%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Scientific Word Wrap/Unwrap Version 2.5 % % Scientific Word Wrap/Unwrap Version 3.0 % % % % If you are separating the files in this message by hand, you will % % need to identify the file type and place it in the appropriate % % directory. The possible types are: Document, DocAssoc, Other, % % Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files % % tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file % % directory. Macro files go into your TeX macros directory. Style % % files are used by Scientific Word and do not need to be extracted. % % Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a % % graphics directory. % % % % Graphic files need to be converted from the text format (this is % % done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Files included: % % % % "/document/lec_10_27_99.tex", Document, 51491, 11/3/1999, 22:00:54, ""% % "/document/graphics/maroon.wmf", ImportPict, 4444, 11/10/1998, 13:11:48, ""% % "/document/graphics/inflectiona.wmf", ImportPict, 9236, 8/6/1998, 2:38:10, ""% % "/document/graphics/inflectionb.wmf", ImportPict, 9092, 8/6/1998, 2:41:00, ""% % "/document/graphics/inflectionc.wmf", ImportPict, 7174, 8/6/1998, 4:28:18, ""% % "/document/graphics/inflectiond.wmf", ImportPict, 6758, 8/6/1998, 2:50:24, ""% % "/document/sphere_cone.jpg", ImportPict, 8459, 10/22/1999, 19:19:36, ""% % "/document/graphics/diagram.wmf", ImportPict, 127454, 11/9/1998, 12:32:44, ""% % "/document/graphics/thckline.gif", ImportPict, 4535, 12/14/1997, 1:02:02, ""% % "/document/graphics/graph1.wmf", ImportPict, 9044, 8/10/1998, 23:41:12, ""% % "/document/graphics/graph2.wmf", ImportPict, 9694, 8/10/1998, 23:49:42, ""% % "/document/graphics/garden.wmf", ImportPict, 49304, 8/13/1998, 0:52:22, ""% % "/document/graphics/graph3.wmf", ImportPict, 10342, 8/10/1998, 23:59:54, ""% % "/document/graphics/wire_cut.wmf", ImportPict, 35700, 8/13/1998, 0:48:48, ""% % "/document/graphics/equilateral.wmf", ImportPict, 48254, 8/12/1998, 1:10:06, ""% % "/document/graphics/graph5.wmf", ImportPict, 17610, 8/11/1998, 0:20:40, ""% % "/document/graphics/coral.wmf", ImportPict, 23558, 8/12/1998, 1:13:24, ""% % "/document/graphics/graph4.wmf", ImportPict, 11070, 8/11/1998, 0:07:52, ""% % "/document/graphics/tincan.wmf", ImportPict, 9624, 8/13/1998, 0:46:32, ""% % "/document/graphics/s38tincan.wmf", ImportPict, 14796, 8/11/1998, 0:32:14, ""% % "/document/graphics/branching.wmf", ImportPict, 8592, 8/13/1998, 1:05:58, ""% % "/document/graphics/situp2.wmf", ImportPict, 20292, 8/13/1998, 14:20:52, ""% % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/lec_10_27_99.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%% %% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.0 \documentclass[12pt,thmsa]{article} \usepackage{amssymb} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{sw20jart} %TCIDATA{TCIstyle=article/art4.lat,jart,sw20jart} %TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL} %TCIDATA{Created=Mon Aug 19 14:52:24 1996} %TCIDATA{LastRevised=Wednesday, November 03, 1999 17:00:53} %TCIDATA{} %TCIDATA{Language=American English} %TCIDATA{CSTFile=webmath.cst} %TCIDATA{PageSetup=72,72,72,72,0} %TCIDATA{Counters=arabic,1} %TCIDATA{AllPages= %H=36,\PARA{038

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } %F=36,\PARA{038

\hfill } %} \input{tcilatex} \begin{document} \section{\protect\vspace{0in}Ma 115 Lecture 10/27/99} {\Large \ } \subsection{Concavity (Continued)} \subsection{\protect\vspace{1pt}Inflection Points} \begin{definition} If the concavity of $f(x)$ changes sign at the value $x=a$ from up to down or from down to up, and if $f(x)$ is continuously differentiable at $x=a$, then the point $(a,f(a))$ is called an \emph{inflection point\/} of (the graph of) $f(x)$. \end{definition} \begin{center} \vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \textsl{Normal case.} In both graphs below, the point $(a,f(a))$ is an inflection point. Note that the tangent line at the inflection point $% (a,f(a))$ crosses the curve. \begin{center} \FRAME{itbpF}{2.3341in}{1.8317in}{0in}{}{}{inflectiona.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.3341in;height 1.8317in;depth 0in;original-width 160.875pt;original-height 125.875pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/inflectiona.wmf';file-properties "XNPEU";}}\FRAME{itbpF}{2.3324in}{% 1.8317in}{0in}{}{}{inflectionb.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.3324in;height 1.8317in;depth 0in;original-width 160.75pt;original-height 125.875pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/inflectionb.wmf';file-properties "XNPEU";}} \vspace{0in}Inflection point at $x=a$ \FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "1.164";cropright "1";cropbottom "0.3862";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \textsl{Abnormal case. }In the two figures below there is no inflection point, although the concavity changes at $x=a$. \begin{center} \FRAME{itbpF}{2.2329in}{1.8317in}{0in}{}{}{inflectionc.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.2329in;height 1.8317in;depth 0in;original-width 153.75pt;original-height 125.875pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/inflectionc.wmf';file-properties "XNPEU";}}\FRAME{itbpF}{2.2329in}{% 1.8317in}{0in}{}{}{inflectiond.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.2329in;height 1.8317in;depth 0in;original-width 153.75pt;original-height 125.875pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/inflectiond.wmf';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt}No inflection point at $x=a$ \FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.7183";cropright "1";cropbottom "0.6071";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} From the Second Derivative Test 2, notice that the concavity of $f(x)$ changes if $f^{\prime \prime }(x)$ changes sign. Hence: \begin{quotation} To locate inflection points of the differentiable function $f(x)$, solve the equation \[ f^{\prime \prime }(x)=0 \] If $f^{\prime \prime }(a)=0$, then the point $(a,f(a))$ is possibly, but not necessarily, an inflection point of $f(x)$. \end{quotation} \FRAME{dtbpF}{5.2096in}{0.0761in}{0pt}{}{}{thckline.gif}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 5.2096in;height 0.0761in;depth 0pt;original-width 361.375pt;original-height 0.625pt;cropleft "0";croptop "0.9128";cropright "1";cropbottom "0.6399";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \begin{example} Locate the inflection points of the function $f(x)=x^{3}$. \end{example} \noindent \emph{Solution}~~We find the second derivative \[ f^{\prime }(x)=3x^{2}\text{,}\quad f^{\prime \prime }(x)=6x \] Hence, the solution of the equation $f^{\prime \prime }(x)=6x=0$ is $x=0$, so that $(0,f(0))=(0,0)$ is a possible inflection point. Since $f^{\prime \prime }(x)=6x<0$ if $x<0$, and $f^{\prime \prime }(x)=6x>0$ if $x>0$, the concavity changes at $x=0$. Therefore, $(0,0)$ is, in fact, an inflection point.$\hfill $ \begin{center} \FRAME{dtbpFU}{2.6316in}{1.7547in}{0pt}{\Qcb{$y=x^{3}$}}{}{}{% \special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 2.6316in;height 1.7547in;depth 0pt;display "PICT";function \TEXUX{$x^{3}$};linecolor "red";linestyle 1;linethickness 2;pointstyle "point";function \TEXUX{$\MATRIX{2,2}{c}\VR{,,l,,,}{,,l,,,}{,,,,,}\HR{,,}\CELL{0}\CELL{0}% \CELL{0}\CELL{0}$};linecolor "blue";linestyle 1;linethickness 3;pointstyle "point";xmin "-2";xmax "2";xviewmin "-2";xviewmax "2";yviewmin "-9";yviewmax "9";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;plotticks 1;num-x-ticks 5;num-y-ticks 9;labeloverrides 3;x-label "x";y-label "y";numpoints 49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};}} \vspace{0in}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "1.164";cropright "1";cropbottom "0.3862";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt}{\Large \ } \subsection{\protect\vspace{1pt}Inflection Points --- Example} \vspace{1pt} \begin{example} \vspace{1pt}Does $f(x)=x^{4}$ have any inflection points? \end{example} \noindent \emph{Solution}~~We have $f^{\prime \prime }(x)=12x^{2}$. Therefore, the equation $f^{\prime \prime }(x)=0$ has only one solution: \ $% x=0$. But $(0,f(0))=(0,0)$ is \emph{not\/} an inflection point since $% f^{\prime \prime }(x)=12x^{2}>0$ if $x\neq 0$, so that the concavity never changes. Hence, $f(x)=x^{4}$ has no inflection point.$\hfill $ \begin{center} \vspace{0in}\FRAME{itbpFU}{3in}{2.0003in}{0in}{\Qcb{$y=x^{4}$}}{}{}{% \special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3in;height 2.0003in;depth 0in;display "PICT";function \TEXUX{$x^{4}$};linecolor "red";linestyle 1;linethickness 2;pointstyle "point";xmin "-2";xmax "2";xviewmin "-2.000000";xviewmax "2.000000";yviewmin "-1";yviewmax "12";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;plotticks 1;num-x-ticks 4;num-y-ticks 4;labeloverrides 3;x-label "X";y-label "Y";numpoints 49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};}} \vspace{0in}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "1.164";cropright "1";cropbottom "0.3862";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \begin{example} Find the inflection points of $f\left( x\right) =\sin x-\cos x.$ \end{example} \emph{Solution.} First we differentiate to obtain $f^{\prime }\left( x\right) =\allowbreak \cos x+\sin x\ $ and $f^{\prime \prime }\left( x\right) =\allowbreak -\sin x+\cos x$. \ Now solve $f^{\prime \prime }\left( x\right) =0$% \begin{eqnarray*} -\sin x+\cos x &=&0 \\ \sin x &=&\cos x \\ \tan x &=&1 \\ x &=&\dfrac{\pi }{4},\dfrac{5\pi }{4},\dfrac{9\pi }{4},...\;\text{and} \\ x &=&-\dfrac{3\pi }{4},-\dfrac{7\pi }{4},-\dfrac{11\pi }{4} \end{eqnarray*}% As we know the $\tan x$ function is increasing at all points where it is defined, all these points must be inflections points. (There is an infinity of them.) \begin{center} \FRAME{itbpFU}{2.7259in}{1.5324in}{0in}{\Qcb{Many inflection points for $% \sin x-\cos x$}}{}{}{\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 2.7259in;height 1.5324in;depth 0in;display "PICT";function \TEXUX{$\sin x-\cos x$};linecolor "red";linestyle 1;linethickness 2;pointstyle "point";function \TEXUX{$\MATRIX{2,2}{c}\VR{,,l,,,}{,,l,,,}{,,,,,}\HR{,,}\CELL{\dfrac{\pi }{4}}\CELL{0}\CELL{\dfrac{\pi }{4}}\CELL{0}$};linecolor "blue";linestyle 1;linethickness 3;pointstyle "point";function \TEXUX{$\MATRIX{2,2}{c}\VR{,,l,,,}{,,l,,,}{,,,,,}\HR{,,}\CELL{\dfrac{5\pi }{4}}\CELL{0}\CELL{\dfrac{5\pi }{4}}\CELL{0}$};linecolor "blue";linestyle 1;linethickness 3;pointstyle "point";function \TEXUX{$\MATRIX{2,2}{c}\VR{,,l,,,}{,,l,,,}{,,,,,}\HR{,,}\CELL{\dfrac{9\pi }{4}}\CELL{0}\CELL{\dfrac{9\pi }{4}}\CELL{0}$};linecolor "blue";linestyle 1;linethickness 3;pointstyle "point";function \TEXUX{$\MATRIX{2,2}{c}\VR{,,l,,,}{,,l,,,}{,,,,,}\HR{,,}\CELL{-\dfrac{3\pi }{4}}\CELL{0}\CELL{-\dfrac{3\pi }{4}}\CELL{0}$};linecolor "blue";linestyle 1;linethickness 3;pointstyle "point";function \TEXUX{$\MATRIX{2,2}{c}\VR{,,l,,,}{,,l,,,}{,,,,,}\HR{,,}\CELL{\dfrac{-7\pi }{4}}\CELL{0}\CELL{\dfrac{-7\pi }{4}}\CELL{0}$};linecolor "blue";linestyle 1;linethickness 3;pointstyle "point";xmin "-10";xmax "10";xviewmin "-10";xviewmax "10";yviewmin "-5";yviewmax "5";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;numpoints 49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};}}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{% maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt}{\Large \ } \subsection{\protect\vspace{1pt}Inflection Points --- Example} \vspace{1pt} \begin{example} Find the inflection point of the function $f(x)=x^{3}-2x^{2}+x+1$. \end{example} \noindent \emph{Solution}~~Recall, $f^{\prime }\left( x\right) =\allowbreak 3x^{2}-4x+1$ and $f^{\prime \prime }\left( x\right) =\allowbreak 6x-4.$ Thus,\ $f^{\prime \prime }(x)=6\left( x-\dfrac{2}{3}\right) $, so that $x=% \dfrac{2}{3}$ is a solution of the equation $f^{\prime \prime }(x)=0$. Since $f^{\prime \prime }(x)$ is positive for $x>\dfrac{2}{3}$ and negative for $x<% \dfrac{2}{3}$, the point $\left( \dfrac{2}{3},f\left( \dfrac{2}{3}\right) \right) =\left( \dfrac{2}{3},\dfrac{29}{27}\right) $ is an inflection point. It is the only inflection point, since $f(x)$ is concave up for all $x>\frac{% 2}{3}$ and concave down for all $x<\frac{2}{3}$, so that the concavity does not change at any other value of $x$. \begin{center} \vspace{0in}\FRAME{itbpFU}{2.476in}{1.9277in}{0in}{\Qcb{$y=x^{3}-2x^{2}+x+1$}% }{}{}{\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 2.476in;height 1.9277in;depth 0in;display "PICT";function \TEXUX{$x^{3}-2x^{2}+x+1$};linecolor "red";linestyle 1;linethickness 2;pointstyle "point";function \TEXUX{$\left( 2/3,29/27\right) $};linecolor "black";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "circle";pointplot TRUE;function \TEXUX{$\MATRIX{2,2}{c}\VR{,,l,,,}{,,l,,,}{,,,,,}\HR{,,}\CELL{\dfrac{2}{3}}% \CELL{\dfrac{29}{27}}\CELL{\dfrac{2}{3}}\CELL{\dfrac{29}{27}}$};linecolor "blue";linestyle 1;linethickness 3;pointstyle "point";xmin "-2";xmax "3";xviewmin "-2";xviewmax "3";yviewmin "-15";yviewmax "15";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;plotticks 1;num-x-ticks 5;num-y-ticks 5;numpoints 49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};}} \vspace{0in}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "1.164";cropright "1";cropbottom "0.3862";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \begin{example} Find the inflection points of $f\left( x\right) =e^{2x}-x^{2}$ \end{example} \emph{Solution.} First we differentiate to obtain $f^{\prime }\left( x\right) =\allowbreak 2e^{2x}-2x$ and $f^{\prime \prime }\left( x\right) =\allowbreak 4e^{2x}-2$. \ Now solve $f^{\prime \prime }\left( x\right) =0$% \begin{eqnarray*} \allowbreak 4e^{2x}-2 &=&0 \\ \allowbreak e^{2x} &=&\dfrac{1}{2} \\ x &=&-\frac{1}{2}\ln 2 \end{eqnarray*} \CustomNote[{\fbox{\underline{Do you follow all the steps?}}}]{Margin Hint}{% Let's add two more steps: Using properties of logarithms. \par \begin{eqnarray*} \allowbreak 4e^{2x}-2=0 \\ \allowbreak e^{2x}=\dfrac{1}{2}\; \\ \ln \left( e^{2x}\right) =\ln \dfrac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;:\text{% taking the log of both sides} \\ 2x=\ln \left( \dfrac{1}{2}\right) =-\ln \left( 2\right) \;\ \text{:power rule for logarithms} \\ x=-\dfrac{1}{2}\ln 2 \end{eqnarray*}% } \ Now since $f^{\prime \prime }\left( x\right) $ is an increasing function which is $0$ at $x=-\frac{1}{2}\ln 2,$ it follows that $x=-\frac{1}{2}\ln 2=\allowbreak -.\,\allowbreak 346\,8$ is an inflection point to the graph of $f\left( x\right) $ \ $\allowbreak $ \begin{center} \FRAME{itbpFU}{2.6109in}{1.9346in}{0in}{\Qcb{$e^{2x}-x^{2}$}}{}{}{% \special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 2.6109in;height 1.9346in;depth 0in;display "PICT";function \TEXUX{$e^{2x}-x^{2}$};linecolor "red";linestyle 1;linethickness 2;pointstyle "point";function \TEXUX{$\MATRIX{2,2}{c}\VR{,,l,,,}{,,l,,,}{,,,,,}\HR{,,}\CELL{-.\,% \allowbreak 346\,5}\CELL{\allowbreak .\,\allowbreak 380\,}\CELL{-.\,\allowbreak 346\,5}\CELL{\allowbreak .\,\allowbreak 380\,}$};linecolor "blue";linestyle 1;linethickness 3;pointstyle "point";xmin "-3";xmax "2";xviewmin "-2";xviewmax "1.5";yviewmin "-4";yviewmax "8";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;numpoints 49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};}}% \FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt}{\Large \ } \section{Optimization} \vspace{1pt} \subsection{What is Optimal?} \vspace{1pt} {\Large Intuitively}, the ``optimal'' quantity means the ``best'' quantity. Before the optimum of anything can be found,\smallskip\ what is \emph{best\/} must be carefully specified. Consider the following example.\medskip \begin{example} Pick the best number from the set $\left\{ 3,\;6,\;7,\;10\right\} $. \end{example} \noindent \emph{Solution}~~If, for example, these numbers represented cost per unit of producing a commodity, a manufacturer would choose 3 as best (least cost). On the other hand, if the numbers represented profit per unit of a commodity, a manufacturer would choose 10 as best (maximum profit). A number theorist might choose $7$ as best since it is the largest prime number in the list. The point of this example is to show that ``best''or ``optimal'' depends very much on the point of view. \vspace{1pt} Therefore, we must be very careful about using the word best, or optimal. $\ $The context of the problem will mean everything. $\ $So, \textsl{read carefully! \ } \begin{example} $\vspace{1pt}$What is the volume of the largest cone that can be circumscribed in a sphere of radius $R.$ \end{example} \emph{Solution }The volume of a cone of height $h$ and radius $r$ is given by the formula $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$ We are to maximize this subject to the condition that the cone is inscribed inside the sphere. The diagram below shows a cross-section of what the cone within the sphere looks like. \begin{center} \FRAME{dtbpFU}{3.0294in}{2.7389in}{0pt}{\Qcb{Cone Inscribed in a Sphere}}{}{% sphere_cone.jpg}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0294in;height 2.7389in;depth 0pt;original-width 3.333in;original-height 3.0104in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'sphere_cone.jpg';file-properties "XNPEU";}} \end{center} We desire to find the largest value of $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$ To do this we want to differentiate $V,$ and then set its derivative equal to zero. However, $V$ is a function of the two variables $r$ and $h.$ We shall first express one of these variables in terms of the others. From the diagram we see that $h=x+R$ and $x^{2}+r^{2}=R^{2}.$ Since the formula for the volume has an $r^{2}$ in it, we shall express $r^{2}$ in terms of $x$ and $R.$ Thus \vspace{1pt} \[ V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi \left( R^{2}-x^{2}\right) \left( x+R\right) \] so \[ \dfrac{dV}{dx}=\dfrac{d\left( \dfrac{1}{3}\pi \left( R^{2}-x^{2}\right) \left( x+R\right) \right) }{dx}=-\pi x^{2}-\frac{2}{3}\pi xR+\frac{1}{3}\pi R^{2} \] Setting this derivative equal to zero and solving yields \[ -\pi x^{2}-\frac{2}{3}\pi xR+\frac{1}{3}\pi R^{2}=0 \] \vspace{1pt} Solution is: $\left\{ x=-R\right\} ,\left\{ x=\frac{1}{3}R\right\} $. Clearly we reject the negative value of $x.$ Thus $x=\dfrac{R}{3}$ is a critical point. Since \vspace{1pt}% \[ \dfrac{d^{2}V}{dx^{2}}=\dfrac{d\left( -\pi x^{2}-\frac{2}{3}\pi xR+\frac{1}{3% }\pi R^{2}\right) }{dx}=-2\pi x-\frac{2}{3}\pi R \] \vspace{1pt} we see that for $x=\dfrac{R}{3},$ the second derivative of $V$ is negative so we have a maximum. For this value of $x$ we have that $r^{2}=R^{2}-x^{2}=% \dfrac{8}{9}R^{2},$ and $h=R+x=\dfrac{4}{3}R$ Thus volume of this largest cone is then $V=\dfrac{1}{3}\pi \left( \dfrac{8}{% 9}R^{2}\right) \left( \dfrac{4}{3}R\right) =\allowbreak \frac{32}{81}\pi R^{3}$ \FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.7753";cropright "1";cropbottom "0.7749";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} Below we consider six examples; \underline{study each one}.\medskip \subsection{Examples} \begin{enumerate} \item Mike's Androids. \item Find $x>0$ such that $x+\dfrac{1}{x}$ is smallest. \item How does your garden grow? \item Wire cutters? \item Cattle anyone? \item How to build a tin can. \end{enumerate} \subsection{\protect\vspace{1pt}} \begin{center} \vspace{0in} \FRAME{dtbpF}{4.0802in}{2.8746in}{0pt}{}{}{diagram.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.0802in;height 2.8746in;depth 0pt;original-width 272.125pt;original-height 191.4375pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/diagram.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \subsection{\protect\vspace{1pt}Mike's Androids} Mike's Androids produces a QED model android that solves all calculus problems. Suppose that the total cost of producing $x$ QEDs is $% C(x)=5000+100x+0.09x^{2}$ dollars, and suppose that the total revenue from selling $x$ QEDs is $R(x)=300x-0.01x^{2}$ dollars. How many of these androids should be produced in order to maximize profit (assuming all the androids will sell)? \noindent \emph{Solution}~~In this problem, Mike considers the optimal situation to be the one for which profit will be maximized. One way to find the maximum is to make a table. In the Table~below the columns are (1)~~the number $x$ of androids produced, (2)~~the total revenue, (3)~~the total cost, and (4)~~the profit received. (Remember:\ Profit = Revenue -- Cost.) It appears that profit is a maximum when 1000 QEDs are produced. The maximum profit appears to be \$95,000. \bigskip \begin{center} \textbf{Table } \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{x} & \textbf{Revenue, R(x)} & \textbf{Total Cost, C(x)} & \textbf{% Profit} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{0} & 0 & {5,000.00} & {$-5,000.00$} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{1} & 299.99 & {5,100.09} & {$-4,800.10$} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{} & {Increasing} & Increasing & {Increasing} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{\U{22ee}} & {revenue} & {cost} & {profit} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{999} & 289,719.99 & 194,720.09 & 94,999.90 \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{1000} & 290,000.00 & 195,000.00 & 95,000.00 \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{1001} & 290,279.99 & 195,280.09 & 94,999.90 \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{\U{22ee}} & & & Increasing \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{} & & & profit \\ \hline \end{tabular} \end{center} \FRAME{dtbpF}{5.2096in}{0.0623in}{0pt}{}{}{thckline.gif}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "USEDEF";valid_file "F";width 5.2096in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 361.375pt;original-height 0.625pt;cropleft "0";croptop "0.9835";cropright "1";cropbottom "0.5692";filename 'graphics/thckline.gif';file-properties "XNPEU";}}$\hfill $ This approach to the problem is unsatisfactory for several reasons:\ (1)~~It is downright tedious. Even with high-speed computers to calculate the values, it is tedious (and wasteful). (2)~~We have no assurance that the maximum has actually been found. (3)~~There is a much better way to solve the problem. \vspace{0in}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "1.164";cropright "1";cropbottom "0.3862";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \vspace{0in} \begin{example} Find the maximum value of the function $f(x)=\allowbreak 200x-.\,\allowbreak 1x^{2}-5000$ for $x\geq 0$. Notice that this is the profit function from the Android example above. \end{example} \begin{center} $R\left( x\right) -C\left( x\right) =\allowbreak 200x-.\,\allowbreak 1x^{2}-5000$ \end{center} \noindent \begin{center} \emph{Solution}~~To find the maximum of a function, first find the possible extreme points by solving $f^{\prime }(x)=0$. Thus \[ f^{\prime }(x)=200-0.2x=0 \] gives \[ x=1000 \] Since $f^{\prime \prime }(1000)=-2<0$, the Second Derivative Test 1 gives that $f(1000)$ is a relative maximum. From the graph of this function \FRAME{% dtbpFU}{2.6264in}{1.4961in}{0pt}{\Qcb{$f(x)=\allowbreak 200x-.\,\allowbreak 1x^{2}-5000$}}{}{graph1.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.6264in;height 1.4961in;depth 0pt;original-width 186.8125pt;original-height 105.5625pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/graph1.wmf';file-properties "XNPEU";}}(plot the function) or from the fact that $f\left( x\right) $ is a quadratic with the coefficient of $% x^{2}$ negative, we see that the maximum of this function occurs at $x=1000$% , and $f(1000)=95,000$. $\hfill $ \end{center} \vspace{0in} Also notice that the maximum of 95,000 is the same as guessed from the table. \vspace{0in}\FRAME{dtbpF}{5.2096in}{0.0761in}{0pt}{}{}{thckline.gif}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 5.2096in;height 0.0761in;depth 0pt;original-width 361.375pt;original-height 0.625pt;cropleft "0";croptop "1.0946";cropright "1";cropbottom "0.4581";filename 'graphics/thckline.gif';file-properties "XNPEU";}} \vspace{0in} When the optimal quantity can be realized as the maximum or minimum of a function, \emph{calculus can be applied to help find it.} \ Specifically, \begin{itemize} \item The function $f\,(x)$ above is a mathematical model of the profit function of the android example, \item The greatest profit corresponds to the maximum of $f\,(x)$. \end{itemize} \subsection{\protect\vspace{1pt}Minimize $x+\dfrac{1}{x}$} \begin{example} \vspace{1pt}Find a positive number such that the sum of this number and its reciprocal is a minimum. Find the minimum value. \end{example} \emph{Solution}~~If $x$ is the number, then $\dfrac{1}{x}$ is its reciprocal. Let $y$ denote the sum: \[ y=x+\frac{1}{x} \]% This is the mathematical model. The problem asks for a value of $x$ which is positive which minimizes $y$. This mathematical problem can be solved using calculus. First find the possible extreme points by solving $y^{\prime }=0$. Thus \[ y^{\prime }=1-\frac{1}{x^{2}} \] Thus \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{x^{2}}-1=0 \\ &&x^{2}=1 \\ &&x=\pm 1 \end{eqnarray*} The solution $x=-1$ can be eliminated because it is not positive. At\ $x=1$, $y^{\prime \prime }|_{x=1}=2x^{-3}|_{x=1}=2>0$. Hence, at $x=1,y$ has a relative minimum. Now graph the function. \FRAME{dtbpFU}{2.0799in}{1.7815in}{% 0pt}{\Qcb{$y=x+\frac{1}{x}$}}{}{graph2.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.0799in;height 1.7815in;depth 0pt;original-width 147.5pt;original-height 126.0625pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/graph2.wmf';file-properties "XNPEU";}} From this graph note that the minimum of $y=x+1/x$ occurs at $x=1$. Its value is $y=1+\frac{1}{1}=2$, and the problem is solved. \begin{center} \vspace{0in} \FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt} \subsection{How Does Your Garden Grow?} \vspace{1pt} \begin{example} Deborah wants to plant a garden. She has materials to make a fence 200 feet long. If the garden is to be rectangular, what dimensions will give it a maximum area? What is the maximum area? \end{example} \noindent \emph{Solution}~~The garden, pictured in below, has area $A=lw$. \begin{center} \FRAME{itbpF}{1.9571in}{1.011in}{0.4445in}{}{}{garden.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 1.9571in;height 1.011in;depth 0.4445in;original-width 134.5625pt;original-height 68.5625pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/garden.wmf';file-properties "XNPEU";}} \begin{tabular}{cc} Area & $A=lw$ \\ Perimeter & $P=200=2l+2w$% \end{tabular} \end{center} As it stands this area function cannot be maximized because there are two variables in it. However, there is a link between the variables. We know the perimeter of the garden is 200~ft. Thus \[ 2w+2l=200 \]% or \[ l=100-w \]% Now substitute this into the area function: \[ A=lw=(100-w)w=100w-w^{2} \]% The area function, now of \emph{one\/} variable, can be maximized. First find the possible extreme points by solving\ $A^{\prime }(w)=0$. \begin{eqnarray*} A^{\prime }(w)=100-2w &=&0 \\ w &=&50 \end{eqnarray*}% Also \[ A^{\prime \prime }(50)=-2<0 \]% Thus $A(50)$ is a relative maximum. Note that, for this function, $0\leq w\leq 100$ because $A=100w-w^{2}$ is not just an arbitrary function but a function representing the area of a real rectangle. Now graph $A(w)$.\FRAME{% dtbpFU}{2.4751in}{1.9in}{0pt}{\Qcb{$A\left( w\right) =100w-w^{2}$}}{}{% graph3.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.4751in;height 1.9in;depth 0pt;original-width 176.875pt;original-height 132pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/graph3.wmf';file-properties "XNPEU";}}\medskip\ Thus, the maximum of the function $A(w)$ occurs at $w=50$. Since $l=100-w$, $l=100-50=50$. Hence, the garden with maximum area has dimensions $w=50$ and $l=50$ and has area $A=50\cdot 50=2500$ square feet. \begin{center} \vspace{0in}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt} \vspace{1pt} \subsection{\protect\vspace{1pt}Wire cutters} \vspace{1pt} \begin{example} A piece of wire 24 inches long is to be cut into two pieces, one of which is shaped into a square and the other into an equilateral triangle. How should the wire be cut in order that the total area enclosed by the square and the triangle together is a maximum? \end{example} \begin{quotation} \noindent NOTE:~~Mathematically, as well as practically, the instruction to ``cut'' a wire into two pieces includes the case in which one of the pieces has no length and the other has the full length. \end{quotation} \noindent \emph{Solution}~~The situation is visualized in the illustration below. \[ \begin{tabular}{|c|} \hline \FRAME{itbpF}{2.7285in}{1.4702in}{0in}{}{}{wire_cut.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.7285in;height 1.4702in;depth 0in;original-width 188.3125pt;original-height 100.625pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/wire_cut.wmf';file-properties "XNPEU";}} \\ \begin{tabular}{cc} Area triangle $=\dfrac{\sqrt{3}x^{2}}{36}$ & \ \ Area square $=\left( \dfrac{% 24-x}{4}\right) ^{2}$% \end{tabular} \\ \hline \end{tabular} \] \begin{center} \vspace{1pt} \end{center} From formulas for the area of an \fbox{% \CustomNote[\underline{equilateral triangle}]{Margin Hint}{% \begin{tabular}{lc} $% \begin{array}{l} h=\text{height} \\ h=s\cos 30^{\text{o}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}s \\ A=\dfrac{1}{2}sh=\dfrac{\sqrt{3}}{4}s^{2}% \end{array} $ & \FRAME{itbpF}{1.8334in}{1.8429in}{0.851in}{}{}{equilateral.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 1.8334in;height 1.8429in;depth 0.851in;original-width 0pt;original-height 0pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/equilateral.wmf';file-properties "XNPEU";}}% \end{tabular} }} and a square, the total area $A$ is \begin{eqnarray*} A &=&\frac{\sqrt{3}\,x^{2}}{36}+\left( \frac{24-x}{4}\right) ^{2} \\ &=&\frac{\sqrt{3}\,x^{2}}{36}+36-3x+\frac{x^{2}}{16} \end{eqnarray*} Simplify to get \[ A(x)=\frac{4\sqrt{3}\,+9}{144}x^{2}-3x+36,\qquad 0\leq x\leq 24 \] To find relative extrema differentiate \[ A^{\prime }(x)=\frac{4\sqrt{3}+9}{72}x-3\;\;\text{and\ \ }A^{\prime \prime }(x)=\frac{4\sqrt{3}+9}{72}>0 \] $\ $ Setting $A^{\prime }(x)=0$ we have \begin{eqnarray*} \frac{4\sqrt{3}+9}{72}x &=&3 \\ x &=&\frac{216}{4\sqrt{3}+9}\doteq 13.56 \end{eqnarray*} Since $A^{\prime \prime }(\frac{216}{4\sqrt{3}+9})=\allowbreak \frac{1}{18}% \sqrt{3}+\frac{1}{8}=\allowbreak .\,\allowbreak 221\,>0$, we see that the area is a relative \emph{minimum\/} when $x=\frac{216}{4\sqrt{3}+9}\ $ rather than a \emph{maximum\/} as we want. The graph of $A(x)$ shows that the maximum of this function occurs at $x=0$. \ \FRAME{dtbpFU}{2.917in}{% 1.9311in}{0pt}{\Qcb{$A(x)=\frac{4\protect\sqrt{3}\,+9}{144}x^{2}-3x+36$}}{}{% graph5.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.917in;height 1.9311in;depth 0pt;original-width 207.625pt;original-height 136.8125pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/graph5.wmf';file-properties "XNPEU";}}This means that the maximum area is attained when the wire is not cut at all; its entire length should be used to construct a square of side length 6 inches. \ \textsl{With calculus we discovered that there should be no cut at all!! } \begin{center} \fbox{% \CustomNote[Historical note]{Margin Hint}{% Problems such as this, called the \textsl{\ isoperimetric problem}, have been studied at least since 200\ B.C. The general problem is this: \emph{% Given a fixed length of wire. \ From it form the figure that encloses the greatest area. \ } With some effort, it can be shown that the figure should be a circle. \ But along the way it is possible to show that: \par \textsl{for any two regular polygons (equal sides and equal angles) the one that encloses the greatest area is the one with the greater number of sides.} \par \vspace{1pt} \par The greek mathematician associated with this problem is Zenodorus (ca. 180 B.C.).}} \FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "1.164";cropright "1";cropbottom "0.3862";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt} \subsection{Cattle Anyone?} \begin{example} A cattle baron wants to build a rectangular corral enclosing 280,000 square feet. The corral lies next to a river. Because the portion of the fence lying next to the river must withstand periodic flooding, it costs \$5 per linear foot whereas the remaining fence costs \$2 per linear foot. What dimensions should the corral have in order to minimize the cost of the fence? \end{example} \noindent \emph{Solution}~~The cost of the fencing, which will be denoted by $C$, can be calculated using the figure below. The blue line indicates that part of the fence by the river. \begin{center} \vspace{0in}\FRAME{dtbpF}{3.0026in}{1.3292in}{0pt}{}{}{coral.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 3.0026in;height 1.3292in;depth 0pt;original-width 207.4375pt;original-height 90.75pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/coral.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{0in} The cost in dollars of the fence alongside the river is $5l$. The cost of the remaining fence is $2w+2l+2w$ dollars. Therefore, the total cost is \[ C=5l+2w+2l+2w=7l+4w\;\text{dollars} \] This function cannot be minimized as it stands because it has two variables. However, since the enclosed area is to be 280,000 square feet, we know that $% l$ and $w$ are related by the equation \begin{eqnarray*} lw &=&280,000 \\ l &=&\frac{280,000}{w} \end{eqnarray*} Substituting this into the cost function, we obtain \[ C(w)=7\left( \frac{280,000}{w}\right) +4w,\qquad w>0 \] Now proceed as before. Find the possible extreme points by solving $% C^{\prime }(w)=0$. \begin{eqnarray*} C^{\prime }(w)=\frac{1,960,000}{w^{2}}+4 &=&0 \\ w^{2} &=&\frac{1,960,000}{4}=490,000 \\ w &=&\pm 700 \end{eqnarray*} The value $w=-700$ can be eliminated. (Why?) When $w=700$, \[ C^{\prime \prime }(w)|_{w=700}=\frac{3,920,00}{w^{3}}|_{w=700}\thickapprox 0.0114>0\quad \] Thus, $C(w)$ has a relative minimum at $w=700$. Now graph $C(w)$ for $w>0$.% \FRAME{dtbpFU}{2.9897in}{1.9631in}{0pt}{\Qcb{$C(w)=7\left( \frac{280,000}{w}% \right) +4w$}}{}{graph4.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.9897in;height 1.9631in;depth 0pt;original-width 212.9375pt;original-height 139.125pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/graph4.wmf';file-properties "XNPEU";}} From this graph we conclude that \[ C(700)=\frac{1,960,000}{700}+4\cdot 700=\$5600 \] is the minimum cost for which the fence can be built. The dimensions are $% w=700$ feet and $l=280,000/700=400$ feet.$\hfill $ \noindent REMARK:~~Deborah's Garden and our Coral examples have a common feature. In both problems there was a function of two variables to be optimized and a relation between the variables. By using this relation the function to be optimized was reduced to one variable. In both examples, the relative extreme points of the functions (found using calculus) turned out to be the desired optimal values. This does not always happen. Consider the \hyperref{% wire cutter example}{}{}{e.38.04.01.tex}. \begin{center} \FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt} \subsection{\protect\vspace{1pt}Building a Tin Can} \vspace{1pt} \begin{example} Suppose a 1 liter cylindrical can with a metal top and plastic side and bottom is to be constructed. (See Figure~3.33.) The cost of the top is 0.02$% \;$cents\ per square centimeter, and the cost of the side and bottom is 0.01 cents\ per square centimeter. What dimensions minimize the cost of the can? What is the minimum cost? \end{example} \noindent \emph{Solution}~~ We have \ (\hyperref{click here to review facts about cylinders}{}{}{s38facts.tex}) \begin{center} \vspace{1pt} \begin{tabular}{|l|l|l|} \hline The cost of the top is & (\$0.02) $\cdot $ (Area of the top) & $=0.02\pi r^{2}$ \\ \hline The cost of the side is & (\$0.01) $\cdot $ (Area of the side) & $=0.01(2\pi rh)$ \\ \hline The cost of the bottom is & (\$0.01) $\cdot $ (Area of the bottom) & $% =0.01\pi r^{2}$ \\ \hline \end{tabular} \FRAME{itbpF}{1.4512in}{1.4702in}{0.6875in}{}{}{tincan.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 1.4512in;height 1.4702in;depth 0.6875in;original-width 104.875pt;original-height 106.1875pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/tincan.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} Thus, the total cost is \begin{eqnarray*} C &=&0.02\pi r^{2}+0.01(2\pi rh)+0.01\pi r^{2} \\ &=&0.03\pi r^{2}+0.02\pi rh \end{eqnarray*} This function cannot be minimized as stated because it has two variables. But the volume of the can is specified to be 1 liter (1000 cubic centimeters.) So, \[ V=\pi r^{2}h=1000 \] or \[ h=\frac{1000}{\pi r^{2}} \] Substituting this value for $h$ into the cost function, we get \begin{eqnarray*} C(r) &=&0.03\pi r^{2}+0.02\pi r\frac{1000}{\pi r^{2}} \\ &=&0.03\pi r^{2}+\frac{20}{r},\qquad r>0 \end{eqnarray*} Now find the possible extreme points of $C$ by solving $C^{\prime }(r)=0$: \[ C^{\prime }(r)=0.06\pi r-\frac{20}{r^{2}}=0 \] Multiplying by $r^{2}$ and dividing by $0.06\pi $, we have \begin{eqnarray*} r^{3} &=&\frac{20}{0.06\pi } \\ r &\doteq &4.7342 \end{eqnarray*} At $r=4.7342$, \[ C^{\prime \prime }(r)|_{r=4.7342}=\left( 0.06+\frac{40}{r^{3}}\right) |_{r=4.732}\thickapprox 0.5655>0 \] Hence, \[ C(4.7342)=\left( 0.03\pi r^{2}+\frac{20}{r}\right) |_{r=4.732}\thickapprox 6.3369 \] is a relative minimum of the function $C(r)$. Graphing $C(r)$, as shown in below,\FRAME{dtbpFU}{2.6835in}{1.9164in}{0pt}{\Qcb{$C(r)=0.03\protect\pi r^{2}+0.02\protect\pi r\frac{1000}{\protect\pi r^{2}}$}}{}{s38tincan.wmf}{% \special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.6835in;height 1.9164in;depth 0pt;original-width 185.125pt;original-height 131.75pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/s38tincan.wmf';file-properties "XNPEU";}} we see that the minimum value of $C$ does occur when $r=4.7342$~cm. At this value \[ h=\frac{1000}{\pi r^{2}}|_{r=4.732}\doteq 14.202\;\text{centimeters} \] Thus, the 1 liter can of minimum cost has radius $\thickapprox 4.734$ centimeters, height $\thickapprox 14.202$ centimeters, and cost $\doteq 6.337 $\ cents . \vspace{1pt} \begin{center} \FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt} \vspace{1pt} \subsection{\protect\vspace{1pt}Hints for solving optimization problems} \vspace{1pt} \begin{enumerate} \item Read and study the problem carefully until you understand it well. \item Draw a picture, if possible. \item Identify the mathematical function to be optimized. \item If there are two or more variables, identify the relation(s) between them. \item Using these relations, rewrite the function to be optimized in terms of only one variable. \item Find the possible extreme points of this function using calculus. \item Graph the function to determine its optimal value. \end{enumerate} \begin{center} \FRAME{dtbpF}{3.9306in}{2.7726in}{0pt}{}{}{diagram.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 3.9306in;height 2.7726in;depth 0pt;original-width 272.125pt;original-height 191.4375pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/diagram.wmf';file-properties "XNPEU";}} \vspace{0in}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "1.164";cropright "1";cropbottom "0.3862";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt} \subsection{Optimization Problems Involving Trigonometric Functions} Many optimization problems lead to expressions involving trigonometric functions. In these cases the procedure is exactly as before, except that we must be able to work with trigonometric functions. \begin{example} Blood vessels branch as in the figure. We may ask the question ``At what angle $\theta $ does the daughter vessel branch from the parent vessel?'' It can be shown that $R$ the total resistance of the pair in the figure is given by \end{example} \begin{center} $ \begin{array}{ll} R(\theta )=C+K\left( \dfrac{1}{(\sin \theta )r_{d}^{4}}-\dfrac{\cos \theta }{% (\sin \theta )r_{p}^{4}}\right) & \end{array} \begin{tabular}{c} $\FRAME{itbpF}{2.8608in}{1.6717in}{0.7706in}{}{}{branching.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.8608in;height 1.6717in;depth 0.7706in;original-width 203.625pt;original-height 118.1875pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/branching.wmf';file-properties "XNPEU";}}$% \end{tabular} $ \end{center} where $C$ and $K$ are constants that depend on the viscosity of the blood and the length of the vessels, and where $r_{d}$ and $r_{p}$ are the respective radii of the daughter and parent vessels. Assuming that the vascular system have evolved so that total resistance is minimized in order that the heart will not have to work too hard, find the value of $\theta $ that minimizes $R(\theta )$. \noindent \emph{Solution}~~Calculate $R^{\prime}(\theta)$ first. So, \begin{eqnarray*} R^{\prime}(\theta) &= &K\left(\frac1{r^4_d}\cdot \frac{-\cos\theta}{% \sin^2\theta} - \frac1{r^4_p} \cdot \frac{-\sin^2 \theta-\cos^2\theta}{% \sin^2\theta}\right) \\ &= &K\left(\frac{-1}{r^4_d} \cdot \frac{\cos \theta}{\sin^2\theta} + \frac1{r^4_p \sin^2\theta}\right) \end{eqnarray*} since $\sin^2\theta + \cos^2 \theta=1$. Setting $R^{\prime}(\theta) = 0$, we obtain \[ \frac1{r^4_p \sin^2 \theta} = \frac1{r^4_d}\cdot \frac{\cos\theta}{\sin^2 \theta} \] This implies that \[ \frac{r^4_d}{r^4_p} = \cos\theta \] This equation defines the angle $\theta$ implicitly. However, the Second Derivative Test 1 can be used to show that this value of $\theta$ makes $% R(\theta)$ a minimum. If we are given actual values of $r_d$ and $r_p$, then $\theta$ can be determined by using trigonometric tables or by using a calculator with the $\cos^{-1}$ key. Qualitatively, this result shows that if $r_d$ is much smaller than $r_p$, then $\theta$ is close to $\pi/2$. On the other hand, if $r_d$ is only slightly smaller than $r_p$, then $\theta$ is quite small.$\hfill\blacksquare$\medskip The sine and cosine functions, being periodic, can also be used to model periodic phenomena such as vibrating mechanical systems, temperature distributions, ocean waves, and cyclical populations of insects. \FRAME{dtbpF}{4.0707in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.0707in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.6667";cropright "1";cropbottom "0.6663";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \begin{example} In Showme, Missouri, the number $N(t)$ of grasshoppers infesting the crops at time $t$ is given by \[ N(t)=2000\sin t+4000\cos t+6000 \] where $t=0$ corresponds to 1980 and $t$ is in years. When will maximum infestation occur in the decade 1980--1990? \end{example} \noindent \emph{Solution}~~We need to find the maximum of $N(t)$ for $0\leq t\leq 10$. As usual, the procedure is to calculate $N^{\prime }(t)$, set it equal to zero, and solve. This yields the equation \[ N^{\prime }(t)=2000\cos t-4000\sin t=0 \] which leads to \[ \cos t=2\sin t \] and \[ \tan t=\frac{1}{2} \] Using a scientific calculator set to radian mode, we solve for $t$ to get $% t\doteq 0.4636$. Since $\tan t$ is a periodic function with period $\pi $, the values of $t$ for which $\tan t=\frac{1}{2}$ and $0\leq t\leq 10$ are \[ t\doteq 0.4636\quad 0.4636+\pi ,\quad 0.4636+2\pi ,\quad \text{and }\quad 0.4636+3\pi \] or \[ t\doteq 0.4636,\quad 3.6052,\quad 6.7468,\quad \text{and }\quad 9.8884 \] Now, the maximum value of $N(t)$ can occur only at one of these points or at $t=0$ or $t=10$. To determine where the maximum occurs, we calculate $N$ at all these values of $t$. \[ \begin{tabular}{|c|c|} \hline $\;\;t\;\;$ & $\;\;N(t)\;\;$ \\ \hline\cline{1-1} {}~0.0000 & 10,000 \\ \hline {}~0.4636 & 10,472 \\ \hline {}~3.6052 & {}~1,528 \\ \hline {}~6.7468 & 10,472 \\ \hline {}~9.8884 & {}~1,528 \\ \hline 10.0000 & {}~1,556 \\ \hline \end{tabular} \] \noindent Thus the maximum of $N(t)$ occurs at approximately $t=0.46$ years and $t=6.75$ years into the decade.$\hfill\blacksquare$ \FRAME{dtbpF}{4.0707in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.0707in;height 0.0761in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.9582";cropright "1";cropbottom "0.597";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \subsection{Optimization Problems Involving Trigonometric Functions} \begin{example} The number of sit-ups a person can do on an inclined board (see the figure) is equal to $N(\theta )=50\cos 2\theta +50$, where $\theta $ is the angle of inclination. At what angle is the ability to do sit-ups decreasing the fastest? \[ \FRAME{itbpFU}{1.9138in}{1.478in}{0in}{\Qcb{Incline at angle $\protect\theta $}}{}{situp2.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 1.9138in;height 1.478in;depth 0in;original-width 131.5625pt;original-height 101.1875pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/situp2.wmf';file-properties "XNPEU";}} \] \end{example} \noindent \emph{Solution}~~The rate of change of the number of sit-ups that can be done (as a function of the angel $\theta$) is $N^{\prime}(\theta)$. We want to know where $N^{\prime}(\theta)$ is a minimum. Now, $% N^{\prime}(\theta) = -100 \sin 2\theta$. This is the function we want to minimize; call it $f(\theta)$. Calculating $f^{\prime}(\theta)$ and setting it equal to zero leads to \[ f^{\prime}(\theta) = -200 \cos 2\theta = 0 \] The solutions in $[0,\pi/2]$ are 0, $\pi/4, \pi/2$. The first and last solutions make $f(\theta)$ a maximum, and $\theta =\pi/4$ makes $f(\theta)$ a minimum. Therefore, the ability to do sit-ups is decreasing fastest when $% \theta=\pi/4$. $\hfill\blacksquare$\medskip From these examples it can be seen that the procedures in applied problems involving trigonometric functions are the same as for other problems, once the appropriate modeling function is determined. \vspace{1pt} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/lec_10_27_99.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/graphics/maroon.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%% WwlqZB@@W\ObOplAV~@zC@@@@@@OeF@@I@@@CLJB@@@A@x@@@@@@@P@@@@p@A`@@E@@@@l`@@@@ @@T@@@@@CBD@@A@@A@@@@CD@B@T@@@@pBB@@@@@PA@@@@LHP@@D@@E@@@@p`@x@@`~T@@@@pBB@ @@@@@A@@@@FDP@@\@@@@@B@@@eA@@@@@D@@@@tR@@@PB@@@@zKPA@@@@@@pO@b@@A@@@@m DP@@x@@@@@ICT@@@@@N@@@@@@@PA@@@@E@N@@@@x@pA@@@@|K@@@|C@@@P@@@@PKAH@@I@@@ @ho@@@@@@@@@@@@@@HB@D@@@@tR@C@@A@@@@pG@@@\@@@@@B@@@eA@@@@@D@@@@tR@@@@A@@@ @mDP@@x@@@@@ICT@@@@@N@@@@@@@`B@@@@J@N@@@@x@@A@@@@mD`@@P@@@@PKAL@@D@@@@@_@@@ 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