\hfill \thepage} %} \newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement} \newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm} \newtheorem{case}[theorem]{Case} \newtheorem{claim}[theorem]{Claim} \newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion} \newtheorem{condition}[theorem]{Condition} \newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion} \newtheorem{notation}[theorem]{Notation} \newtheorem{problem}[theorem]{Problem} \newtheorem{solution}[theorem]{Solution} \newtheorem{summary}[theorem]{Summary} \newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}} \input{tcilatex} \begin{document} \section{Ma 115 Lecture 10/13/99} \section{Related Rates} {\Large Whenever two quantities} vary with time and are related, the rate of change of one quantity affects the rate of change of the other. For example, the sentence ``\textit{Bond prices slumped yesterday amid concern that oil prices may rise and help rekindle inflationary pressures}^{\prime% \prime}indicates that bond prices are related to inflation and that a positive rate of change in inflation causes a negative rate of change in bond prices. This statement reveals a relation between the price of oil and the rate of inflation. \ This is the kind of problem we solve now. \vspace{1pt}\QTR{bluebig}{Related rates} is the general term given to problems where the rate of one object influences the rate of another. \begin{example} A gondolier propels his boat with a pole. If he uses an 18 foot pole in 6 feet of water and pushes the pole at the rate of 2 feet per second, at what rate is the gondola moving along the surface of the water when 6 feet of the pole is out of the water? \end{example} \noindent \emph{Solution}~~Considering the figure below, we see that we wish to calculate $\dfrac{dy}{dt}$. \begin{center} \vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{3.8761in}{1.945in}{0pt}{}{}{gondola.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 3.8761in;height 1.945in;depth 0pt;original-width 270.625pt;original-height 134.875pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename '/document/graphics/gondola.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} The rate $\dfrac{dx}{dt}=2$ is given. We are to find $\dfrac{dy}{dt}$ when $% x=12$. Using the \CustomNote[\underline{Pythagorean Theorem}]{Margin Hint}{% {} \par \begin{tabular}{l} Pythagorean Theorem \\ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$% \end{tabular} \FRAME{itbpF}{1.343in}{1.4364in}{0.5518in}{}{}{pythag.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 1.343in;height 1.4364in;depth 0.5518in;original-width 0pt;original-height 0pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename '/document/graphics/pythag.wmf';file-properties "XNPEU";}}}, we have the relationship \begin{equation*} 36+y^{2}=x^{2} \end{equation*}% Differentiate both sides with respect to $t$, using the Chain Rule, to find \begin{equation*} 2y\frac{dy}{dt}=2x\frac{dx}{dt} \end{equation*}% Substitute $x=12$ and $dx/dt=2$ to find \begin{equation*} 2y\frac{dy}{dt}=48 \end{equation*}% To find the $dy/dt$ we must finally calculate $y$.\ \ To do this we again consider the figure and see that, when $x=12$, \begin{equation*} 36+y^{2}=144 \end{equation*}% and so $y=6\sqrt{3}$. Therefore, \begin{equation*} \frac{dy}{dt}|_{x=12}=\frac{48}{2y}|_{y=6\sqrt{3}}=\frac{48}{12\sqrt{3}}% \doteq 2.3\text{ ft/sec}\blacksquare \end{equation*} \begin{center} \vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{4.1589in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1589in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename '/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} In the preceding example we used a basic procedure for solving related-rates problems. \ \medskip \subsection{Related Rates --- A Procedure} \paragraph{Procedure for Related Rates Problems\protect\medskip} \begin{enumerate} \item Draw a picture, if possible. \item Identify all variables that change with time $t$, and label the variables in the figure. \item Write an equation that relates the variables identified in step 2. \item Take the derivative, with respect to $t$, of both sides of the equation written in step 3. Remember to use the Chain Rule. \item Substitute known rates and values into the differentiated equation found in step 4. \item Solve for the derivative, which gives the desired rate. \end{enumerate} \FRAME{dtbpF}{4.1589in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1589in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.7183";cropright "1";cropbottom "0.6071";filename '/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \begin{example} A maker of custom jewelry prices his gold jewelry by the following method. The price $P$ of the jewelry is related to the weight of the piece by the equation \begin{equation*} P=g(w^{2}+1)+1000w \end{equation*} where $g$ is the price per ounce of fine gold and $w$ is the weight in ounces. If the price of gold increases at the rate of \$10 per ounce per month, what is the rate of change of the price of a 2 ounce piece of jewelry? (The weight does not change.) \end{example} \noindent \emph{Solution}~~We substitute $w=2$ in the equation to get $% P=5g+2000$, and take the derivative with respect to $t$ of both sides: \begin{equation*} \frac{dP}{dt}=\frac{dg}{dt}\cdot 5 \end{equation*} Substituting $dg/dt=10$, we find that $dP/dt=50$. This result means that the price of the jewelry will rise at the rate of \$50 per month. \ \begin{center} \FRAME{dtbpF}{4.1589in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1589in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename '/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} The following examples are important. \ Read them carefully. \subsection{Related Rates --- Example 1} \begin{example} A circular colony of single-layer cells is growing in a petri dish. (See the figure.) The number $N$ of cells in the colony is proportional to the area $% A $ (in square centimeters) of the colony. \begin{equation*} N=10,000A \end{equation*} If $dN/dt=100$ cells per minute, how fast is the radius of the cell colony increasing when 100,000 cells are present?\FRAME{dtbpF}{2.0193in}{2.2269in}{% 0pt}{}{}{petri.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.0193in;height 2.2269in;depth 0pt;original-width 140.0625pt;original-height 154.625pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename '/document/graphics/petri.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{example} \noindent \emph{Solution}~~We must relate $N$ to the radius $r$. Since $N$ is related to $A$ and $A=\pi r^{2}$, the relationship is \begin{equation*} N=10,000\pi r^{2} \end{equation*}% Differentiating, we have \begin{equation*} \frac{dN}{dt}=20,000\pi r\frac{dr}{dt} \end{equation*}% Now, substituting 100 for $dN/dt$, we have \begin{equation*} \frac{100}{20,000\pi r}=\frac{dr}{dt} \end{equation*}% To find $dr/dt$ we need to know the value of $r$ when $N=100,000$. The equation $N=10,000\pi r^{2}$ can now be used to find $r$ \begin{eqnarray*} 100,000 &=&10,000\pi r^{2} \\ \frac{10}{\pi } &=&r^{2} \\ \sqrt{\frac{10}{\pi }} &=&r \end{eqnarray*}% Finally, then \begin{equation*} \frac{dr}{dt}=\frac{100}{20,000\pi \sqrt{\frac{10}{\pi }}}\doteq 0.00089 \end{equation*} \FRAME{dtbpF}{4.1589in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1589in;height 0.0761in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.864";cropright "1";cropbottom "0.6862";filename '/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \subsection{Related Rates --- Example 2} \begin{center} \FRAME{dtbpF}{4.1589in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1589in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename '/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \begin{example} A point is moving on the graph of $xy=12$, $x<0$, in such a way that the $x$% -coordinate is moving to the left at the rate of 2 units per second. When the point is at $(-3,-4)$, what is the rate of change of the $y$-coordinate?% \FRAME{dtbpF}{3.2136in}{2.1387in}{0pt}{}{}{hyperbola.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 3.2136in;height 2.1387in;depth 0pt;original-width 225.25pt;original-height 148.5pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename '/document/graphics/hyperbola.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{example} \noindent \emph{Solution}~~The variables are related by the equation $xy=12$% . When we take the derivative of both sides with respect to $t$, we must take care to treat $xy$ as a product of two functions of $t$. Hence, the Product Rule must be used. In this way, \begin{equation*} x\frac{dy}{dt}+y\frac{dx}{dt}=0 \end{equation*} Substitution of the given information, $dx/dt=-2$ ($x$ is moving left---the negative direction), $x=-3$, and $y=-4$, yields \begin{eqnarray*} -3\frac{dy}{dt}+(-4)(-2) &=&0 \\ \frac{dy}{dt} &=&\frac{8}{3} \end{eqnarray*} \FRAME{dtbpF}{4.1589in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1589in;height 0.0761in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.7753";cropright "1";cropbottom "0.7749";filename '/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \subsection{Related Rates --- Example 3} \begin{center} \FRAME{dtbpF}{4.1589in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1589in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename '/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \begin{example} An airplane is climbing at a 45$^{\circ }$ angle at the speed of 300 miles per hour. How fast is the altitude increasing (in miles per hour and feet per second)?\FRAME{dtbpF}{1.8827in}{2.1664in}{0pt}{}{}{jet.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 1.8827in;height 2.1664in;depth 0pt;original-width 134.0625pt;original-height 154.5625pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename '/document/graphics/jet.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{example} \noindent \emph{Solution.}~~From the picture in the figure, we see in the isosceles right triangle that \begin{equation*} 2x^{2}=y^{2} \end{equation*} This equation relates the two variables. We know that $dy/dt=300$. Now we differentiate both sides of the preceding equation with respect to $t$, remembering to use the Chain Rule, to find \begin{equation*} 4x\frac{dx}{dt}=2y\frac{dy}{dt} \end{equation*} Form our original picture, $y=\sqrt{2}\,x$, so we have $y/x=\sqrt{2}$. Thus, the previous equation leads to \begin{eqnarray*} \frac{4}{2}\cdot \frac{dx}{dt} &=&\frac{y}{x}\cdot \frac{dy}{dt} \\ 2\frac{dx}{dt} &=&\sqrt{2}\,\frac{dy}{dt} \end{eqnarray*} To determine the rate of change in the altitude, we need to find $dx/dt$. The equation gives us \begin{equation*} \frac{dx}{dt}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{dy}{dt} \end{equation*} Substituting $dy/dt=300$, we find \begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 300 &\doteq &212\text{ \ mi/h} \\ &\doteq &311\text{ ft/s} \end{eqnarray*} $\hfill \blacksquare$ \begin{example} Work the same example with the airplane descending at a 45$^{\circ }$ angle at 300 miles per hour. \end{example} \noindent \emph{Solution}~~The solution would be the same, except in this case $dy/dt$ is negative: \begin{equation*} \frac{dy}{dt}=-300 \end{equation*}% When this quantity is substituted, we find \begin{equation*} \frac{dx}{dt}\doteq -212\;\text{mi/h}\doteq -311\;\text{ft/s} \end{equation*} \section{Curve Sketching} {\Large In every conceivable} application involving a function, an accurate visual description of it is most desirable. Remarkably, the use of derivatives can help achieve this. Once a function can be graphed, it becomes possible to solve a variety of optimization problems, such as finding minimum inventory cost or maximum profit. \begin{center} \FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename '/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \subsection{Curve Sketching --- The basic features of a graph} \vspace{1pt} \paragraph{The graph below shows most of the graphical features of a function we will study in this course.} \begin{center} \begin{tabular}{|l|l|} \hline \emph{Important points} & \emph{Location(s)} \\ \hline\hline $x$-Intercepts: & $x_{1},\;x_{6}$ \\ \hline Relative Maximum & $x_{2},\;x_{7}$ \\ \hline Relative Minimum & $x_{4}$ \\ \hline Inflection Points & $x_{3},x_{8}$ \\ \hline Asymptotes & $x_{5}$ \\ \hline \end{tabular} \FRAME{itbpF}{2.7259in}{1.9441in}{0.8077in}{}{\Qlb{A function with all the features}}{intro.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.7259in;height 1.9441in;depth 0.8077in;original-width 197.8125pt;original-height 140.5625pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename '/document/graphics/intro.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \textsl{Corners} and \textsl{jumps} do occur --- even in nature. \textsl{\ }% The graph below shows two corners and two jumps. At these points the derivativee doesn't exist.\FRAME{dtbpF}{2.3713in}{1.5402in}{0pt}{}{}{% ajumps_corners.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.3713in;height 1.5402in;depth 0pt;original-width 2.2623in;original-height 1.4589in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename '/document/graphics/ajumps_corners.wmf';file-properties "XNPEU";}} \textsl{Understanding symmetries} can be helpful information for graphing functions. \ Two types are important: \vspace{1pt} \begin{center} \emph{Symmetry with respect to the }$y$\emph{-axis: \ }$f(-x)=f\left( x\right) $ \end{center} \vspace{1pt} \begin{center} \emph{Symmetry with respect to the origin: \ }$f(-x)=-f\left( x\right) $ \vspace{0in} \end{center} \begin{enumerate} \item First, the points $(x_{1},0)$ and $(x_{6},0)$ are called $x$-\emph{% intercepts\/}, and the point $(0,f(0))$ is called a $y$-\emph{intercept\/}. To find $x$-intercepts it is necessary to solve the equation $f(x)=0$ for $x$% . \ \ \ \end{enumerate} \FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.6629";cropright "1";cropbottom "0.6625";filename '/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \begin{enumerate} \item[2.] The next important features that can be identified are the points $% (x_{2},\,f(x_{2}))$, $(x_{7},\,f(x_{7}))$, and $(x_{4},\,f(x_{4}))$. It is easy to see that, as $x$ runs from left to right, the function stops \emph{% increasing} and starts \emph{decreasing} at $(x_{2},\,f(x_{2}))$ and again at $(x_{7},\,f(x_{7}))$. Such points are called \emph{relative maximum points\/}. Similarly, $(x_{4},\,f(x_{4}))$ is called a \emph{relative minimum point\/}, where the function changes from decreasing to increasing. The function $y=f\,(x)$, at each of these points, can be recognized to have horizontal tangent lines; that is, $f\,^{\prime }(x_{2})=0$, $f\,^{\prime }(x_{4})=0$, and $f^{\,\prime }(x_{7})=0$. Hence, determining where $% f\,^{\prime }(x)=0$ is important. The word ``\textsl{relative}'' is chosen because the maximum or minimum may only be just that in the vicinity of the point. \ There may be larger or smaller function values at other points (as is the case in the displayed graph). Such points are usually very important in practice.\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.6114";cropright "1";cropbottom "0.6109";filename '/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \item[3.] At ($x_{3},\,f(x_{3}))$ we see that the shape of the graph changes from being \emph{concave down} to \emph{concave up}. To the left $x_{3}$, the graph is concave down, and to the right (up to $x_{5}$) it is concave up. The shape, or \emph{concavity\/}, in this context can be determined from the second derivative $f\,^{\prime \prime }(x)$. The points where the concavity changes, such as $(x_{3},f(x_{3}))$, are called \emph{inflection points\/}. Another inflection point is $(x_{8},f(x_{8}))$. \ (Why?) The concept\ of concavity is used daily. \ \end{enumerate} \begin{itemize} \item Whenever, you judge when the car in front of you will stop, you are using the ``shape'' of it's position function, i.e. it's second derivative.. \ \item When you decide where the tennis ball will land. \item When you hear that the \textsl{crime rate} is going up or down, you are getting information the second derivative of the function counting the number of crimes . \end{itemize} Concavity is more subtle than just up or down, but it is very, very useful.% \FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.5282";cropright "1";cropbottom "0.5277";filename '/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \begin{enumerate} \item[4.] Another important feature to describe the graph is:\ What happens to $f(x)$ as $x$ approaches $x_{5}$? Notice that, as $x$ approaches $x_{5}$ from the left, $f(x)$ approaches $\infty $. When this happens the vertical line $% x=x_{5}$ is called a \emph{vertical asymptote\/} of $f(x)$. Similarly, as $x$ approaches $x_{5}$ from the right, $f(x)$ approaches $-\infty $. \ Again, $% x=x_{5}$ is called a vertical asymptote of $f(x)$. Finally notice that as $x$ approaches $\infty ,f(x)$ approaches 0. The line $y=0$ is called a \emph{% horizontal asymptote\/} of the function. Roughly speaking, if the graph of the function approaches some line, this line is called an asymptote. \end{enumerate} \FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename '/document/graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/lec_10_13_99.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/graphics/gondola.wmf %%%%%%%%%%%%%%%% WwlqZB@@rZ_`ChsAMm@zC@@@@@PomF@@I@@@C@x`@@pG@xlA@@@@@P@@@@p@A`@@E@@@@l`@@@@ @@T@@@@@CBD@@A@@A@@@@CD@B@T@@@@pBB@@@@@PA@@@@LHP@@D@@E@@@@p`@xuA`~T@@@@pBB@ @@@@@A@@@@FDP@@\@@@@@B@@@oY@@@@D@@@@tR@@@PB@@@@zKPA@@@@@@pO@b@@A@@@@m DP@@P@@@@`AAD@@FD@@@Pr@AB@mc|GCTTrOL@gIDp`qg@}BXdBhKLfJvm@jkDuBgsbLKxaKXl`S oLpBuAC}JTYLikpjrPnBxNCyJlKMjk@muPoBcZs@KXxMWl`WxDsBjdsSKh^Nrm@gzhyBBmsqKh} NyopX||BC_ssZLlTOjrpi}|NCtwCNMDcOFv@W~d]CwyCLN@hOKzp]~hnC\ysRODcOn~@}}LADgv S^PlTOaCqw|hTDcqslQh}N^HaP{dhD\jC}Rh^N_MaJyl|D^acMTXxM`RqhvhPEtVs\UlKM[WAns HdEkJCjVTYLL\Q]ptvEN}RsWxaKk`qylXHFhnrwXLfJudAFi\XFF_ruY@gIchAEepfFtNBlZPeH pkA~`lrFb~AX[@eGOnQA]d{F@oaw[DhF}oaRY\AGZ`AK\LoE|pqtUXDG}RqR\@{DKqQkRXDGtFq N\TLDlpaxO`AGJ|p[xcC`oa_Mt{FLsPe[XBChmacKXsFEl@@[dhBEkQGJThFAg@PZPWBwgqMId ZFLd`UYDOBcAzHPJFqcPQXpPBd_qMIDxEte@GWD\BvZQGJxdEIj`yUTpB|UacKHQEfppiTpLC{ Pa_M@}D~xPYShpCzKaxO|hDECQIRP[D|FQkRPUDpNQ{PtKEGBqtUPBDs[apOhAFb}`RYPpCAjQj N@|FPyPA]l_CPyAjMHzGXu@~`pPCTIBqLP{HqPB@@@@zK@@@@@@@@@@@@@@b@@A@@@@mD`@@\@ @@@@B@@@@@@@D@@@@tR@C@@A@@@@pG@@@P@@@@PKAL@@D@@@@tR@A@@A@@@@FDP@@XX@@@ @ICDL@wbZJ\FLCj@uptiB}DCnJHZLTk@ArDoBbIsCKtkLnl@EsttBgMc[K\{LOnp@tD{BLQstK HIMwopttlACRTsOLtTMdq@auhHCxVClL`^MWsPEvxOCXSIMTfMMupavTWCgZSgMHlMFwpvv|^C p[CFNDpMAy@DwhfC[\sdNHrM}z`IwXnCg\cGO@rMV}pDwxxC@\cqO\nM~pqvTCDaZS[PTgMdBa 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