\hfill \thepage} %} \newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement} \newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm} \newtheorem{case}[theorem]{Case} \newtheorem{claim}[theorem]{Claim} \newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion} \newtheorem{condition}[theorem]{Condition} \newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion} \newtheorem{notation}[theorem]{Notation} \newtheorem{problem}[theorem]{Problem} \newtheorem{solution}[theorem]{Solution} \newtheorem{summary}[theorem]{Summary} \newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}} \input{tcilatex} \begin{document} \section{Ma 115 Lecture 11/22/99} \vspace{1pt} \subsection{Integration Using Partial Fractions} \vspace{1pt} Last time we were discussing the technique of using partial fractions to evaluate certain integrals. These were integrals of the form \vspace{1pt} \begin{equation*} \int \dfrac{p\left( x\right) }{q\left( x\right) }dx \end{equation*} \vspace{1pt} where $p\left( x\right) $ and $q\left( x\right) $ are polynomials. The procedure involved writing $\dfrac{p\left( x\right) }{q\left( x\right) }$ as a sum of fractions. We outlined the following procedure: \vspace{1pt}\vspace{1pt} \begin{enumerate} \item \emph{Cancel common factors:} \ Factor $p\left( x\right) $ and $% q\left( x\right) $ and cancel any common factors. \ From now on we will assume this has been done. \item \emph{Remove any polynomial part:} \ If the degree of $p\left( x\right) $ is greater than or equal to the degree of $q\left( x\right) $ then you can write the quotient as $\dfrac{p\left( x\right) }{q\left( x\right) }=r\left( x\right) +\dfrac{% s\left( x\right) }{q\left( x\right) }$ where $r\left( x\right) $ and $s\left( x\right) $ are polynomials with the degree of $s\left( x\right) $ being less than the degree of $q\left( x\right) $. \ You can find $r\left( x\right) $ and $s\left( x\right) $ either by long division or by adding and subtracting terms as was done on the previous page. \item \emph{Factor the denominator} $q\left( x\right) $: \ A theorem from algebra says you can always factor a \QTR{purple}{real} polynomial into a product of \QTR{green}{linear} factors $\left( x-a\right) $ and \QTR{green}{% irreducible quadratic} factors $\left( x^{2}+cx+d\right) $ and one \QTR{green}{constant} factor all with \QTR{purple}{real} coefficients. \ The linear and quadratic factors may be repeated. \ If a factor is repeated $n$ times, $n$ is called the \emph{multiplicity} of the factor. \begin{remark} A quadratic polynomial is \emph{irreducible} if it \textbf{cannot} be written as the product of two linear factors with real coefficients. \ As a consequence, by completing the square, an irreducible quadratic polynomial $% \left( x^{2}+cx+d\right) $\ can always be written as $\left( \left( x-a\right) ^{2}+b^{2}\right) $. \ \fbox{% \CustomNote[\underline{How and Why?}]{Margin Hint}{% To complete the square on\quad $x^{2}+cx+d$,\quad let\quad $a=-\dfrac{c}{2}$% \quad and add and subtract\quad $a^{2}$.\quad Then \par $\quad x^{2}+cx+d=x^{2}-2ax+d$% \par $\qquad =x^{2}-2ax+a^{2}+d-a^{2}=\left( x-a\right) ^{2}+e$% \par where $e=d-a^{2}.\medskip $% \par Since $x^{2}+cx+d$ is irreducible, $e$ must be positive. \ \QTR{purple}{Why?} \ Because, if $e$ is negative or zero, we write it as $e=-b^{2}$. \ Then \par $\quad x^{2}+cx+d=\left( x-a\right) ^{2}+e=\left( x-a\right) ^{2}-b^{2}$% \par $\qquad =\left( x-a-b\right) \left( x-a+b\right) $% \par by factoring the difference of two squares. \ This expresses $x^{2}+cx+d$ as a product of two linear factors which is impossible since it is irreducible. \ So $e$ cannot be negative or zero.$\medskip $% \par Since $e$ is positive, we write it as $e=b^{2}$. \ Then \par $\quad x^{2}+cx+d=\left( x-a\right) ^{2}+e=\left( x-a\right) ^{2}+b^{2}$% \par as claimed.}} \end{remark} \item \emph{Write out the generic partial fraction expansion for} $\dfrac{% s\left( x\right) }{q\left( x\right) }$: \ The \QTR{green}{Partial Fraction Theorem} from algebra says $\dfrac{s\left( x\right) }{q\left( x\right) }$ can be uniquely written as a sum of terms which depend on the factors of $% q\left( x\right) $: \ (This will become clear in the examples.) \begin{enumerate} \item \emph{Linear Factors:} \ For each non-repeated linear factor $\left( x-a\right) $ include a term of the form $\dfrac{A}{x-a}$. \item \emph{Repeated Linear Factors:} \ For each linear factor $\left( x-a\right) $ which is repeated $n$ times include terms of the form $\qquad \qquad \dfrac{A_{1}}{x-a}+\dfrac{A_{2}}{\left( x-a\right) ^{2}}% +\cdots +\dfrac{A_{n}}{\left( x-a\right) ^{n}}$ \item \emph{Quadratic Factors:} \ For each non-repeated quadratic factor $% \left( \left( x-a\right) ^{2}+b^{2}\right) $ include a term of the form $% \dfrac{B\left( x-a\right) +C}{\left( x-a\right) ^{2}+b^{2}}$. \fbox{% \CustomNote[\underline{Note}]{Margin Hint}{% We write the quadratic term in the form $\dfrac{B\left( x-a\right) +C}{% \left( x-a\right) ^{2}+b^{2}}$\ instead of $\dfrac{Bx+C}{x^{2}+cx+d}$\ because it is easier to integrate $\dfrac{B\left( x-a\right) }{\left( x-a\right) ^{2}+b^{2}}$\ and $\dfrac{C}{\left( x-a\right) ^{2}+b^{2}}$, and because we will use the number $x=a$ in solving for the coefficients.}} \item \emph{Repeated Quadratic Factors:} \ For each quadratic factor $\left( \left( x-a\right) ^{2}+b^{2}\right) $ which is repeated $n$ times include terms of the form $\qquad \qquad \dfrac{B_{1}\left( x-a\right) +C_{1}}{\left( x-a\right) ^{2}+b^{2}}+\dfrac{B_{2}\left( x-a\right) +C_{2}}{\left( \left( x-a\right) ^{2}+b^{2}\right) ^{2}}+\cdots +\dfrac{B_{n}\left( x-a\right) +C_{n}}{\left( \left( x-a\right) ^{2}+b^{2}\right) ^{n}}$ \end{enumerate} \item \emph{Solve for the constants }$\left( A,A_{1},\cdots A_{n},B,B_{1},\cdots B_{n},C,C_{1},\cdots C_{n},\right) $\emph{\ in the partial fraction expansion for} $\dfrac{s\left( x\right) }{q\left( x\right) } $: \ The only guaranteed way to solve for the constants is to (i) clear the denominators by multiplying both sides by $q\left( x\right) $, (ii) multiply out the polynomials, (iii) equate the coefficients of each power of $x$ and (iv) solve for the coefficients. \ If the degree of $q\left( x\right) $ is $% k $, then steps (i), (ii) and (iii) produce $k$ linear equations in $k$ unknowns. \ The \QTR{green}{Partial Fraction Theorem} guarantees that these equations have a unique solution. \end{enumerate} \vspace{1pt}We are now ready to do the integrals. \subsection{Integrals Using Partial Fractions --- Techniques} \vspace{0in} We have seen that a partial fraction expansion expresses a rational function $\dfrac{p\left( x\right) }{q\left( x\right) }$ as the sum of a polynomial and rational functions of four basic types: \begin{center} \begin{tabular}{|ll||lll|} \hline $\dfrac{\text{Constant}}{\text{Linear}}$ & $\dfrac{A}{x-a}$ & $\dfrac{\text{% Constant}}{\text{Linear}^{n}}$ & $\dfrac{A}{\left( x-a\right) ^{n}}$ & $n>1$ \\ \hline $\dfrac{\text{Linear}}{\text{Quadratic}}\quad $ & $\dfrac{B\left( x-a\right) +C}{\left( x-a\right) ^{2}+b^{2}}\qquad $ & $\dfrac{\text{Linear}}{\text{% Quadratic}^{n}}\quad $ & $\dfrac{B\left( x-a\right) +C}{\left( \left( x-a\right) ^{2}+b^{2}\right) ^{n}}\quad $ & $n>1$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} For the purpose of doing the integrals, the terms with quadratic denominators need to be broken up into two pieces. \ So there are really six basic terms: \begin{center} \begin{tabular}{|ll||lll|} \hline $\dfrac{\text{Constant}}{\text{Linear}}$ & $\dfrac{A}{x-a}$ & $\dfrac{\text{% Constant}}{\text{Linear}^{n}}$ & $\dfrac{A}{\left( x-a\right) ^{n}}$ & $n>1$ \\ \hline $\dfrac{\text{Linear}}{\text{Quadratic}}\quad $ & $\dfrac{B\left( x-a\right) }{\left( x-a\right) ^{2}+b^{2}}\qquad $ & $\dfrac{\text{Linear}}{\text{% Quadratic}^{n}}\quad $ & $\dfrac{B\left( x-a\right) }{\left( \left( x-a\right) ^{2}+b^{2}\right) ^{n}}\quad $ & $n>1$ \\ \hline $\dfrac{\text{Constant}}{\text{Quadratic}}\quad $ & $\dfrac{C}{\left( x-a\right) ^{2}+b^{2}}\qquad $ & $\dfrac{\text{Constant}}{\text{Quadratic}% ^{n}}\quad $ & $\dfrac{C}{\left( \left( x-a\right) ^{2}+b^{2}\right) ^{n}}% \quad $ & $n>1$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{1pt} \QTR{green}{To compute the integrals} of these terms you\QTR{green}{\ use the following techniques:} \begin{itemize} \item For the $\dfrac{\text{Constant}}{\text{Linear}}$ and $\dfrac{\text{% Constant}}{\text{Linear}^{n}}$\ terms use the substitution\qquad $u=x-a$: \end{itemize} \begin{center} \fbox{% \CustomNote[$\dfrac{\text{Constant}}{\text{Linear}}$\ Example]{Margin Hint}{% Compute:\quad $\dint \dfrac{5}{\left( x-2\right) }\,dx$% \par Let {}$u=x-2$. \ Then $du=dx$ and \par $\quad \dint \dfrac{5}{\left( x-2\right) }\,dx=\dint \dfrac{5}{u}\,du=5\ln \left| u\right| +C$% \par $\qquad =5\ln \left| x-2\right| +C$}}\qquad \fbox{% \CustomNote[$\dfrac{\text{Constant}}{\text{Linear}^{n}}$\ Example]% {Margin Hint}{% Compute:\quad $\dint \dfrac{5}{\left( x-2\right) ^{3}}\,dx$% \par Let {}$u=x-2$. \ Then $du=dx$ and \par $\quad \dint \dfrac{5}{\left( x-2\right) ^{3}}\,dx=\dint \dfrac{5}{u^{3}}% \,du=-\dfrac{5}{2}\dfrac{1}{u^{2}}+C$% \par $\qquad =-\dfrac{5}{2}\dfrac{1}{\left( x-2\right) ^{2}}+C$}} \end{center} \begin{itemize} \item For the $\dfrac{\text{Linear}}{\text{Quadratic}}$ and $\dfrac{\text{% Linear}}{\text{Quadratic}^{n}}$\ terms use the substitution\qquad $u=\left( x-a\right) ^{2}+b^{2}$: \end{itemize} \begin{center} \fbox{% \CustomNote[$\dfrac{\text{Linear}}{\text{Quadratic}}$ Example]{Margin Hint}{% Compute:\quad $\dint \dfrac{7\left( x-5\right) }{\left( x-5\right) ^{2}+9}% \,dx$% \par Let {}$u=\left( x-5\right) ^{2}+9$. \ Then $du=2\left( x-5\right) \,dx$ and \par $\quad \dint \dfrac{7\left( x-5\right) }{\left( x-5\right) ^{2}+9}\,dx=% \dfrac{7}{2}\dint \dfrac{1}{u}\,du=\dfrac{7}{2}\ln u+C$% \par $\qquad =-\dfrac{7}{2}\ln \left( \left( x-5\right) ^{2}+9\right) +C$}}\qquad \fbox{% \CustomNote[$\dfrac{\text{Linear}}{\text{Quadratic}^{n}}$ Example]% {Margin Hint}{% Compute:\quad $\dint \dfrac{7\left( x-5\right) }{\left( \left( x-5\right) ^{2}+9\right) ^{4}}\,dx$% \par Let {}$u=\left( x-5\right) ^{2}+9$. \ Then $du=2\left( x-5\right) \,dx$ and \par $\quad \dint \dfrac{7\left( x-5\right) }{\left( \left( x-5\right) ^{2}+9\right) ^{4}}\,dx=\dfrac{7}{2}\dint \dfrac{1}{u^{4}}\,du=-\dfrac{7}{6}% \dfrac{1}{u^{3}}+C$% \par $\qquad =-\dfrac{7}{6}\dfrac{1}{\left( \left( x-5\right) ^{2}+9\right) ^{3}}% +C$}} \end{center} \begin{itemize} \item For the $\dfrac{\text{Constant}}{\text{Quadratic}}$ and $\dfrac{\text{% Constant}}{\text{Quadratic}^{n}}$\ terms use the substitution\qquad $% x-a=b\tan \theta $: \end{itemize} \begin{center} \fbox{% \CustomNote[$\dfrac{\text{Constant}}{\text{Quadratic}}$ Example]{Margin Hint} {% Compute:\quad $\dint \dfrac{4}{\left( x-5\right) ^{2}+9}\,dx$% \par Let {}$x-5=3\tan \theta $. \ Then $dx=3\sec ^{2}\theta \,d\theta $ and \par $\quad \dint \dfrac{4}{\left( x-5\right) ^{2}+9}\,dx=\dint \dfrac{4}{9\tan ^{2}\theta +9}\,3\sec ^{2}\theta \,d\theta $% \par $\qquad =\dfrac{4}{3}\dint \dfrac{\sec ^{2}\theta }{\tan ^{2}\theta +1}% \,d\theta =\dfrac{4}{3}\dint 1\,d\theta $% \par $\qquad =\dfrac{4}{3}\theta +C=\dfrac{4}{3}\arctan \left( \dfrac{x-5}{3}% \right) +C$}}\qquad \fbox{% \CustomNote[$\dfrac{\text{Constant}}{\text{Quadratic}^{n}}$ Example]% {Margin Hint}{% This example is harder than anything you will be asked to do in this course. \ It is included here for completeness. \par \hrulefill \par Compute:\quad $\dint \dfrac{4}{\left( \left( x-5\right) ^{2}+9\right) ^{4}}% \,dx$% \par Let {}$x-5=3\tan \theta $. \ Then $dx=3\sec ^{2}\theta \,d\theta $ and \par $\quad \dint \dfrac{4}{\left( \left( x-5\right) ^{2}+9\right) ^{4}}% \,dx=\dint \dfrac{4}{\left( 9\tan ^{2}\theta +9\right) ^{4}}\,3\sec ^{2}\theta \,d\theta $% \par $\qquad =\dfrac{4}{3^{7}}\dint \dfrac{\sec ^{2}\theta }{\left( \tan ^{2}\theta +1\right) ^{4}}\,d\theta =\dfrac{4}{3^{7}}\dint \dfrac{1}{\sec ^{6}\theta }\,d\theta $% \par $\qquad =\dfrac{4}{3^{7}}\dint \cos ^{6}\theta \,d\theta \qquad $(A bunch of work here.) \par $\qquad =\dfrac{4}{3^{7}}\left[ \dfrac{1}{6}\cos ^{5}\theta \sin \theta \right. +\dfrac{5}{24}\cos ^{3}\theta \sin \theta $% \par $\qquad \qquad \qquad +\dfrac{5}{16}\cos \theta \sin \theta +\left. \dfrac{5% }{16}\theta \right] +C$% \par Since $\tan \theta =\dfrac{x-5}{3}$, we have \par $\quad \sin \theta =\dfrac{x-5}{\sqrt{\left( x-5\right) ^{2}+9}}$ and $\cos \theta =\dfrac{3}{\sqrt{\left( x-5\right) ^{2}+9}}$. \par Thus \par $\quad \dint \dfrac{4}{\left( \left( x-5\right) ^{2}+9\right) ^{4}}\,dx$% \par $\qquad =\dfrac{4}{3^{7}}\left[ \dfrac{1}{6}\dfrac{3^{5}\left( x-5\right) }{% \left( \left( x-5\right) ^{2}+9\right) ^{3}}\right. +\dfrac{5}{24}\dfrac{% 3^{3}\left( x-5\right) }{\left( \left( x-5\right) ^{2}+9\right) ^{2}}$% \par $\qquad \qquad \qquad +\dfrac{5}{16}\dfrac{3\left( x-5\right) }{\left( x-5\right) ^{2}+9}+\left. \dfrac{5}{16}\arctan \left( \dfrac{x-5}{3}\right) % \right] +C$% \par {}}} \end{center} \vspace{1pt} We did several examples, and we will look at a few more now. \subsection{Partial Fraction Decomposition --- Repeated Linear Factors} \begin{example} Find the partial fraction expansion for $\dfrac{x^{2}+1}{% x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+x}$ and use it to find $\dint \dfrac{x^{2}+1}{% x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+x}\,dx$. \end{example} \emph{Solution:} \ We factor the denominator: \begin{center} $x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+x=x\left( x^{3}+3x^{2}+3x+1\right) =x\left( x+1\right) ^{3}$ \end{center} We write the generic partial fraction decomposition: \begin{center} $\dfrac{x^{2}+1}{x\left( x+1\right) ^{3}}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{% C}{\left( x+1\right) ^{2}}+\dfrac{D}{\left( x+1\right) ^{3}}$ \end{center} Notice that for the repeated factor $\left( x+1\right) ^{3}$ we need to include denominators of $\left( x+1\right) $, $\left( x+1\right) ^{2}$ and $% \left( x+1\right) ^{3}$. \ Next we clear the denominator: \begin{center} $x^{2}+1=A\left( x+1\right) ^{3}+Bx\left( x+1\right) ^{2}+Cx\left( x+1\right) +Dx\qquad \qquad \left( \ast \right) $ \end{center} \QTR{purple}{Don't simplify!} \ We now try the evaluation trick that worked for non-repeating linear factors: \ Plug in $x=0,-1$: $x=0$:$\qquad 1=A\left( 1\right) ^{3}\qquad \Longrightarrow \qquad A=1$ $x=-1$:\qquad $2=D\left( -1\right) \qquad \Longrightarrow \qquad D=-2$ To find the remaining coefficients $B$ and $C$, we could plug in for $A$ and $D$, multiply out the right side, equate coefficients of powers of $x$, and solve, but that is tedious. \ Rather we just plug in two other random values of $x$, say $x=1,2$, as well as the known values of $A$ and $D$: $x=1$:\qquad $2=A\left( 8\right) +B\left( 1\right) \left( 4\right) +C\left( 1\right) \left( 2\right) +D\left( 1\right) =8A+4B+2C+D=8+4B+2C-2$ $\qquad \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad 4B+2C=-4\qquad \Longrightarrow \qquad 2B+C=-2\qquad \qquad \left( \ast \right) $ $x=2$:\qquad $5=A\left( 27\right) +B\left( 2\right) \left( 9\right) +C\left( 2\right) \left( 3\right) +D\left( 2\right) =27A+18B+6C+2D=27+18B+6C-4$ $\qquad \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad 18B+6C=-18\qquad \Longrightarrow \qquad 3B+C=-3\qquad \qquad \left( \ast \ast \right) $ We now subtract $\left( \ast \right) $ from $\left( \ast \ast \right) $ to get $B=-1$, and substitute back into $\left( \ast \right) $ to get $C=0$. \ So the coefficients are \begin{center} $A=1\qquad B=-1\qquad C=0\qquad D=-2$ \end{center} and the partial fraction expansion is: \begin{center} $\dfrac{x^{2}+1}{x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+x}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{2% }{\left( x+1\right) ^{3}}$ \end{center} Notice that some coefficients may be zero but there is no way to know that in advance. Thus $\dint \dfrac{x^{2}+1}{x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+x}\,dx=\dint \dfrac{1}{x}% \,dx-\dint \dfrac{1}{x+1}\,dx-\dint \dfrac{2}{\left( x+1\right) ^{3}}% \,dx=\ln x-\ln \left( x+1\right) +\dfrac{1}{\left( x+1\right) ^{2}}+C$ \FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width 4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.3679";cropright "1";cropbottom "0.6321";filename 'graphics/maroon5.wmf';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \subsection{Partial Fraction Decomposition --- Non-Repeated Quadratic Factors% } \vspace{0in} \begin{example} Find the partial fraction decomposition for $\dfrac{13}{x^{3}-4x^{2}+13x}$. Use this decomposition to find $\dint \dfrac{13}{x^{3}-4x^{2}+13x}\,dx$ \end{example} \emph{Solution:} \ We factor the denominator:\qquad $x^{3}-4x^{2}+13x=x% \left( x^{2}-4x+13\right) $ The quadratic factor is irreducible because its discriminant is negative:\qquad $b^{2}-4ac=16-52=-36$. So we complete the square on the quadratic term:\qquad $x^{2}-4x+13=\left( x^{2}-4x+4\right) +9=\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\qquad $\fbox{% \CustomNote[\underline{Note}]{Margin Hint}{% Completing the square is not necessary but it helps with finding the coefficients in the partial fraction decomposition and it helps with the integration.}} We now write the generic partial fraction expansion and clear the denominator: \begin{center} $\dfrac{13}{x\left( x^{2}-4x+13\right) }=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B\left( x-2\right) +C}{\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}$ $13=A\left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) +\left( B\left( x-2\right) +C% \rule{0in}{0.13in}\right) x$ \end{center} To find the coefficient $A$ for the linear factor, we plug in the root $x=0$: $x=0$:$\qquad 13=A\left( 13\right) \qquad \Longrightarrow \qquad A=1$ To find the constant coefficient $C$ for the quadratic term, we plug in $x=2$% : $x=2$:$\qquad 13=A\left( 9\right) +\left( C\right) 2=9+2C\qquad \Longrightarrow \qquad C=2$ Finally to find the linear coefficient $B$ for the quadratic term, we plug in any other number, say $x=1$: $x=1$:$\qquad 13=A\left( 10\right) +\left( -B+C\right) \left( 1\right) =10-B+2\qquad \Longrightarrow \qquad B=-1$ So the partial fraction expansion is \begin{center} $\dfrac{13}{x^{3}-4x^{2}+13x}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{-\left( x-2\right) +2}{% \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}$ \end{center} \QTR{purple}{Don't simplify!} \ This is the form you will need for the quadratic term when you integrate. \begin{remark} Completing the square in the quadratic term not only helps with the integration (as you will see later), but it also helps identify the number $% x=2$ needed for finding the coefficient $C$. \end{remark} \FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width 4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename 'graphics/maroon9.wmf';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt}$\dint \dfrac{13}{x^{3}-4x^{2}+13x}\,dx=\dint \dfrac{1}{x}% \,dx-\dint \dfrac{\left( x-2\right) }{\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}% \,dx+2\dint \dfrac{1}{\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}\,dx$ In the second integral, we make the substitution $u=\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}$.\ \ Then $du=2\left( x-2\right) \,dx$ and $\dfrac{1}{2}% \,du=\left( x-2\right) \,dx$ and so $\quad \dint \dfrac{\left( x-2\right) }{\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}\,dx=% \dfrac{1}{2}\dint \dfrac{1}{u}\,du=\dfrac{1}{2}\ln \left| u\right| =\dfrac{1% }{2}\ln \left| \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right| =\dfrac{1}{2}\ln \left| x^{2}-4x+13\right| $ In the third integral, we make the substitution $x-2=3\tan \theta $. \ Then $% dx=3\sec ^{2}\theta \,d\theta $. \ So $\quad \dint \dfrac{1}{\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}\,dx=\dint \dfrac{1}{% 3^{2}\tan ^{2}\theta +3^{2}}\,3\sec ^{2}\theta \,d\theta =\dfrac{1}{3}\dint \dfrac{\sec ^{2}\theta }{\tan ^{2}\theta +1}\,d\theta =\dfrac{1}{3}\dint 1\,d\theta =\dfrac{1}{3}\theta =\dfrac{1}{3}\arctan \left( \dfrac{x-2}{3}% \right) $ Putting these together, we get $\quad \dint \dfrac{13}{x^{3}-4x^{2}+13x}\,dx=\ln x-\dfrac{1}{2}\ln \left| x^{2}-4x+13\right| +\dfrac{2}{3}\arctan \left( \dfrac{x-2}{3}\right) +C$ \FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width 4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename 'graphics/maroon5.wmf';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \begin{exercise} Find the partial fraction expansion for $\dfrac{1}{x^{4}-16}$.\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\dfrac{1}{x^{4}-16}=\dfrac{1}{4}\left[ -\dfrac{2}{x^{2}+1}% -\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}\right] $}...% \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETSolution}{0.1609in}{0.1609in}{0in}}{% }{}{}]{Margin Hint}{% To find the partial fraction expansion for $\dfrac{1}{x^{4}-16}$, we first factor the denominator: \par $\quad x^{4}-16=\left( x^{2}+1\right) \left( x^{2}-1\right) =\left( x^{2}+1\right) \left( x+1\right) \left( x-1\right) $% \par The generic partial fraction decomposition is \par $\quad \dfrac{1}{\left( x^{2}+1\right) \left( x+1\right) \left( x-1\right) }=% \dfrac{Ax+B}{x^{2}+1}+\dfrac{C}{x+1}+\dfrac{D}{x-1}$% \par We clear the denominator: \par $1=\left( Ax+B\right) \left( x+1\right) \left( x-1\right) +C\left( x^{2}+1\right) \left( x-1\right) +D\left( x^{2}+1\right) \left( x+1\right) $% \par To find the coefficients, we plug in $x=1,-1,0,2$: \par $x=1$:$\qquad 1=\left( A+B\right) \left( 2\right) \left( 0\right) +C\left( 2\right) \left( 0\right) +D\left( 2\right) \left( 2\right) $% \par $\qquad \qquad \qquad =4D$% \par $\qquad \qquad \Longrightarrow \qquad D=\dfrac{1}{4}$% \par $x=-1$:$\qquad 1=\left( -A+B\right) \left( 0\right) \left( -2\right) +C\left( 2\right) \left( -2\right) +D\left( 2\right) \left( 0\right) $% \par $\qquad \qquad \qquad =-4C$% \par $\qquad \qquad \Longrightarrow \qquad C=-\dfrac{1}{4}$% \par $x=0$:$\qquad 1=\left( B\right) \left( 1\right) \left( -1\right) +C\left( 1\right) \left( -1\right) +D\left( 1\right) \left( 1\right) $% \par $\qquad \qquad \qquad =-B-C+D=-B+\dfrac{1}{2}$% \par $\qquad \qquad \Longrightarrow \qquad B=-\dfrac{1}{2}$% \par $x=2$:$\qquad 1=\left( A2+B\right) \left( 3\right) \left( 1\right) +C\left( 5\right) \left( 1\right) +D\left( 5\right) \left( 3\right) $% \par $\qquad \qquad =6A+3B+5C+15D=6A-\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{4}+\dfrac{15}{4}=6A+1$% \par $\qquad \qquad \Longrightarrow \qquad A=0$% \par In summary the coefficients are \par $\qquad A=0\qquad B=-\dfrac{1}{2}\qquad C=-\dfrac{1}{4}\qquad D=\dfrac{1}{4}$% \par So the partial fraction expansion is \par $\quad \dfrac{1}{x^{4}-16}=\dfrac{1}{4}\left[ -\dfrac{2}{x^{2}+1}-\dfrac{1}{% x+1}+\dfrac{1}{x-1}\right] $} \end{exercise} \FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width 4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename 'graphics/maroon9.wmf';file-properties "XNPEU";}} \subsection{Partial Fraction Decomposition --- Repeated Quadratic Factors} \vspace{0in} \begin{example} Find the partial fraction decomposition for $\dfrac{100}{\left( x-1\right) \left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) ^{2}}$. Use this to compute $% \dint \dfrac{100}{\left( x-1\right) \left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) ^{2}}\,dx$ \end{example} \emph{Solution:} \ The denominator is already factored and the square has already been completed in the quadratic term. \ So we write the generic partial fraction expansion: \begin{center} $\dfrac{100}{\left( x-1\right) \left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) ^{2}}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B\left( x-2\right) +C}{\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}+\dfrac{D\left( x-2\right) +E}{\left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) ^{2}}$ \end{center} Notice that we include a quadratic denominator with each power up to the power which appears in the original denominator. \ Next we clear the denominators: \begin{center} $100=A\left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) ^{2}+\left( B\left( x-2\right) +C\rule{0in}{0.13in}\right) \left( x-1\right) \left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) +\left( D\left( x-2\right) +E\rule{0in}{0.13in}% \right) \left( x-1\right) $ \end{center} To find the coefficients we plug in numbers. \ The two obvious numbers are $% x=1,2$. \ We also use $x=0,-1,-2$: $x=1$:$\qquad 100=A\left( 10\right) ^{2}\qquad \Longrightarrow \qquad A=1\qquad \qquad $(We now use this in the other equations.) $x=2$:$\qquad 100=A\left( 9\right) ^{2}+\left( C\right) \left( 1\right) \left( 9\right) +\left( E\right) \left( 1\right) =81+9C+E$ $x=0$:$\qquad 100=A\left( 13\right) ^{2}+\left( -2B+C\right) \left( -1\right) \left( 13\right) +\left( -2D+E\right) \left( -1\right) =169+26B-13C+2D-E$ $x=-1$:$\qquad 100=A\left( 18\right) ^{2}+\left( -3B+C\right) \left( -2\right) \left( 18\right) +\left( -3D+E\right) \left( -2\right) =324+108B-36C+6D-2E$ $x=-2$:$\qquad 100=A\left( 25\right) ^{2}+\left( -4B+C\right) \left( -3\right) \left( 25\right) +\left( -4D+E\right) \left( -3\right) =625+300B-75C+12D-3E$ This gives $4$ equations for the $4$ unknowns $B,C,D,$ and $E$. \begin{eqnarray*} 9C+E &=&19\qquad \left( \ast \right) \\ 26B-13C+2D-E &=&-69 \\ 54B-18C+3D-E &=&-112 \\ 100B-25C+4D-E &=&-175 \end{eqnarray*} We solve $\left( \ast \right) $ for $E=19-9C$ and substitute into the other $% 3$ equations. \begin{eqnarray*} 26B-4C+2D &=&-50 \\ 54B-9C+3D &=&-93 \\ 100B-16C+4D &=&-156 \end{eqnarray*} These simplify to \begin{eqnarray*} 13B-2C+D &=&-25\qquad \left( \ast \ast \right) \\ 18B-3C+D &=&-31 \\ 25B-4C+D &=&-39 \end{eqnarray*} We solve $\left( \ast \ast \right) $ for $D=-25-13B+2C$ and substitute into the other $2$ equations. \begin{eqnarray*} 5B-C &=&-6\qquad \left( \ast \ast \ast \right) \\ 12B-2C &=&-14 \end{eqnarray*} We solve $\left( \ast \ast \ast \right) $ for $C=5B+6$ and substitute into the other equation. \begin{equation*} B=-1 \end{equation*} Substituting back we find the coefficients are: \begin{center} $A=1\qquad B=-1\qquad C=1\qquad D=-10\qquad E=10$ \end{center} So the partial fraction expansion is \begin{center} $\dfrac{100}{\left( x-1\right) \left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) ^{2}}=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{-\left( x-2\right) +1}{\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}+\dfrac{-10\left( x-2\right) +10}{\left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) ^{2}}$ \end{center} \QTR{purple}{Don't simplify!} \ This is the form you will need for the quadratic terms when you integrate. \FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width 4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt}$\quad \dint \dfrac{100}{\left( x-1\right) \left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) ^{2}}\,dx=\dint \dfrac{1}{x-1}\,dx-\dint \dfrac{% \left( x-2\right) }{\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}\,dx+\dint \dfrac{1}{\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}\,dx$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -10\dint \dfrac{% \left( x-2\right) }{\left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) ^{2}}% \,dx+10\dint \dfrac{1}{\left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) ^{2}}\,dx$ The first integral is a log. \ The second and fourth integrals may be done with the substitution $u=\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}$. \ Then $du=2\left( x-2\right) \,dx$ and so $\left( x-2\right) \,dx=\dfrac{1}{2}\,du$. \ Thus $\dint \dfrac{\left( x-2\right) }{\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}\,dx=\dfrac{1% }{2}\dint \dfrac{1}{u}\,du=\dfrac{1}{2}\ln \left| u\right| =$\fbox{$\dfrac{1% }{2}\ln \left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) $} $\dint \dfrac{\left( x-2\right) }{\left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) ^{2}}\,dx=\dfrac{1}{2}\dint \dfrac{1}{u^{2}}\,du=-\dfrac{1}{2u}=$\fbox{$% \dfrac{-1}{2\left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) }$} The third and fifth integrals may be done with the substitution $x-2=3\tan \theta $. \ Then $dx=3\sec ^{2}\theta \,d\theta $. \ Thus $\dint \dfrac{1}{\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}\,dx=\dint \dfrac{1}{3^{2}\tan ^{2}\theta +3^{2}}\,3\sec ^{2}\theta \,d\theta =\dfrac{1}{3}\dint \dfrac{% \sec ^{2}\theta }{\tan ^{2}\theta +1}\,d\theta =\dfrac{1}{3}\dint 1\,d\theta =\dfrac{1}{3}\theta =$\fbox{$\dfrac{1}{3}\arctan \left( \dfrac{x-2}{3}% \right) $} $\dint \dfrac{1}{\left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) ^{2}}\,dx=\dint \dfrac{1}{\left( 3^{2}\tan ^{2}\theta +3^{2}\right) ^{2}}\,3\sec ^{2}\theta \,d\theta =\dfrac{1}{27}\dint \dfrac{\sec ^{2}\theta }{\left( \sec ^{2}\theta \right) ^{2}}\,d\theta =\dfrac{1}{27}\dint \cos ^{2}\theta \,d\theta $ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =\dfrac{1}{27}\dint \dfrac{1+\cos \left( 2\theta \right) }{2}\,d\theta =\dfrac{1}{54}\left( \theta +\dfrac{% \sin \left( 2\theta \right) }{2}\right) =\dfrac{1}{54}\left( \theta +\sin \theta \cos \theta \right) $ Now since $\tan \theta =\dfrac{x-2}{3}$, we must have $\sin \theta =\dfrac{% x-2}{\sqrt{\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}}$ and $\cos \theta =\dfrac{3}{\sqrt{% \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}}$. \ So the fifth integral becomes $\dint \dfrac{1}{\left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) ^{2}}\,dx=$\fbox{% $\dfrac{1}{54}\left( \arctan \left( \dfrac{x-2}{3}\right) +\dfrac{3\left( x-2\right) }{\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}\right) $} Putting these together, we get $\dint \dfrac{100}{\left( x-1\right) \left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) ^{2}}\,dx$ $=\dint \dfrac{1}{x-1}\,dx-\dint \dfrac{\left( x-2\right) }{\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}\,dx+\dint \dfrac{1}{\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}% \,dx-10\dint \dfrac{\left( x-2\right) }{\left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) ^{2}}\,dx+10\dint \dfrac{1}{\left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) ^{2}}\,dx$ $=\ln \left( x-1\right) -\dfrac{1}{2}\ln \left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) +\dfrac{1}{3}\arctan \left( \dfrac{x-2}{3}\right) -10\left[ \dfrac{-1}{2\left( \left( x-2\right) ^{2}+3^{2}\right) }\right] +10\left[ \dfrac{1}{54}\left( \arctan \left( \dfrac{x-2}{3}\right) +\dfrac{3\left( x-2\right) }{\left( x-2\right) ^{2}+3^{2}}\right) \right] +C$ $=\ln \left( x-1\right) -\dfrac{1}{2}\ln \left( x^{2}-4x+13\right) +\dfrac{14% }{27}\arctan \left( \dfrac{x-2}{3}\right) +\dfrac{5}{x^{2}-4x+13}+\dfrac{5}{9% }\dfrac{x-2}{x^{2}-4x+13}+C$ \QTR{red}{The Bad News:} \ This is a lot of work and you need to do it slowly and carefully. \QTR{green}{The Good News:} \ This is as hard as it gets. \FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width 4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.5008";cropright "1";cropbottom "0.4992";filename 'graphics/maroon5.wmf';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \begin{exercise} Compute\qquad $\dint \dfrac{1}{x\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\,dx$\qquad given that\qquad $\dfrac{1}{x\left( x^{2}+1\right) ^{2}}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{% x^{2}+1}-\dfrac{x}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}$\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\dint \dfrac{1}{x\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\,dx$% \par $\quad =\ln x-\dfrac{1}{2}\ln \left( x^{2}+1\right) +\dfrac{1}{2\left( x^{2}+1\right) }+C$}...% \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETSolution}{0.1609in}{0.1609in}{0in}}{% }{}{}]{Margin Hint}{$\dint \dfrac{1}{x\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\,dx$% \par $\quad =\dint \dfrac{1}{x}\,dx-\dint \dfrac{x}{x^{2}+1}\,dx-\dint \dfrac{x}{% \left( x^{2}+1\right) ^{2}}\,dx$% \par The first integral is $\ln x$. \ The second and third integrals are done with the substitution $u=x^{2}+1$. \ Then $du=2x\,dx$ and so $x\,dx=\dfrac{1% }{2}\,du$. \ Thus \par $\dint \dfrac{x}{x^{2}+1}\,dx=\dfrac{1}{2}\dint \dfrac{1}{u}\,du=\dfrac{1}{2}% \ln \left| u\right| =\dfrac{1}{2}\ln \left( x^{2}+1\right) $% \par $\dint \dfrac{x}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\,dx=\dfrac{1}{2}\dint \dfrac{1}{% u^{2}}\,du=-\dfrac{1}{2u}=-\dfrac{1}{2\left( x^{2}+1\right) }$% \par Putting these together, we get \par $\dint \dfrac{1}{x\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\,dx$% \par $\quad =\ln x-\dfrac{1}{2}\ln \left( x^{2}+1\right) +\dfrac{1}{2\left( x^{2}+1\right) }+C$} \end{exercise} \begin{exercise} Find the partial fraction expansion for $\dfrac{1}{x\left( x^{2}+1\right) ^{2}}$.\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETProbSolvHint}{0.1505in}{0.1833in}{0in% }}{}{}{}]{Margin Hint}{% Expand the right hand side instead of plugging in numbers.}...% \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\dfrac{1}{x\left( x^{2}+1\right) ^{2}}=\allowbreak \dfrac{% 1}{x}-\dfrac{x}{x^{2}+1}-\dfrac{x}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}$}...% \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETSolution}{0.1609in}{0.1609in}{0in}}{% }{}{}]{Margin Hint}{% The generic expansion is \par $\quad \dfrac{1}{x\left( x^{2}+1\right) ^{2}}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{% x^{2}+1}+\dfrac{Dx+E}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}$% \par We clear the denominator: \par $\quad 1=A\left( x^{2}+1\right) ^{2}+\left( Bx+C\right) x\left( x^{2}+1\right) +\left( Dx+E\right) x$% \par This time we expand the right hand side and collect terms: \par $\quad 1=Ax^{4}+2Ax^{2}+A+Bx^{4}+Bx^{2}+Cx^{3}+xC+Dx^{2}+xE$% \par $\qquad =\left( A+B\right) x^{4}+Cx^{3}+\left( 2A+B+D\right) x^{2}+\left( C+E\right) x+A$% \par Next we equate coefficients of each power of $x$: \par $A+B=0\qquad C=0\qquad 2A+B+D=0\qquad C+E=0\qquad A=1$% \par So the coefficients are: \par $\quad A=1\qquad B=-1\qquad C=0\qquad D=-1\qquad E=0$% \par and the partial fraction expansion is \par $\quad \dfrac{1}{x\left( x^{2}+1\right) ^{2}}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{x^{2}+1}% -\dfrac{x}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}$} \end{exercise} \vspace{0in} \FRAME{dtbpF}{4.2653in}{0.0701in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width 4.2653in;height 0.0701in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.6126";cropright "1";cropbottom "0.3874";filename 'graphics/maroon2.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/lec_11_22_99.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/graphics/maroon5.wmf %%%%%%%%%%%%%%%% WwlqZB@@W\ObOplAV~@zC@@@@@@OeF@@I@@@CLJB@@@A@x@@@@@@@P@@@@p@A`@@E@@@@l`@@@@ @@T@@@@@CBD@@A@@A@@@@CD@B@T@@@@pBB@@@@@PA@@@@LHP@@D@@E@@@@p`@x@@`~T@@@@pBB@ @@@@@A@@@@FDP@@\@@@@@B@@@eA@@@@@D@@@@tR@@@PB@@@@zKPA@@@@@@pO@b@@A@@@@m DP@@x@@@@@ICT@@@@@N@@@@@@@PA@@@@E@N@@@@x@pA@@@@|K@@@|C@@@P@@@@PKAH@@I@@@ @ho@@@@@@@@@@@@@@HB@D@@@@tR@C@@A@@@@pG@@@\@@@@@B@@@eA@@@@@D@@@@tR@@@@A@@@ @mDP@@x@@@@@ICT@@@@@N@@@@@@@`B@@@@J@N@@@@x@@A@@@@mD`@@P@@@@PKAL@@D@@@@@_@@@ pA@@@@|K@@@|WF@@@@@P@@@@PKA@@@D@@@@tR@A@`C@@@@dLPA@@T@x@@PA@@@@O@@@@|@x@@PA `C@D@@@@tR@B@@A@@@@mDp@@P@@@@@|A@@@G@@@@po@@@``\@@@@@@A@@@@mD@@@P@@@@PKAD@@ N@@@@Pr@E@@`B`C@@J@@@@PA@@@@E`C@@J@N@P@@@@PKAH@@D@@@@tR@C@@A@@@@pG@@@\@@@@@ B@@@Dza@@@@@D@@@@tR@@@@A@@@@mDP@@x@@@@@ICT@@@O@N@@|@@@@PF@@@@Y@N@@|@x@@A@@ @@mD`@@P@@@@PKAL@@D@@@@@_@@@pA@@@@|K@@@\XHE@@@@P@@@@PKA@@@D@@@@tR@A@`C@@@@d LPA@@PAx@@@E@@@@^@@@@xAx@@@E`C@D@@@@tR@B@@A@@@@mDp@@P@@@@@|A@@@G@@@@po@@@Pb 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