\hfill \thepage} %} \newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement} \newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm} \newtheorem{case}[theorem]{Case} \newtheorem{claim}[theorem]{Claim} \newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion} \newtheorem{condition}[theorem]{Condition} \newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion} \newtheorem{notation}[theorem]{Notation} \newtheorem{problem}[theorem]{Problem} \newtheorem{solution}[theorem]{Solution} \newtheorem{summary}[theorem]{Summary} \newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}} \input{tcilatex} \begin{document} \section{Ma 115 Lecture 12/1/99} \subsection{Vectors:\ Algebraic Operations} \subsubsection{Dot Product} Unlike vector addition, which takes two vectors and gives back a third vector, the dot product of two vectors is a \fbox{% \CustomNote[scalar]{Margin Hint}{% Remember, the word scalar is just a different term for a real number.}} not a vector. For this reason the dot product is sometimes referred to as the scalar product. The formula used to define and compute the dot product of two vectors is \begin{center} $(x_{1},x_{2})\cdot (y_{1},y_{2})=\allowbreak x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}$. \end{center} \vspace{1pt}Analogous formulas are defined for the dot product of two vectors in $R^{n}$. The formula is \begin{center} $(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\cdot (y_{1},y_{2,}\cdots ,y_{n})=\allowbreak x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}$. \end{center} \vspace{1pt} \vspace{1pt}We point out that the length of a vector is related to the dot product of the vector with itself. \begin{center} $\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{X}=\left| \left| \overrightarrow{X}% \right| \right| ^{2}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \CustomNote[{\frame{Proof.}}]{Margin Hint}{$\overrightarrow{X}\circ \overrightarrow{X}=x_{1}x_{1}+x_{2}x_{2}+\cdots +x_{n}x_{n}$% \par \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=\left| \left| \overrightarrow{X}\right| \right| ^{2}$% \par \vspace{1pt} \par The reader is encouraged to verify this formula for specific vectors in $% R^{2}$ or $R^{3}$.} \end{center} \vspace{1pt} Another way to say the same thing is: $\left| \left| \overrightarrow{X}% \right| \right| =\left( \overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{X}\right) ^{1/2}$. \begin{center} \vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} The reason for the usefulness of the dot product is that there is a relationship between the lengths of the vectors, the angle between them and their dot product. If we let $\overrightarrow{x}$ and $\overrightarrow{y}$ denote vectors in $R^{2}$ or $R^{3}$ then this relationship is: \begin{eqnarray*} \overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y} &=&||\overrightarrow{x}||\,||% \overrightarrow{y}||\cos \theta \\ &&\text{or} \\ \cos \theta &=&\frac{\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}}{||% \overrightarrow{x}||\,||\overrightarrow{y}||} \end{eqnarray*} where $\theta $ is the smaller of the two angles determined by the two vectors $\overrightarrow{x}$ and $\overrightarrow{y}$. \begin{center} \emph{Memorize this formula!!} \FRAME{dtbpF}{3.7775in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 3.7775in;height 0.0761in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.5006";cropright "1";cropbottom "0.4998";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt} \begin{example} Use this formula to calculate the cosine of the angle between the two vectors $(1,6)$ and $(-2,1)$. \end{example} \emph{Solution. \ }From the second form of the formula, we have \begin{center} $\cos \theta =\dfrac{(1,6)\cdot (-2,1)}{||(1,6)||\,\,\,||(-2,1)||}=\dfrac{4}{% \sqrt{37}\sqrt{5}}\thickapprox 0.\,\allowbreak 294\,09$ . \end{center} Thus, $\theta =\arccos (0.\,\allowbreak 294\,09)\thickapprox \allowbreak 1.\,\allowbreak 272\,3$ radians which is approximately $72.9$ degrees. \begin{center} \FRAME{dtbpF}{4.8948in}{0.0623in}{0pt}{}{}{thckline.gif}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width 4.8948in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 361.375pt;original-height 0.625pt;cropleft "0";croptop "0.6949";cropright "1";cropbottom "0.6937";filename 'graphics/Thckline.gif';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt}$\FRAME{itbpF}{2.5149in}{1.8455in}{0in}{}{}{theta.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.5149in;height 1.8455in;depth 0in;original-width 173.4375pt;original-height 126.8125pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/theta.wmf';file-properties "XNPEU";}}$ $\FRAME{itbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0in}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth 0in;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.5011";cropright "1";cropbottom "0.4997";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}$ \end{center} An interesting consequence of this formula is the fact that two (non-zero) vectors are \fbox{% \CustomNote[perpendicular]{Margin Hint}{% Two vectors with the same base point are said to be perpendicular if the angle between them is $90^{o}$ or $\dfrac{\pi }{2}$ radians. }} if and only if their dot product is zero. Here's why. \ Clearly the dot product of two non-zero vectors is zero if and only if the cosine of the angle between them is zero. That is, if and only if the angle between the two vectors is $90$ degrees. In symbols, if $\overrightarrow{x}\cdot $ $\overrightarrow{y}=||% \overrightarrow{x}||\,$ $||\overrightarrow{y}||\cos \theta =0,$ and if $||% \overrightarrow{x}||\,$\ and $||\overrightarrow{y}||$ \ are both non-zero, then $\cos \theta $ must be $0$. \ This happen only if $\theta $ is $\pm \dfrac{\pi }{2}$ radians or $\pm 90^{o}$ degrees. \begin{center} \vspace{1pt}$\FRAME{itbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0in}{}{}{maroon.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth 0in;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.5011";cropright "1";cropbottom "0.4997";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}$ \end{center} \begin{example} Find $\left( 2,5\right) \cdot (-1,3).$ \end{example} Solution. \ By the definition $\left( 2,5\right) \cdot (-1,3)=2(-1)+5(3)=\allowbreak 13$ \begin{exercise} Find the dot product $\left( 7,-3\right) \cdot (-2,3).$ \ \CustomNote[{\fbox{Answer}}]{Margin Hint}{$\left( 7,-3\right) \cdot (-2,3)=\allowbreak -23$} \end{exercise} \FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "1.164";cropright "1";cropbottom "0.3862";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \begin{center} \CustomNote[{\fbox{Using \textbf{Scientific Notebook} to compute dot products.% }}]{Margin Hint}{% Using\textbf{\ Scientific Notebook }to compute dot products is easy. \par \begin{enumerate} \item In math mode write the dot product of the two vectors want to multiply as $\left( x_{1},x_{2}\right) \cdot \left( w_{1},w_{2}\right) $% \par \item Place the insertion point anywhere in the expression and choose the \textbf{Evaluate} button, \FRAME{itbpF}{0.2837in}{0.2707in}{0.0761in}{}{}{% evaluate.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 0.2837in;height 0.2707in;depth 0.0761in;original-width 0pt;original-height 0pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/Evaluate.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{enumerate} \par Thus $\ (3,1)\cdot \left( -4,-6\right) =\allowbreak -18$% \par \ } \vspace{1pt} \end{center} \subsection{ Dot Product: Example} \begin{enumerate} \item \vspace{1pt}$\left( 2,-3,0\right) \cdot \left( 13,12,17\right) =2\ast 13+\left( -3\right) \ast 12+0=\allowbreak -10$ \item $\left( 12,-8\right) \cdot \left( 9,-3\right) =12\ast 9+\left( -8\right) \ast \left( -3\right) =\allowbreak 132$ \item $\left( 23,45,67\right) \cdot \left( 0,1,0\right) =45$ \end{enumerate} \vspace{1pt} \subsection{Algebraic Operations: Projections} \subsubsection{Vector Projections} A technique with many applications is that of resolving a vector into two components, one component is parallel to a given direction and the second is perpendicular to the given direction. In the following we will use the notation $Proj_{N}\overrightarrow{\,X}$ to denote the vector which is obtained by \textsl{projecting} the vector $\overrightarrow{X}$ onto the direction $\vec{N}$. \ (See the figure below.) \begin{equation*} \end{equation*} \begin{center} \FRAME{dtbpF}{2.2684in}{1.6553in}{0pt}{}{}{s.03.03.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.2684in;height 1.6553in;depth 0pt;original-width 145.875pt;original-height 123.5pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/s.03.03.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \FRAME{dtbpF}{6.3114in}{0.0623in}{0pt}{}{}{thckline.gif}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 6.3114in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 361.375pt;original-height 0.625pt;cropleft "0";croptop "0.7221";cropright "1";cropbottom "0.6665";filename 'graphics/Thckline.gif';file-properties "XNPEU";}} \begin{equation*} \FRAME{itbpF}{2.5555in}{1.9899in}{0in}{}{}{s.03.04.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.5555in;height 1.9899in;depth 0in;original-width 176.3125pt;original-height 136.8125pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/s.03.04.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{equation*} \begin{equation*} \end{equation*} \FRAME{dtbpFU}{2.4993in}{1.6985in}{0pt}{\Qcb{{}}}{}{s.03.04.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.4993in;height 1.6985in;depth 0pt;original-width 176.3125pt;original-height 136.8125pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/s.03.04.wmf';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} In the picture above $\overrightarrow{X}=(2,3)$ and $\overrightarrow{N}% =(1.5,0)$. Let $\theta $ denote the angle between the two vectors. If we draw a perpendicular line from the tip of $\overrightarrow{X}$ \thinspace \thinspace to the line determined by $\overrightarrow{N}$ , then the line segment from the origin to the intersection of the two lines represents the projection of $\ \overrightarrow{X}$ onto $\overrightarrow{N}$. Moreover the length, $l$, of this line is given by the formula $l=\left| \left| \overrightarrow{X}\right| \right| \cos \theta $. Thus, we have \begin{center} $l=\left| \left| \overrightarrow{X}\right| \right| \cos \theta =\left| \left| \overrightarrow{X}\right| \right| \left( \dfrac{\overrightarrow{X}% \cdot \overrightarrow{N}}{\left| \left| \overrightarrow{X}\right| \right| \,\,\left| \left| \overrightarrow{N}\right| \right| }\right) =\dfrac{% \overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{N}}{\,\left| \left| \overrightarrow{N% }\right| \right| }$. \vspace{1pt} \end{center} This number $l$ is the directed length of the projected vector. By directed, we mean that if the number is positive, then the projection of $\ \overrightarrow{X}$ onto $\overrightarrow{N}$ \ will point in the same direction as $\overrightarrow{N}$, and if $l$ is negative, then the projection will point in the opposite direction of $\overrightarrow{N}$ . To obtain the vector projection we multiply the scalar $l$ by a \textsl{unit vector} which points in the same direction as $\overrightarrow{N}$, namely $% \frac{\overrightarrow{N\,\,}}{\,\left| \left| \overrightarrow{N}\right| \right| }$. Thus, the projection of $\ \overrightarrow{X}$ onto $\overrightarrow{N}$ equals \begin{center} \vspace{1pt} $Proj_{N}\overrightarrow{X}$\vspace{1pt}$=\dfrac{\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{N}}{\,\left| \left| \overrightarrow{N}\right| \right| }% \dfrac{\overrightarrow{N}}{\left| \left| \overrightarrow{N}\right| \right| }=% \dfrac{\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{N}}{\,\left| \left| \overrightarrow{N}\right| \right| ^{2}}\overrightarrow{N}$. \end{center} \vspace{1pt}Since this last vector is a scalar multiple of $\overrightarrow{N% }$, it is parallel to $\overrightarrow{N}$. To get the component of $\overrightarrow{X}$ \thinspace \thinspace in the direction perpendicular $\overrightarrow{N}$ , \ we subtract $Proj_{N}% \overrightarrow{X}$ from $\overrightarrow{X}$ . It is obvious that the following formula is correct \begin{center} $\overrightarrow{X}=$ $Proj_{N}\overrightarrow{X}+$ $\left( \overrightarrow{X% }-Proj_{N}\overrightarrow{X}\right) $. \ \ \ \ \CustomNote[{\fbox{Proof}}]{Margin Hint}{% As we saw earlier two nonzero vectors are perpendicular if their dot product is zero. Thus, to see that $\overrightarrow{N}$ and $\overrightarrow{X}% -Proj_{N}\overrightarrow{X}$ are perpendicular we compute their dot product. \par \vspace{1pt}$\overrightarrow{N}\circ \left( \overrightarrow{X}-Proj_{N}% \overrightarrow{X}\right) =\overrightarrow{N}\circ \overrightarrow{X}-% \overrightarrow{N}\circ Proj_{N}\overrightarrow{X}$% \par $=\overrightarrow{N}\circ \overrightarrow{X}-\overrightarrow{N}\circ \left( \frac{\overrightarrow{x}\circ \overrightarrow{N}}{\,\left| \left| \overrightarrow{N}\right| \right| ^{2}}\overrightarrow{N}\right) =% \overrightarrow{N}\circ \overrightarrow{X}-\frac{\overrightarrow{x}\circ \overrightarrow{N}}{\,\left| \left| \overrightarrow{N}\right| \right| ^{2}}% \overrightarrow{N}\circ \overrightarrow{N}$% \par $=\overrightarrow{N}\circ \overrightarrow{X}-\overrightarrow{X}\circ \overrightarrow{N}=0$. \par Since the dot product is zero, we may conclude that the two vectors are perpendicular. \par {} \par \vspace{1pt}} \vspace{1pt} \end{center} That is, the equality is true. What is not obvious is that the second summand is really perpendicular to $\overrightarrow{N}.$ \ This formula, describes $\overrightarrow{X}$ as the sum of two vectors. The first summand is parallel to $\overrightarrow{N}$ and the second summand is perpendicular to $\overrightarrow{N}$. \vspace{1pt} \FRAME{dtbpF}{4.721in}{0.0623in}{0pt}{}{}{thckline.gif}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width 4.721in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 451.6875pt;original-height 0.75pt;cropleft "0";croptop "0.5831";cropright "1";cropbottom "0.4719";filename 'graphics/Thckline.gif';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \begin{example} Resolve the vector $\overrightarrow{X}=(2,3,-7)$ into the sum of two components one parallel to $\overrightarrow{N}=(1,1,1)$ and the other perpendicular to $\ \overrightarrow{N}$. \end{example} \emph{Solution}. \ The first summand is \begin{center} $Proj_{N}\overrightarrow{X}=\dfrac{\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{N}% }{\,\left| \left| \overrightarrow{N}\right| \right| ^{2}}\overrightarrow{N}=% \dfrac{(2,3,-7)\cdot (1,1,1)}{\left| \left| (1,1,1)\right| \right| ^{2}}% (1,1,1)=\frac{-2}{3}(1,1,1)$, \vspace{1pt} \end{center} and the second is \begin{center} \vspace{1pt}$\overrightarrow{X}-Proj_{N}\overrightarrow{X}=(2,3,-7)-\frac{-2% }{3}(1,1,1)=\allowbreak \left( \frac{8}{3},\frac{11}{3},-\frac{19}{3}\right) $. \vspace{1pt} \end{center} We first note that the two vectors $\frac{-2}{3}(1,1,1)$ and $\dfrac{1}{3}% \left( 8,11,-19\right) $ are perpendicular to each other, (Compute their dot product.), that \begin{center} $\overrightarrow{X}=(2,3,-7)=\frac{-2}{3}(1,1,1)+\left( \frac{8}{3},\frac{11% }{3},-\frac{19}{3}\right) $, \end{center} and finally the first summand is parallel to $\overrightarrow{N}=(1,1,1)$. \FRAME{dtbpF}{6.3114in}{0.0623in}{0pt}{}{}{thckline.gif}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 6.3114in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 451.6875pt;original-height 0.75pt;cropleft "0";croptop "0.9721";cropright "1";cropbottom "0.4165";filename 'graphics/Thckline.gif';file-properties "XNPEU";}} \subsection{\protect\vspace{1pt}Dot Product: Example} \vspace{1pt} The work done by a force on a moving object is defined as the amount of force in the direction of motion times the distance traveled. The following example uses the projection operation to find the amount of force in the direction of motion and then calculates the work done. \vspace{1pt} \begin{example} A sled is pulled along a track by a man with a rope. The angle the rope makes with the track is $30^{o}$ degrees. If the man pulls on the rope with a force of $100$ pounds, how much work is done on the sled if it is pulled $% 150$ feet? \end{example} \vspace{1pt}Think of the track as the $x$ axis. Then the force exerted by the man equals $100\left( \cos 30,\sin 30\right) $. The projection of this force onto the positive $x$ axis is $100\left( \cos 30,0\right) $ and this is the force which is applied in the direcion of motion of the sled. Thus, the amount of work done by the man pulling the sled on the sled is \begin{center} $100\cos 30\left( 150\right) =12,990$ foot pounds. \end{center} \vspace{1pt} \subsection{\protect\vspace{1pt}Exercises: Dot Products} \vspace{1pt} \begin{enumerate} \item \vspace{0in}Compute the dot product for the following pairs of vectors. \begin{enumerate} \item $\left( 1,2\right) $ , $\left( 3,-7\right) $\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\left( 1,2\right) \cdot \left( 3,-7\right) =\allowbreak -11$} \item $\left( 2,14,5\right) $ , $\left( -2,0,7\right) $\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\left( 2,14,5\right) \cdot \left( -2,0,7\right) =\allowbreak 31$} \item $\left( \left( 1,-2\right) +\left( -3,-8\right) \right) $ , $\left( 3,2\right) $\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\left( \left( 1,-2\right) +\left( -3,-8\right) \right) \cdot \left( 3,2\right) =$ $\left( -2,-10\right) \cdot \left( 3,2\right) =\allowbreak -26$} \item $\left( 3,4,-3,1\right) $, $\left( 5,-3,0,6\right) $\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\left( 3,4,-3,1\right) \cdot \left( 5,-3,0,6\right) $ $% =\allowbreak 9$} \end{enumerate} \item Find all vectors which have length one and are perpendicular to the vector $\left( 3,-2\right) $ .\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\vspace{1pt}\pm \dfrac{\left( 2,-3\right) }{\left\| \left( 2,-3\right) \right\| }=\pm \dfrac{\left( 2,-3\right) }{\sqrt{13}}$% \par $\vspace{1pt}$} \item A man wants to walk in a direction which is perpendicular to the vector $\left( 7,13\right) $ and for which the $x$ coordinate is decreasing. Find a unit vector which points in this directions.\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\dfrac{\left( -13,7\right) }{\left\| \left( -13,7\right) \right\| }=$ $\dfrac{\left( -13,7\right) }{\sqrt{218}}$} \item Find all vectors which make an angle of $30$ degrees with the vector $% \left( 2,-1,5\right) $ and have length $1$.\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{% If $\left( x,y,z\right) $ is such a vector then we must have the following equations satisfied. \par $\left( x,y,z\right) \cdot \left( 2,-1,5\right) =\left\| \left( x,y,z\right) \right\| \left\| \left( 2,-1,5\right) \right\| \cos \left( 30\right) $ and \par $\left\| \left( x,y,z\right) \right\| =1$. \par Expanding these equations, we have \par $2x-y+5z=\sqrt{30}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{2}\sqrt{10}$% \par $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$% \par Solving the first equation for $y$ and substituting this expression into the second equation we have: \par \vspace{1pt} $5x^{2}+20xz+26z^{2}-6x\sqrt{10}-15z\sqrt{10}=-\dfrac{43}{2}$. \par This last equation is an ellipse in the $x,z$ plane.} \item Find the angle between the two vectors $\left( 2,3\right) $ and $% \left( -5,7\right) $.\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{% If $\theta $ is the angle between the two vectors, then we have \par \vspace{1pt} $\cos \theta =\dfrac{\left( 2,3\right) \cdot \left( -5,7\right) }{\left\| \left( 2,3\right) \right\| \left\| \left( -5,7\right) \right\| }=$ $\dfrac{11}{\sqrt{13}\sqrt{74}}\thickapprox \allowbreak .\,\allowbreak 354\,65$. \par Thus, $\theta =\arccos \left( \allowbreak .\,\allowbreak 354\,65\right) \thickapprox \allowbreak \allowbreak 1.\,\allowbreak 208\,3$ radians or \par $\dfrac{180}{\pi }\left( 1.\,\allowbreak 208\,3\right) \thickapprox \allowbreak 69.\,\allowbreak 23$ degrees.} \item Find the angle between the following pairs of vectors \begin{enumerate} \item $\left( 1,1\right) $, $\left( 9,-4\right) $\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{\vspace{1pt} $\cos \theta =\dfrac{\left( 1,1\right) \cdot \left( 9,-4\right) }{\left\| \left( 1,1\right) \right\| \left\| \left( 9,-4\right) \right\| }$% \par $=\dfrac{5}{\sqrt{2}\sqrt{97}}$% \par \vspace{1pt}$\theta =\arccos \left( \dfrac{5}{\sqrt{2}\sqrt{97}}\right) $% \par $=\allowbreak 1.\,\allowbreak 203\,6$ radians $=68.\,\allowbreak 961$ degrees% } \item $\left( 2,3,-8\right) $, $\left( 2,2,13\right) $\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\cos \theta =\dfrac{\left( 2,3,-8\right) \cdot \left( 2,2,13\right) }{\left\| \left( 2,3,-8\right) \right\| \left\| \left( 2,2,,13\right) \right\| }$% \par $=$ $\dfrac{-94}{\sqrt{77}\sqrt{177}}$% \par $\theta =$ $\arccos \left( \dfrac{-94}{\sqrt{77}\sqrt{177}}\right) =\allowbreak 2.\,\allowbreak 506\,8$ radians $=$ $143.\,\allowbreak 63$ degrees} \item $\left( 1,2,-3,7\right) $, $\left( -1,17,5,2\right) $\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\cos \theta =\dfrac{\left( 1,2,-3,7\right) \cdot \left( -1,17,5,2\right) }{\left\| \left( 1,2,-3,7\right) \right\| \left\| \left( -1,17,5,2\right) \right\| }$% \par $=$ $\dfrac{32}{3\sqrt{7}\sqrt{319}}$% \par $\theta =$ $\arccos $ $\left( \dfrac{32}{3\sqrt{7}\sqrt{319}}\right) =0\allowbreak .\,\allowbreak 225\,73$ radians $=$ $12.\,\allowbreak 933$ degrees \par \vspace{1pt} \par {}} \end{enumerate} \item Find all vectors which make an angle of $45$ degrees with the vector $% \left( 1,1\right) $ and have length $1$.\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{% The easiest way to solve this problem is to draw the vector $\left( 1,1\right) $ and observe that it makes an angle of $45$ degrees with both the positive $x$ and positive $y$ axes. Thus, the desired unit vectors are $% i=\left( 1,0\right) $ and $j=\left( 0,1\right) $.} \item Let $\overrightarrow{X}=\left( 3,17\right) $, $\overrightarrow{Y}% =\left( 4,-1\right) $. Is the vector $\overrightarrow{N}=\left( 0.5,-0.125\right) $ the projection of $\overrightarrow{X}$ onto $% \overrightarrow{Y}$ ?\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{\vspace{1pt}As a quick check we notice that the vector $% \overrightarrow{N}$ is parallel to the vector $\overrightarrow{Y}$. Thus, $% \overrightarrow{N}$ may be to projection of $\overrightarrow{X}$ onto $% \overrightarrow{Y}$. \par The projection equals \par $\dfrac{\left( 3,17\right) \cdot \left( 4,-1\right) }{\left\| \left( 4,-1\right) \right\| ^{2}}\left( 4,-1\right) =\dfrac{-5}{17}\left( 4,-1\right) =\left( -1.\,\allowbreak 176\,5,.\,\allowbreak 294\,12\right) \allowbreak $% \par Thus, $\overrightarrow{N}$ is not the projection. \par {}} \item Find the projection of $\left( -1,1,-1\right) $ onto $\left( 2,0,5\right) $.\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\dfrac{\left( -1,1,-1\right) \cdot \left( 2,0,5\right) }{% \left\| \left( 2,0,5\right) \right\| ^{2}}\left( 2,0,5\right) =\dfrac{-7}{29}% \left( 2,0,5\right) =\allowbreak $% \par $\left( -\frac{14}{29},0,-\frac{35}{29}\right) $% \par \vspace{1pt}} \item Sketch the following vectors $\left( 2,-3\right) $, $\left( 1,2\right) $, the projection of $\left( 2,-3\right) $ onto $\left( 1,2\right) $, and finally the projection of $\left( 1,2\right) $ onto $\left( 2,-3\right) $% .\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{\FRAME{dtbpF}{1.2773in}{1.5523in}{0pt}{}{}{proj-6-3.wmf}{% \special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 1.2773in;height 1.5523in;depth 0pt;original-width 0pt;original-height 0pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/proj-6-3.wmf';file-properties "XNPEU";}}} \item Determine if the following pairs of vectors are perpendicular. \begin{enumerate} \item $\left( 1,2\right) $, $\left( 3,3\right) $\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\left( 1,2\right) \cdot \left( 3,3\right) =\allowbreak 9$ $\neq 0$. The vectors are not perpendicular.} \item $\left( 2,1,3\right) $, $\left( 0,3,-1\right) $\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\left( 2,1,3\right) \cdot \left( 0,3,-1\right) =\allowbreak 0$. The vectors are perpendicular} \item $\left( 4,3,0,-10,2\right) $, $\left( 1,-1,5,-6,2\right) $\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\left( 4,3,0,-10,2\right) \cdot \left( 1,-1,5,-6,2\right) =\allowbreak 65\neq 0$. Thus, the vectors are not perpendicular.} \end{enumerate} \item Find two vectors whose sum is the vector $\left( 11,7\right) $ such that one of the vectors is parallel to the vector $\left( -1,1\right) $ and the second is perpendicular to the vector $\left( -1,1\right) $.\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{% The summand parallel to the vector $\left( -1,1\right) $ is the projection of $\left( 11,7\right) $ onto $\left( -1,1\right) $, and we have \par $\left( 11,7\right) =\dfrac{\left( 11,7\right) \cdot \left( -1,1\right) }{% \left\| \left( -1,1\right) \right\| ^{2}}\left( -1,1\right) +$% \par $\left( \left( 11,7\right) -\dfrac{\left( 11,7\right) \cdot \left( -1,1\right) }{\left\| \left( -1,1\right) \right\| ^{2}}\left( -1,1\right) \right) =$% \par {} \par \vspace{1pt}$-2\left( -1,1\right) +\left( \left( 11,7\right) -\left( -2\left( -1,1\right) \right) \right) $% \par $=-2\left( -1,1\right) +\left( 9,9\right) $% \par Notice that the vector $\left( 9,9\right) $ is perpendicular to the vector $% \left( -1,1\right) $. \par \vspace{1pt} \par $\left( 11,7\right) $ such that one of the vectors is parallel to the vector $\left( -1,1\right) $ and the second is perpendicular to the vector $\left( -1,1\right) $} \item A\ force is applied to a sled. The force is modeled by the vector $% \left( 1,15,-1\right) $. Resolve this force into two components, one perpendicular to the $x,y$ plane and the second parallel to the $x,y$ plane. The second component, the one parallel to the $x,y$ plane is the force which will cause the sled to move. What is the magnitude, i.e., length, of this component.\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\left( 1,15,-1\right) =\left( 1,15,0\right) +\left( 0,0,-1\right) $% \par The second summand is perpendicular to the $x,y$ planr and the first summand is parallel to this plane. The length of the component of the force parallel to the $x,y$ plane is \par $\left\| \left( 1,15,0\right) \right\| =\allowbreak \sqrt{226}$} \item Suppose the vertices of a triangle are $A\left( 1,1\right) $, $B\left( 2,5\right) $, $C\left( 4,3\right) $. What are the three angles of this triangle.?\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{% Let $\alpha $, $\beta $, and $\gamma $ denote the angles at the vertices $A$% , $B$, and $C$ respectively. Then we can think of $\alpha $ as the angle between the vectors $\overrightarrow{AB}=\left( 1,4\right) $ and $% \overrightarrow{AC}=\left( 3,2\right) $. Thus, \par $\alpha =\arccos \left( \dfrac{\left( 1,4\right) \cdot \left( 3,2\right) }{% \left\| \left( 1,4\right) \right\| \left\| \left( 3,2\right) \right\| }% \right) $% \par $=\arccos \left( .\,\allowbreak 739\,94\right) =42.\,\allowbreak 274$ degrees. \par Similarly \par $\beta =\arccos \left( \dfrac{\left( -1,-4\right) \cdot \left( 2,-2\right) }{% \left\| \left( -1,-4\right) \right\| \left\| \left( 2,-2\right) \right\| }% \right) $% \par $=59.\,\allowbreak 038$ degrees, and \par $\vspace{1pt}$% \par $\gamma =\arccos \left( \dfrac{\left( -3,-2\right) \cdot \left( -2,2\right) }{\left\| \left( -3,-2\right) \right\| \left\| \left( -2,2\right) \right\| }% \right) $% \par $=78.\,\allowbreak 69$ degrees. \par As a check add these three numbers together. If our work is correct, what should the sum equal? \par \vspace{1pt} \par \vspace{1pt} \par \vspace{1pt} \par \vspace{1pt} \par \vspace{1pt} \par {}} \item A man is walking and pulling a coaster wagon. The angle of the wagon's handle makes a $45^{o}$ angle with the ground. Suppose the man exerts a force of $50$ pounds along the handle. What is the component of force parallel to the ground, and how much work is being done if the wagon is moved 100 feet? \dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{% The force exerted on the wagon equals $50\left( \cos 45,\sin 45\right) $. The component of force parallel to the ground equals $50\left( \cos 45,0\right) $. The work done in moving the wagon $100$ feet equals \par $50\cos 45\left( 100\right) =3535.\,\allowbreak 5$ foot-pounds.} \item Suppose a 50 pound object is sliding down an inclined ramp and the ramp is inclined at a\thinspace\ $25^{o}$ angle to the ground. If the ramp is $20$ feet long, how much work does a man do, if \thinspace \thinspace he is pushing horizontally against the object with just enough force to counter act the weight of the as it slides down the ramp? \dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{\vspace{1pt}The direction the man is pushing is irrelevant as far as the amount of work done on the object. What matters is how much force is being exerted parallel to the ramp. Thus, we need to determine the component of the object's weight which is parallel to the ramp. The following drawing is helpful. \par \FRAME{dtbpF}{1.0585in}{0.8691in}{0pt}{}{}{projpb16.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 1.0585in;height 0.8691in;depth 0pt;original-width 0pt;original-height 0pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/projpb16.wmf';file-properties "XNPEU";}} \par Just in terms of the magnitude of $\overrightarrow{F}$ we have \par $F=50\sin 25$ pounds. Thus, the work done is \par $\left( 50\sin 25\right) 20=422.\,\allowbreak 62$ foot-pounds.} \end{enumerate} \vspace{1pt} \vspace{1pt} \subsection{Vectors: Algebraic Operations} \subsubsection{Properties of the Algebraic Operations} \vspace{1pt}We first list the algebraic properties which are possessed by the operations of vector addition and \fbox{% \CustomNote[scalar]{Margin Hint}{% Remember that the word \emph{scalar} is just another word for real number. The reason for this terminology is that multiplying a vector by a real number \emph{rescales} (resizes) the vector. Hence the use of the word scalar.}} multiplication. In the following $\overrightarrow{X}$, $% \overrightarrow{Y}$, and $\overrightarrow{Z}$ represent arbitrary vectors in the same vector space. That is, all three vectors are in the same $R^{n}$; terms of the form $\alpha $ and $\beta $ will represent arbitrary scalars. \begin{theorem} Let $\overrightarrow{X}$, $\overrightarrow{Y}$, and $\overrightarrow{Z}$ represent arbitrary vectors and let $\alpha $ and $\beta $ be scalars. \ Then, \end{theorem} \begin{enumerate} \item $\overrightarrow{X}+$ $\overrightarrow{Y}=\overrightarrow{Y}+% \overrightarrow{X}$ \item $\left( \overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}\right) +\overrightarrow{Z% }=\overrightarrow{X}+\left( \overrightarrow{Y}+\overrightarrow{Z}\right) $ \item $\alpha \left( \overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}\right) =\alpha \overrightarrow{X}+\alpha \overrightarrow{Y}$ \item $\left( \alpha +\beta \right) \overrightarrow{X}=\alpha \overrightarrow{X}+\beta \overrightarrow{X}$ \item $1\overrightarrow{X}=\overrightarrow{X}$ \ \ \ \ \end{enumerate} \begin{center} \ \ \CustomNote[{\fbox{Proof}}]{Margin Hint}{\textbf{\vspace{1pt}Proof of all five facts.} \par We will prove the truth of these equalities for vectors in $R^{2}$. The proofs for the general case in $\,R^{n}$ are essentially the same. We let $% \overrightarrow{X}=\left( x_{1},x_{2}\right) $, $\overrightarrow{Y}=\left( y_{1},y_{2}\right) $ and $\overrightarrow{Z}=\left( z_{1},z_{2}\right) $. \par \begin{enumerate} \item $\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}=\left( x_{1},x_{2}\right) +\left( y_{1},y_{2}\right) =\left( x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}\right) $% \par \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=\left( y_{1}+x_{1},y_{2}+x_{2}\right) =\left( y_{1},y_{2}\right) +\left( x_{1},x_{2}\right) $ \ \ \ \ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ =% \overrightarrow{Y}+\overrightarrow{X}$. \par \item $\left( \overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}\right) +\overrightarrow{Z% }=\left( \left( x_{1},x_{2}\right) +\left( y_{1},y_{2}\right) \right) +\left( z_{1},z_{2}\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}\right) +\left( z_{1},z_{2}\right) $\newline \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=\left( \left( x_{1}+y_{1}\right) +z_{1},\left( x_{2}+y_{2}\right) +z_{2}\right) $\newline \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\ =\left( x_{1}+\left( y_{1}+z_{1}\right) ,x_{2}+\left( y_{2}+z_{2}\right) \right) $\newline \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=\left( x_{1},x_{2}\right) +\left( y_{1}+z_{1},y_{2}+z_{2}\right) $\ \ \newline \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=$\ \ \ $\overrightarrow{X}% +\left( \overrightarrow{Y}+\overrightarrow{Z}\right) $% \par \item $\alpha \left( \overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}\right) =\alpha \left( \left( x_{1},x_{2}\right) +\left( y_{1},y_{2}\right) \right) =\alpha \left( x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}\right) $\newline \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=\left( \alpha x_{1}+\alpha y_{1},\alpha x_{2}+\alpha y_{2}\right) $\newline \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=\left( \alpha x_{1},\alpha x_{2}\right) +\left( \alpha y_{1},\alpha y_{2}\right) $\newline \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=$ \ \ $\alpha \overrightarrow{X}+\alpha \overrightarrow{Y}$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \par \item $\left( \alpha +\beta \right) \overrightarrow{X}=\left( \alpha +\beta \right) \left( x_{1},x_{2}\right) =\left( \left( \alpha +\beta \right) x_{1},\left( \alpha +\beta \right) x_{2}\right) $\newline \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=\left( \alpha x_{1}+\beta x_{1},\alpha x_{2}+\beta x_{2}\right) $\newline \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=\left( \alpha x_{1},\alpha x_{2}\right) $ $% +\left( \beta x_{1},\beta x_{2}\right) $\newline \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=\alpha \overrightarrow{X}+\beta \overrightarrow{X}$\newline \par \item \ $1\overrightarrow{X}=1\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( 1x_{1},1x_{2}\right) \ =\left( x_{1},x_{2}\right) =\ \overrightarrow{X}$% \end{enumerate} \par $\vspace{1pt}$% \par $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $% \par {} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \newline \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \par \ } \vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{5.2356in}{0.0969in}{0pt}{}{}{thckline.gif}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width 5.2356in;height 0.0969in;depth 0pt;original-width 361.375pt;original-height 0.625pt;cropleft "0";croptop "1.5166";cropright "1";cropbottom "0.4165";filename 'graphics/Thckline.gif';file-properties "XNPEU";}} \end{center} Our next list (and this is also a theorem) describes properties of the absolute value of a vector. \begin{theorem} Let $\overrightarrow{X}$ and $\overrightarrow{Y}$ represent arbitrary vectors and let $\alpha $ and $\beta $ be scalars. \ Then, \end{theorem} \begin{enumerate} \item $\left| \left| \overrightarrow{X}\right| \right| =0$ if and only if $% \overrightarrow{X}$ is the zero vector. \item $\left| \left| \alpha \overrightarrow{X}\right| \right| =\left| \alpha \right| \,\left| \,\left| \overrightarrow{X}\right| \right| $ That is, the length of a rescaled vector is the same (in magnitude) rescaling of the length. \item $\left| \left| \overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}\right| \right| \leq \left| \left| \overrightarrow{X}\right| \right| +\left| \left| \overrightarrow{Y}\right| \right| $ This inequality is called the triangle inequality. The reason for this is that if one labels the lengths of the sides of a triangle as $\left| \left| \overrightarrow{X}\right| \right| $ and $\left| \left| \overrightarrow{Y}\right| \right| $, then the third side has length $\left| \left| \overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}\right| \right| $. The inequality is just another way of saying the shortest distance between two points is the straight line between them. \ \ \ \CustomNote[{\fbox{Proof}}]{Margin Hint}{% These statements wil be verified for vectors in $R^{2}$. The proofs for $% R^{3}$ and $R^{n}$ are somewhat similar. \par \begin{enumerate} \item If $\left| \left| \overrightarrow{X}\right| \right| =0$, where $% \overrightarrow{X}=\left( x_{1},x_{2}\right) $, then $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0$% . Since the sum of two nonnegative numbers ( $x_{1}^{2}$ and $x_{2}^{2}$\ )\ can equal zero if and only if each of them is zero, we must have $% x_{1}^{2}=0 $ and $x_{2}^{2}=0$. Hence $\overrightarrow{X}=\left( 0,0\right) =\overrightarrow{0}$. Conversely if $\overrightarrow{X}=\left( 0,0\right) $, then $\left| \left| \overrightarrow{X}\right| \right| =\sqrt{0+0}=0$. \par \item $\left| \left| \alpha \overrightarrow{X}\right| \right| =\left| \left| \alpha \left( x_{1},x_{2}\right) \right| \right| =\left| \left| \left( \alpha x_{1},\alpha x_{2}\right) \right| \right| $\newline $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \ \sqrt{\left( \alpha x_{1}\right) ^{2}+\left( \alpha x_{2}\right) ^{2}}$ \ \newline \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=$\ \ \ \ $\sqrt{\alpha ^{2}\left( \left( x_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}\right) ^{2}\right) }$\newline \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=\sqrt{\alpha ^{2}}\,\sqrt{\left( x_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}\right) ^{2}}=\left| \alpha \right| \,\left| \left| \overrightarrow{X}\right| \right| $% \par \item Before verifying this inequality we need a few preliminary inequalities. The first one, \par $0\leq \left( x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}\right) ^{2}$ is obvious and is used to verify the inequality \par $x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}\leq \sqrt{\left( x_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}\right) ^{2}}\sqrt{\left( y_{1}\right) ^{2}+\left( y_{2}\right) ^{2}}$ . This last inequality looks formidable, but it follows from the first inequality. (Square both sides of the second inequality and simplify.). We are now ready to verify the triangle inequality. \par $\left| \left| \overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}\right| \right| ^{2}=\left( x_{1}+y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}+y_{2}\right) ^{2}$% \par \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=\left( x_{1}^{2}+2x_{1}y_{1}+y_{1}^{2}\right) +\left( x_{2}^{2}+2x_{2}y_{2}+y_{2}^{2}\right) $% \par $=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2\left( x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}\right) +y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$% \par $\leq x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2\sqrt{\left( x_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}\right) ^{2}}\sqrt{\left( y_{1}\right) ^{2}+\left( y_{2}\right) ^{2}}% +y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$% \par $=\left( \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}+\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right) ^{2}=\left| \left| \overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}\right| \right| ^{2}$% . Thus, we have shown (take the square root of both sides) that the triangle inequality \par $\left| \left| \overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}\right| \right| \leq \left| \left| \overrightarrow{X}\right| \right| +\left| \left| \overrightarrow{Y}\right| \right| $ is valid. \end{enumerate} } \end{enumerate} \vspace{1pt} \subsection{Vectors: Dot Product Properties} \subsubsection{Properties of the Dot Product} \vspace{1pt}It is often useful to note the following relationship between the dot product of a vector with itself and its length \begin{center} $\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{X}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=\left| \left| \overrightarrow{X}\right| \right| ^{2}$. \ \ \CustomNote[{\fbox{Comment}}]{Note}{% This also follows from the relation \par \begin{center} $\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{X}=\left| \left| \overrightarrow{X}% \right| \right| \,\,\left| \left| \overrightarrow{X}\right| \right| \cos \theta $% \par $=\left| \left| \overrightarrow{X}\right| \right| \,^{2}$, \end{center} \par since the angle between a vector and itself is $0$, and $\cos 0=1$.} \vspace{1pt} \FRAME{dtbpF}{4.4469in}{0.0969in}{0pt}{}{}{thckline.gif}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width 4.4469in;height 0.0969in;depth 0pt;original-width 361.375pt;original-height 0.625pt;cropleft "0";croptop "1.5166";cropright "1";cropbottom "0.4165";filename 'graphics/Thckline.gif';file-properties "XNPEU";}} \end{center} The dot product also satisfies the following relations: \begin{enumerate} \item $\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{Y}=\overrightarrow{Y}\cdot \overrightarrow{X}$. \ \ \ \ \CustomNote[{\fbox{Proof}}]{Margin Hint}{$\vspace{1pt}$We use the commutivity of ordinary multiplication of numbers. \par $\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{Y}=\left( x_{1},x_{2}\right) \cdot \left( y_{1},y_{2}\right) =x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}=y_{1}x_{1}+y_{2}x_{2}$% \par \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=\left( y_{1},y_{2}\right) \cdot \left( x_{1},x_{2}\right) =\overrightarrow{Y}\circ \overrightarrow{X}$% \par {} \par A similar argument works of any pair of vectors in $R^{n}$ for any $n$.} \item $\overrightarrow{X}\cdot \left( \overrightarrow{Y}+\overrightarrow{Z}% \right) =\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{Y}\ +\overrightarrow{X}% \cdot \overrightarrow{Z}$.$\ \ \ \ \CustomNote[{\fbox{Proof}}]{Margin Hint}{$\vspace{1pt}$We expand each side and show that they are equal. \ First, \par $\overrightarrow{X}\cdot \left( \overrightarrow{Y}+\overrightarrow{Z}\right) =\left( x_{1},x_{2}\right) \cdot \left( \left( y_{1},y_{2}\right) +\left( z_{1},z_{2}\right) \right) $% \par \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=\left( x_{1},x_{2}\right) \circ \left( y_{1}+z_{1},y_{2}+z_{2}\right) $% \par \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=$\vspace{1pt} $\left( x_{1}y_{1}+x_{1}z_{1}\right) +\left( x_{2}y_{2}+x_{2}z_{2}\right) $% \par \vspace{1pt}Second, \par \vspace{1pt}$\left( \overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{Y}\right) \ +% \overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{Z}=\left( x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}\right) +\left( x_{1}z_{1}+x_{2}z_{2}\right) $% \par \vspace{1pt} \par Comparing these two expressions, we see that they are equal.}$ \item $\left( \alpha \overrightarrow{X}\right) \cdot \overrightarrow{Y}=% \overrightarrow{X}\cdot \left( \alpha \overrightarrow{Y}\right) =\alpha \left( \overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{Y}\right) $ \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace \fbox{% \CustomNote[Proof]{Margin Hint}{$\vspace{1pt}\left( \alpha \overrightarrow{X}% \right) \cdot \overrightarrow{Y}=\left( \alpha \left( x_{1},x_{2}\right) \right) \cdot \left( y_{1},y_{2}\right) =\alpha x_{1}y_{1}+\alpha x_{2}y_{2}$% \par \vspace{1pt} \par $\overrightarrow{X}\cdot \left( \alpha \overrightarrow{Y}\right) =\left( x_{1},x_{2}\right) \left( \alpha \left( y_{1},y_{2}\right) \right) =\alpha x_{1}y_{1}+\alpha x_{2}y_{2}$% \par \vspace{1pt} \par $\alpha \left( \overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{Y}\right) =\alpha \left( \left( x_{1},x_{2}\right) \cdot \left( y_{1},y_{2}\right) \right) =\alpha x_{1}y_{1}+\alpha x_{2}y_{2}$% \par $\vspace{1pt}$}} \end{enumerate} \vspace{1pt} \begin{example} Compute the dot product of the vectors $\vec{X}=(2,11)$ and \ \ \ $\vec{Y}% =(-3,1)$, and show that property 1 is satisfied. \end{example} \emph{Solution}. \ \newline \ $\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{Y}=(2,11)\cdot (-3,1)=2(-3)+11(1)=\allowbreak 5=\left( -3\right) 2+1(11)=(-3,1)\cdot (2,11)=% \overrightarrow{Y}\cdot \overrightarrow{X}$ \begin{example} Verify property 2 using the following vectors. $\vec{X}=(2,11)$, \ $\vec{Y}% =(-3,1)$, and $\overrightarrow{Z}=\left( 1,6\right) $.\newline $\overrightarrow{X}\cdot \left( \overrightarrow{Y}+\overrightarrow{Z}\right) =(2,11)\cdot \left( (-3,1)+\left( 1,6\right) \right) =(2,11)\cdot \left( -2,7\right) =73$\newline $\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{Y}\ +\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{Z}=(2,11)\cdot (-3,1)+(2,11)\cdot \left( 1,6\right) =5+68=\allowbreak 73$ \end{example} \vspace{1pt} \begin{example} Verify property 3 using the vectors $\vec{X}=(2,11)$, \ $\vec{Y}=(-3,1)$, and $\alpha =3$.\newline $\left( \alpha \overrightarrow{X}\right) \cdot \overrightarrow{Y}=\left( 3(2,11)\right) \cdot (-3,1)=\left( 6,33\right) \cdot (-3,1)=\allowbreak 15$% \newline $\overrightarrow{X}\cdot \left( \alpha \overrightarrow{Y}\right) =(2,11)\cdot \left( 3(-3,1)\right) =(2,11)\cdot \left( -9,3\right) =\allowbreak 15$\newline $\alpha \left( \overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{Y}\right) =3\left( (2,11)\cdot (-3,1)\right) =3\left( 5\right) =\allowbreak 15$ \end{example} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/lec_12_1_99.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/graphics/maroon.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%% WwlqZB@@W\ObOplAV~@zC@@@@@@OeF@@I@@@CLJB@@@A@x@@@@@@@P@@@@p@A`@@E@@@@l`@@@@ @@T@@@@@CBD@@A@@A@@@@CD@B@T@@@@pBB@@@@@PA@@@@LHP@@D@@E@@@@p`@x@@`~T@@@@pBB@ 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P@@@@PKA@@@D@@@@tR@A@`C@@@@dLPA@@LBx@@pH@@@@m@@@@tBx@@pH`C@D@@@@tR@B@@A@@@@ mDp@@P@@@@@|A@@@G@@@@po@@@pciPA@@@@A@@@@mD@@@P@@@@PKAD@@N@@@@Pr@E@@@J`C@@h@ @@@HC@@@`L`C@@h@N@P@@@@PKAH@@D@@@@tR@C@@A@@@@pG@@@\@@@@@B@@@QnrE@@@@D@@@@t R@@@@A@@@@mDP@@x@@@@@ICT@@@m@N@@tB@@@pM@@@@w@N@@tBx@@A@@@@mD`@@P@@@@PKAL@@D @@@@@_@@@pA@@@@|K@@@\YL_@@@@P@@@@PKA@@@D@@@@tR@A@`C@@@@dLPA@@HCx@@`L@@@@|@@ @@pCx@@`L`C@D@@@@tR@B@@A@@@@mDp@@P@@@@@|A@@@G@@@@po@@@pesDB@@@@A@@@@mD@@@P@ @@@PKAD@@N@@@@Pr@E@@pM`C@@w@@@@DD@@@PP`C@@w@N@P@@@@PKAH@@D@@@@tR@C@@A@@@@pG @@@\@@@@@B@@@YZCI@@@@D@@@@tR@@@@A@@@@mDP@@x@@@@@ICT@@@|@N@@pC@@@`Q@@@@FAN@ @pCx@@A@@@@mD`@@P@@@@PKAL@@D@@@@@_@@@pA@@@@|K@@@piMi@@@@P@@@@PKA@@@D@@@@tR@ A@`C@@@@dLPA@@DDx@@PP@@@@KA@@@lDx@@PP`C@D@@@@tR@B@@A@@@@mDp@@P@@@@@|A@@@G@@ @@po@@@`gxpB@@@@A@@@@mD@@@P@@@@PKAD@@N@@@@Pr@E@@`Q`C@@FA@@@@E@@@@T`C@@FAN@P @@@@PKAH@@D@@@@tR@C@@A@@@@pG@@@\@@@@@B@@@anSL@@@@D@@@@tR@@@@A@@@@mDP@@x@@@ @@ICT@@@KAN@@lD@@@PU@@@@UAN@@lDx@@A@@@@mD`@@P@@@@PKAL@@D@@@@@_@@@pA@@@@|K@@ 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