_{n_{k}}\},$ that converges to L. There is an integer $M$ such that $|z_{n_{k}}-L|<\epsilon $ for $n_{k}>M.$ \vspace{1pt} $|z_{k}-L|\leq |z_{k}-z_{n_{k}}|+|z_{n_{k}}-L|<2\epsilon $ for $k>\stackrel{-% }{N}=\max \{N,M\}.$ \vspace{1pt} 7. Find all limit points of the following sequences: $a)$ $z_{n}=1+(-1)^{n}\frac{n}{n+1}\qquad b)$ $z_{n}=1+i^{n}\frac{n}{n+1}$ \vspace{1pt} \vspace{1pt}a)$\{\frac{1}{2},\frac{5}{6},\frac{1}{4},\frac{9}{5},\frac{1}{6},% \frac{13}{7},...\},$the limit points are $0$ and $2$. \vspace{1pt} b)$\{1+\frac{i}{2},\frac{1}{3},1-\frac{3}{4}i,\frac{9}{5},1+\frac{5}{6}i,% \frac{1}{7},1-\frac{7}{8}i,\frac{17}{9},...\}.$ The limit points are $% \{0,2,1+i,1-i\}$. 8. Evaluate $\lim_{z\rightarrow 2e^{\frac{\pi i}{3}}}\frac{z^{3}+8}{% z^{4}+4z^{2}+16}.$ \vspace{1pt} \vspace{1pt}$\lim_{z\rightarrow 2e^{\frac{\pi i}{3}}}\dfrac{z^{3}+8}{% z^{4}+4z^{2}+16}=\allowbreak \lim_{z\rightarrow 2e^{\frac{\pi i}{3}}}\dfrac{% (z+2)(z-1\pm i\sqrt{3})}{(z+1\pm i\sqrt{3})(z-1\pm i\sqrt{3})}=\allowbreak \lim_{z\rightarrow 2e^{\frac{\pi i}{3}}}\dfrac{(z+2)}{(z+1\pm i\sqrt{3})}=% \dfrac{(2e^{\frac{\pi i}{3}}+2)}{(2e^{\frac{\pi i}{3}}+1\pm i\sqrt{3})}=$ $=\dfrac{2(\cos \dfrac{\pi }{3}+i\sin \dfrac{\pi }{3}+\cos 0)}{2(\cos \dfrac{% \pi }{3}+i\sin \dfrac{\pi }{3})+(\cos \dfrac{\pi }{3}+i\sin \dfrac{\pi }{3})}% =\dfrac{2(\cos \dfrac{\pi }{3}+i\sin \dfrac{\pi }{3})+1}{3(\cos \dfrac{\pi }{% 3}+i\sin \dfrac{\pi }{3})}=\dfrac{3\pm i2\sqrt{3}}{3\pm i3\sqrt{3}}% =\allowbreak -\frac{1}{8}i\sqrt{3}+\frac{3}{8}$ \vspace{1pt}$z^{4}+4z^{2}+16$, roots: $ \begin{array}{c} 1-i\sqrt{3} \\ 1+i\sqrt{3} \\ -1+i\sqrt{3} \\ -1-i\sqrt{3}% \end{array} ,$ $z^{3}+8$, roots: $ \begin{array}{c} -2 \\ 1-i\sqrt{3} \\ 1+i\sqrt{3}% \end{array} $ 9. Prove that $\lim_{z\rightarrow 0}\dfrac{\bar{z}}{z}$ does not exist. \vspace{1pt} \vspace{1pt}Approach $0$ along the $x$-axis where $y=0$. $\lim_{z\rightarrow 0}\frac{\bar{z}}{z}=$\vspace{1pt}$\lim_{z\rightarrow 0}\frac{a+bi}{a-bi}% =\lim_{z\rightarrow 0}\frac{a}{a}=1.$ Approach $0$ along the $y$-axis where $x=0$. $\lim_{z\rightarrow 0}\frac{% \bar{z}}{z}=$\vspace{1pt}$\lim_{z\rightarrow 0}\frac{a+bi}{a-bi}% =\lim_{z\rightarrow 0}\frac{bi}{-bi}=-1.$ \vspace{1pt} Since these values different $\lim_{z\rightarrow 0}\frac{\bar{z}}{z}$ does not exist. \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/ex3_sol.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/FIS55703.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% WwlqZB@@@@@@@P\GXOA{I@@@@@@miI@@I@@@C@JC@@`A@t_@@@@@@t_@@@p}@@p@|C@@@@@@@B@ @@@@`@@@`@B@@@@@`@@H@@B@@@BH@@CLp@|qG_@PLqDC@FYdQ@tUW]A@dPBI@Yg]v@D_|qCPO@@ @@aA@@@XH@@@Pk@@@@UC@@@|FZ@py`C@kEV@|o_|ApfNJ@G]s@lsD@@pW[@@@ENR@@pzJA 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