%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Scientific Word Wrap/Unwrap Version 2.5 % % Scientific Word Wrap/Unwrap Version 3.0 % % % % If you are separating the files in this message by hand, you will % % need to identify the file type and place it in the appropriate % % directory. The possible types are: Document, DocAssoc, Other, % % Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files % % tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file % % directory. Macro files go into your TeX macros directory. Style % % files are used by Scientific Word and do not need to be extracted. % % Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a % % graphics directory. % % % % Graphic files need to be converted from the text format (this is % % done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Files included: % % % % "/document/lec_12_8_99.tex", Document, 26688, 12/7/1999, 20:05:10, ""% % "/document/graphics/maroon.wmf", ImportPict, 4444, 1/8/1998, 13:13:46, ""% % "/document/graphics/s0313.wmf", ImportPict, 55244, 8/20/1998, 0:37:46, ""% % "/document/graphics/s0315.wmf", ImportPict, 5244, 8/20/1998, 0:55:44, ""% % "/document/graphics/Thckline.gif", ImportPict, 4535, 12/14/1997, 0:48:06, ""% % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/lec_12_8_99.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\newtheorem{theorem}{Theorem} %\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom} %\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture} %\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary} %\newtheorem{definition}[theorem]{Definition} %\newtheorem{example}[theorem]{Example} %\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise} %\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} %\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition} %\newtheorem{remark}[theorem]{Remark} \documentclass{article} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{graphicx} \usepackage{amsmath} %TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL} %TCIDATA{Created=Sunday, May 16, 1999 12:00:37} %TCIDATA{LastRevised=Tuesday, December 07, 1999 15:05:08} %TCIDATA{} %TCIDATA{} %TCIDATA{Language=American English} %TCIDATA{CSTFile=webmath.cst} %TCIDATA{PageSetup=72,72,72,72,0} %TCIDATA{AllPages= %F=36,\PARA{038

\hfill \thepage} %} \newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement} \newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm} \newtheorem{case}[theorem]{Case} \newtheorem{claim}[theorem]{Claim} \newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion} \newtheorem{condition}[theorem]{Condition} \newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion} \newtheorem{notation}[theorem]{Notation} \newtheorem{problem}[theorem]{Problem} \newtheorem{solution}[theorem]{Solution} \newtheorem{summary}[theorem]{Summary} \newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}} \input{tcilatex} \begin{document} \section{\protect\vspace{1pt}Ma 115 Lecture 12/8/99} \QTR{blue}{Lines in three dimensions. }\ Write the equation of a straight line in $R^{3}$ in the same fashion as in $R^{2}$. Thus, let $\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) $ be a point in $R^{3}$ and let $\overrightarrow{n}% =\left( n_{1},n_{2},n_{3}\right) $. Then a \emph{parametric} equation for the line through $\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) $ and parallel to $% \overrightarrow{n}$ is \begin{center} $\overrightarrow{y}=\left( y_{1},y_{2}y_{3}\right) =\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) +t\left( n_{1},n_{2},n_{3}\right) =\left( x_{1}+tn_{1},x_{2}+tn_{2},x_{3}+tn_{3}\right) $. \end{center} Solving the component equations for $t,$ and then equating the three expressions we have the following \emph{alternative form} for an equation of this line. \begin{center} $\dfrac{y_{1}-x_{1}}{n_{1}}=\dfrac{y_{2}-x_{2}}{n_{2}}=\dfrac{y_{3}-x_{3}}{% n_{3}}$. \vspace{1pt} \end{center} \subsection{Examples of Straight Lines: Example 1} \vspace{1pt} \begin{example} Let's construct a parametric equation for the straight line which passes through the two points $\left( -3,0,5\right) $ and $\left( 7,11,-9\right) $. \end{example} \emph{Solution.} \ These two points determine a direction which is parallel to the line through them. Let $\overrightarrow{n}$ be that direction, then $% \overrightarrow{n}=\left( 7,11,-9\right) -\left( -3,0,5\right) $ $=$ $\left( 10,11,-14\right) $. \ Thus, one parametric equation is: \begin{center} $\overrightarrow{y}=R\left( t\right) =\left( -3,0,5\right) +t$ $\left( 10,11,-14\right) $. \FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "1.164";cropright "1";cropbottom "0.3862";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \begin{remark} There is one thing to note about this particular equation. It mimics the motion of a particle which at time zero is at the point $\left( -3,0,5\right) $ and when $t=1$ is at the point $\left( 7,11,-9\right) $. \end{remark} \begin{remark} There are many different parametric equations for the same straight line. For example instead of starting ($t=0$) at the point $\left( -3,0,5\right) $ we could start at any other point on the line, e.g., $\left( 7,11,-9\right) $% . There is also nothing special about vector $\overrightarrow{n}=\left( 10,11,-14\right) $, as long as it is parallel to our line. One can get an infinite number of such directions by taking any non-zero multiple of any particular $\overrightarrow{n}$ ($-2\overrightarrow{n}$ for example). Thus, another parametric equation for the same straight line is: \end{remark} \begin{center} $\overrightarrow{y}=R\left( t\right) =\left( -13,-11,19\right) +t\left( -20,-22,28\right) $ \end{center} \begin{remark} The point $\left( 7,11,-9\right) $ was found by setting $t=-1$ in the first equation and the new $\overrightarrow{n}$ was obtained by multiplying the first $\overrightarrow{n}$ by $-2$. \end{remark} \begin{center} \vspace{1pt} \end{center} \subsection{\protect\vspace{1pt}\protect\vspace{1pt}Equations of Straight Lines: Example 2} \vspace{1pt} \begin{example} Given the two straight lines with equations $R_{1}\left( t\right) =\left( -1+2t,4+7t,-7-8t\right) $ and $R_{2}\left( t\right) =\left( 9+t,39-2t,-47+3t\right) $. \ \vspace{1pt}Show that they intersect. \end{example} \vspace{1pt} \emph{Solution.} \ One is first tempted to solve the equation $\ R_{1}\left( t\right) =R_{2}\left( t\right) $. \ This leads to the three equations, one for each component \begin{center} $-1+2t=9+t$ $4+7t=39-2t$ $-7-8t=-47+3t$. \end{center} Solving the first equation for $t$, we get $t=10$, placing this value of $t$ into the second equation we see that there is no solution to this system of equations. \ This does not mean that the two lines do not intersect. \ Here's why: What we have done is not tried to find a point the lines have in common, but rather is there a common point given by the same value of the parameter. This is like saying two objects will occupy the same place at the same time. Not what we were asked to show. {\Large We really want }to see if the following equation has a solution: \begin{center} $R_{1}\left( t\right) =\allowbreak \left( -1+2t,4+7t,-7-8t\right) =R_{2}\left( \tau \right) =\allowbreak \left( 9+\tau ,39-2\tau ,-47+3\tau \right) $. \end{center} ($\tau =$ the greek letter ``tau'') \ That is, we are asking if there is a point which the first line crosses at some value of its parameter and which the second line also crosses at a, possibly different, value of its parameter. This leads to the three equations: \begin{center} $-1+2t=9+\tau $ $4+7t=39-2\tau $ $-7-8t=-47+3\tau $. \end{center} The first two equations are rewritten as: \begin{center} $2t-\tau =10$ $7t+2\tau =35$. \end{center} Solving this system of equations we get $t=5$ and $\tau =0$. Substituting these values into the third equation we see that it too is satisfied. Thus, a common point of these two lines is $R_{1}\left( 5\right) =\allowbreak \left( 9,39,-47\right) $. To double check, we compute $R_{2}\left( 0\right) =\allowbreak \left( 9,39,-47\right) $. \vspace{1pt} \subsection{\protect\vspace{1pt}Exercises: Straight Lines} \begin{enumerate} \item \vspace{1pt}Find two equations for the straight line joining the points $\left( 1,1\right) $ and $\left( 2,-3\right) $\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{\vspace{1pt}One equation is \par $\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) \right) =\left( 1,1\right) +t\left( \left( 2,-3\right) -\left( 1,1\right) \right) =\left( 1+t,1-4t\right) $% \par \vspace{1pt} \par To get a second equation we solve each of the components for $t$ and equate the two expressions. \par $t=\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-4}$. Thus, we have $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1% }{-4}$} \item Find an equation for the straight line joining the two points $\left( 2,-5,6\right) $ and $\left( 9,-3,4\dotfill \right) $\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\left( 2,-5,6\right) +t\left( \left( 9,-3,4\dotfill \right) -\left( 2,-5,6\right) \right) =$ $\left( 2,-5,6\right) +\left( 7t,2t,-2t\right) =\left( 2+7t,-5+2t,6-2t\right) $} \item Does the point $\left( -1,1,-1\right) $ lie on the straight line containing the two points $\left( 1,1,1\right) $ and $\left( -3,4,5\right) $?\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{\vspace{1pt}An equation for the straight line is $R\left( t\right) =\left( 1,1,1\right) +t\left( -4,3,4\right) $. To see if the point $% \left( -1,1,-1\right) $ lies on the line we need to see if there is a value of $t$ for which \par $\left( 1,1,1\right) +t\left( -4,3,4\right) =\left( -1,1,-1\right) $. \par This vector equation leads to the three scalar equations \par $-4t=-2$, $3t=0$, and $4t=-2$. Clearly this system has no solution, and we can deduce that the point does not lie on the line. \par \vspace{1pt}} \item Find an equation for the straight line which is parallel to the vector $\left( 2,-5\right) $ and passes through the point $\left( -4,7\right) $% \dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{\vspace{1pt} $R\left( t\right) =\left( -4,7\right) +t\left( 2,-5\right) $% \par \vspace{1pt} \par \vspace{1pt} \par \vspace{1pt} \par {}} \item Do the straight lines $\left( 1,1\right) +t\left( 5,9\right) $ and $% \left( 3,-2\right) +t\left( 6,7\right) $ intersect?\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{\vspace{1pt}Since we are in the plane, and the two lines are not parallel, they must intersect. \par \vspace{1pt} \par \vspace{1pt} \par \vspace{1pt} \par {}} \item Do the straight lines $\left( -1,3,-6\right) +t\left( 1,1,-2\right) $ and $\left( 1,1,-1\right) +t\left( -1,7,4\right) $ intersect? \dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{\vspace{1pt}Since we are not asking if the two lines intersect at a common value of the parameter $t$, we use two different parameters to describe the lines. For the lines to intersect the following equations must have a solution \par \vspace{1pt} $-1+t=1-\tau $% \par $3+t=1+7\tau $% \par $-6-2t=-1+4\tau $% \par \vspace{1pt}The first two equations have the solution $\,\,\tau =1/2,$ and $% t=3/2$. These values do not satisfy the third equation. Hence the lines do not intersect.} \item Does the point $\left( 3,2,6\right) $ lie on the line $\left( 3,4,-1\right) +t\left( 1,-4,5\right) $?\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\vspace{1pt}$The only value of the parameter $t$ which gives $x=3$ is $t=0$. However, when $t=0$, $y$ must equal $4$, if the point is to lie on the line, but the $y$ coordinate of the point does not equal $4$% . Thus, the point does not lie on the plane. \par $\vspace{1pt}$% \par $\vspace{1pt}$% \par {}} \item Find the angles made by the intersections of the diagonals of a rectangle with sides of lengths $4$ and $10$\thinspace \thinspace \dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{% Place the origin at the center of the rectangle. Then its vertices have coordinates $\left( 5,2\right) $, $\left( 5,-2\right) $, $\left( -5,-2\right) $, and $\left( -5,2\right) $. The smaller of the the two angles formed by the diagonals of the rectangle is the angle between the vectors $% \left( 5,2\right) $ and $\left( 5,-2\right) $. This angle equals \par $\arccos \left( \dfrac{\left( 5,2\right) \cdot \left( 5,-2\right) }{\left\| \left( 5,2\right) \right\| \left\| \left( 5,-2\right) \right\| }\right) $% \par $=\arccos \left( \dfrac{21}{\sqrt{29}\sqrt{29}}\right) $% \par $=43.\,\allowbreak 603$ degrees. \par The other angle must equal $180-43.\,\allowbreak 603$ degrees.} \end{enumerate} \vspace{1pt} \section{Vectors} \begin{center} \vspace{1pt}\textsl{\ } \end{center} \subsection{\protect\vspace{1pt}The equation of a plane} \subsubsection{Equation of a Plane} \begin{quotation} \vspace{1pt}A \textsl{plane} in $R^{3}$ is characterized by specifying a point $x_{0}$ on the plane, and a direction $\overrightarrow{N}$. \ The \textsl{plane} is all points $x$ for which the vector from the given point to this point, $x-x_{0}$, is perpendicular to $\overrightarrow{N}$. \end{quotation} \begin{equation*} \FRAME{itbpF}{2.655in}{1.5558in}{0in}{}{}{s0313.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.655in;height 1.5558in;depth 0in;original-width 183.25pt;original-height 107pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/s0313.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{equation*} \QTR{greenbig}{\ } \begin{equation*} \end{equation*} \begin{equation*} \FRAME{itbpF}{1.9899in}{1.5152in}{0in}{}{}{s0315.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 1.9899in;height 1.5152in;depth 0in;original-width 136.8125pt;original-height 103.6875pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/s0315.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{equation*} \begin{example} We want an equation for the plane which passes through the point $\left( -5,6,-1\right) $ and which is perpendicular to the vector (direction) $% \overrightarrow{n}=\left( 3,5,7\right) $. Let $\overrightarrow{x}=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) $ be any other point on the plane. Then the vector $% \overrightarrow{x}-\left( -5,6,-1\right) =\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) -\left( -5,6,-1\right) =\allowbreak \left( x_{1}+5,x_{2}-6,x_{3}+1\right) $ lies in the plane and hence must be perpendicular to the vector $% \overrightarrow{n}$. This, of course, means that the dot product of these two vectors must be zero. This fact gives the desired equation. \end{example} \begin{center} $\allowbreak \left( x_{1}+5,x_{2}-6,x_{3}+1\right) \cdot \left( 3,5,7\right) =3\left( x_{1}+5\right) +5\left( x_{2}-6\right) +7\left( x_{3}+1\right) $ $=3x_{1}+5x_{2}+7x_{3}-8=0$. \end{center} Thus, an equation for this plane is $3x_{1}+5x_{2}+7x_{3}=8$. \vspace{1pt} Pay particular attention to the coefficients of the variables $x_{i}$. They are the components of the vector $\overrightarrow{n}$. A vector which is normal to the plane. The constant $8$ depends upon which point the plane passes through. Note, this constant must be zero for any plane which passes through the origin. \vspace{1pt} \begin{center} \FRAME{dtbpF}{4.5826in}{0.0969in}{0pt}{}{}{thckline.gif}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width 4.5826in;height 0.0969in;depth 0pt;original-width 361.375pt;original-height 0.625pt;cropleft "0";croptop "1.5166";cropright "1";cropbottom "0.4165";filename 'graphics/Thckline.gif';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt} \begin{example} Find the equation of the plane which passes through the point $\left( 13,4,-6\right) $ and is perpendicular to the vector $\left( 2,7,11\right) $. \end{example} \begin{center} \emph{Solution. \ } Let, as we did above, $\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) $ be an arbitrary point on the plane. Then we must have \begin{eqnarray*} 0 &=&\left( \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) -\left( 13,4,-6\right) \right) \cdot \left( 2,7,11\right) \\ 0 &=&\left( x_{1}-13,x_{2}-4,x_{3}+6\right) \cdot \left( 2,7,11\right) \\ 0 &=&2\left( x_{1}-13\right) +7\left( x_{2}-4\right) +11\left( x_{3}+6\right) =\allowbreak 2x_{1}+12+7x_{2}+11x_{3} \\ &&\text{or} \\ -12 &=&2x_{1}+7x_{2}+11x_{3} \end{eqnarray*} \end{center} \vspace{1pt} {\Large Verify.} \ Just to check our work, we pick one particular point on the plane, and verify that the direction from it to the given point on the plane is really perpendicular to the given direction. To get one point on the plane set $x_{2}$ and $x_{3}$ equal to zero in the equation and solve for $x_{1}$. This gives us the point $\left( -6,0,0\right) $; the vector $% \left( -6,0,0\right) -\left( 13,4,-6\right) =\allowbreak \left( -19,-4,6\right) $ must then lie in the plane, and the dot product of $\left( -19,-4,6\right) $ with the vector $\left( 2,7,11\right) $ is zero, which substantiates our claim that this equation does indeed describe the desired plane. \FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.7183";cropright "1";cropbottom "0.6071";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \begin{center} \vspace{1pt}\textsl{\ } \end{center} \subsection{Equation of a Plane: Example} \vspace{1pt} \begin{example} \vspace{1pt}Find an equation of the plane which passes through the three \fbox{% \CustomNote[non-colinear]{Margin Hint}{% Non-colinear means that the points do not lie on a (single) straight line.}} points \end{example} $\left( -1,1,-1\right) $, $\left( 0,2,-5\right) $, and $\left( 5,5,-4\right) $. \emph{Solution.} \ If we knew a direction which was perpendicular to the plane we could repeat the computations which we saw in the previous section. What we can calculate are two vectors which lie in the plane. If we then take their cross product, we will have a vector which is perpendicular to both of the vectors and hence to the plane they lie in. Two pairs of non-parallel vectors which lie in the plane are: \begin{eqnarray*} (0,2,-5)-\left( -1,1,-1\right) \text{ \ } &=&\allowbreak \left( 1,1,-4\right) \\ &&\text{and \ } \\ \left( 5,5,-4\right) -\left( -1,1,-1\right) &=&\allowbreak \left( 6,4,-3\right) \end{eqnarray*} The cross product of these two vectors is $\left( 1,1,-4\right) \times \left( 6,4,-3\right) =\left( 13,-21,-2\right) $. Thus, an \emph{equation for the plane containing the given points} is: \begin{center} $\left( \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) -\left( -1,1,-1\right) \right) \cdot \left( 13,-21,-2\right) =0$ \vspace{1pt} $\left( \left( x_{1}+1,x_{2}-1,x_{3}+1\right) \right) \cdot \left( 13,-21,-2\right) =0$ \vspace{1pt} $13\left( x_{1}+1\right) -21\left( x_{2}-1\right) -2\left( x_{3}+1\right) =0$ \vspace{1pt} $13x_{1}+32-21x_{2}-2x_{3}=0$ \vspace{1pt} $13x_{1}-21x_{2}-2x_{3}=-32$ \end{center} \vspace{1pt} {\Large Verify.} \ If we let $f\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =13x_{1}-21x_{2}-2x_{3}$, then to verify we have found an equation for the plane containing the three given points, we verify that the function $f$ \ takes on the value $-32$ at each of the three points. \begin{center} $f\left( -1,1,-1\right) =\allowbreak -32$ \vspace{1pt}$f\left( 0,2,-5\right) =\allowbreak -32$ $f\left( 5,5,-4\right) =\allowbreak -32$ \vspace{1pt} \FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.8446";cropright "1";cropbottom "0.7056";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \begin{example} Use vector projections to show that the distance from a point $P\left( x,y,z\right) $ to the plane $ax+by+cz=d$ is$\,$ \end{example} \begin{equation*} \dfrac{\left| ax+by+cz-d\right| }{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}. \end{equation*} Let $\left( x_{0},y_{0},z_{0}\right) $ be any point on the plane. (For later reference this implies that $\,ax_{0}+by_{0}+cz_{0}=d$) Then the vector $% \left( x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0}\right) $ starts in the given plane and terminates at the point $\left( x,y,z\right) $. The magnitude of the projection of this vector onto a direction perpendicular to the plane will equal the distance of the point to the plane. \vspace{1pt}The projection of the vector onto a normal direction equals \begin{equation*} \dfrac{\left( x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0}\right) \cdot \left( a,b,c\right) }{% a^{2}+b^{2}+c^{2}}\left( a,b,c\right) \end{equation*} and its magnitude is \begin{equation*} \dfrac{\left| ax-ax_{0}+by-by_{0}+cz-cz_{0}\right| }{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}% }=\dfrac{\left| ax+by+cz-d\right| }{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \end{equation*}% . \begin{example} \vspace{1pt}Use the formula above to find the distance from the point $% \left( 1,-2,1\right) $ to the plane $3x-y+z=2$ \end{example} Using this formula, the distance from $\left( 1,-2,1\right) $ to the plane $% 3x-y+z=2$ equals \begin{equation*} \dfrac{\left| 3+2+1-2\right| }{\sqrt{11}}=\dfrac{4}{\sqrt{11}} \end{equation*} {} \begin{center} {\small \ }\vspace{1pt} \end{center} \subsection{\protect\vspace{1pt}Exercises: Planes} \begin{enumerate} \item \vspace{1pt}Find two non-parallel vectors which are parallel to the plane $3x-2y+z=1$.\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{$\vspace{1pt}$ The two vectors we seek must be perpendicular to the vector $(3,-2,1)$. If $\left( x,y,z\right) $ is this vector, then we must have: \par $3x-2y+z=0$. \par Two non-parallel solutions are: \par $\left( 0,1,2\right) $ and $\left( 2,3,0\right) $.} \item Find an equation for the plane which passes through the point $\left( 1,2,-3\right) $ and is perpendicular to the vector $\left( -3,4,6\right) $% .\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{% If $\left( x,y,z\right) $ is a point on this plane, then \par $\left[ \left( x,y,z\right) -\left( 1,2,-3\right) \right] \cdot \left( -3,4,6\right) =0$% \par or \par $-3x+13+4y+6z=0$% \par or \par $3x-4y-6z=13$} \item Find two points which lie on the plane $-x+5y+4z=5$.\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{% If we set $x=0,$ then we want a solution to $5y+4z=5$. One such solution is $% y=1$ and $z=0$. If we next set $y=0$, then $x=-5$ and $z$ $=$ $0$. Thus, $% \left( 0,1,0\right) $ and $\left( -5,0,0\right) $ are two point which lie on the plane \par $-x+5y+4z=5$.} \item If the points $\left( 1,1,1\right) $, $\left( 2,-3,0\right) $ and $% \left( -3,4,1\right) $ lie on a plane, find a vector which is perpendicular to this plane\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{\vspace{1pt}The two vectors which join one of these points to the other two vectors are parallel to the plane. Hence, their cross product will be perpendicular to the plane. \par $\left[ \left( \left( 2,-3,0\right) -\left( 1,1,1\right) \right) \right] $% \par $\times \left[ \left( \left( -3,4,1\right) -\left( 1,1,1\right) \right) % \right] =$% \par \vspace{1pt}$\left( 1,-4,-1\right) \times \left( -4,3,0\right) =\allowbreak \left( 3,4,-13\right) $. \par Any scalar multiple of the vector $\left( 3,4,-13\right) $ is perpendicular to the plane. \par \vspace{1pt} \par $\left( 1,1,1\right) $, $\left( 2,-3,0\right) $ and $\left( -3,4,1\right) $} \item Find an equation of the plane which contains the line $\left( 3,4,-1\right) +t\left( 1,-4,5\right) $ and the point $\left( 3,2,6\right) $% \dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{\vspace{1pt}If the given line lies on the plane, then we can find two points which lie on the plane and since the given point does not lie on the line, we will then have $3$ non-colinear points which lie on the plane. Two points which lie on the line are \par $\left( 3,4,-1\right) $ and $\left( 4,0,4\right) $. \par Let $\overrightarrow{N}=\left[ \left( 3,4,-1\right) -\left( 3,2,6\right) % \right] $% \par $\times \left[ \left( 4,0,4\right) -\left( 3,2,6\right) \right] =\left( -18,-7,-2\right) $. \par \vspace{1pt}The vector $\overrightarrow{N}$ is perpendicular to the plane and if $\left( x,y,z\right) $ is a point on the plane, we must have \par $\left[ \left( x,y,z\right) -\left( 4,0,4\right) \right] \cdot \left( -18,-7,-2\right) =0$% \par or \par $-18x+80-7y-2z=0$% \par or \par $18x+7y+2z=80$% \par {} \par \vspace{1pt} \par \vspace{1pt} \par \vspace{1pt} \par $\left( 3,4,-1\right) +t\left( 1,-4,5\right) $ and the point $\left( 3,2,6\right) $} \item Find the point of intersection of the plane $2x+y+3z=1$ and the line $% \dfrac{x}{2}=\dfrac{y+3}{5}=\dfrac{z-5}{7}$\dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{\vspace{1pt}The easiest way to do this problem is to write the equation of the line as a vector expression with a parameter $t$, place that expression into the equation of the plane, and then solve for $t$. \par Such an equation for the line is \par $\left( 2,2,12\right) +t\left( 2,5,7\right) $ (set each of the ratios equal to $1$). Placing this into the equation for the line we have \par $2\left( 2+2t\right) +\left( 2+5t\right) +3\left( 12+7t\right) =1$% \par \vspace{1pt}$42+30t=1$% \par $t=-\dfrac{41}{30}$. \par This gives the point \par $\left( x\left( -\dfrac{41}{30}\right) ,y\left( -\dfrac{41}{30}\right) ,z\left( -\dfrac{41}{30}\right) \right) =$% \par $\left( -\dfrac{11}{15},-\dfrac{29}{6},\dfrac{73}{30}\right) $.} \item Find the distance from the point $\left( 3,4\right) $ to the line $% y=-2x+1$.\thinspace \dotfill \CustomNote[\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETAnswer}{0.1609in}{0.1487in}{0in}}{}{% }{}]{Margin Hint}{% One way to solve this problem is to think of the line as the intersection of the $x,y$ plane with a plane perpendicular to the $x,y$ plane and containing the given line. The equation of such a plane is \par $2x+y=1$. We then think of the point $\left( 3,4\right) $ as the point $% \left( 3,4,0\right) $. The distance of the point $\left( 3,4,0\right) $ to the plane $2x+y+z=1$ equals the distance of the point $\left( 3,4\right) $ to the line $y=-2x+1$, and this distance is \par $\dfrac{\left| 6+4-1\right| }{\sqrt{4+1}}=\dfrac{9}{\sqrt{5}}$.} \end{enumerate} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/lec_12_8_99.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/graphics/maroon.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%% WwlqZB@@W\ObOplAV~@zC@@@@@@OeF@@I@@@CLJB@@@A@x@@@@@@@P@@@@p@A`@@E@@@@l`@@@@ @@T@@@@@CBD@@A@@A@@@@CD@B@T@@@@pBB@@@@@PA@@@@LHP@@D@@E@@@@p`@x@@`~T@@@@pBB@ @@@@@A@@@@FDP@@\@@@@@B@@@eA@@@@@D@@@@tR@@@PB@@@@zKPA@@@@@@pO@b@@A@@@@m DP@@x@@@@@ICT@@@@@N@@@@@@@PA@@@@E@N@@@@x@pA@@@@|K@@@|C@@@P@@@@PKAH@@I@@@ @ho@@@@@@@@@@@@@@HB@D@@@@tR@C@@A@@@@pG@@@\@@@@@B@@@eA@@@@@D@@@@tR@@@@A@@@ @mDP@@x@@@@@ICT@@@@@N@@@@@@@`B@@@@J@N@@@@x@@A@@@@mD`@@P@@@@PKAL@@D@@@@@_@@@ pA@@@@|K@@@|WF@@@@@P@@@@PKA@@@D@@@@tR@A@`C@@@@dLPA@@T@x@@PA@@@@O@@@@|@x@@PA `C@D@@@@tR@B@@A@@@@mDp@@P@@@@@|A@@@G@@@@po@@@``\@@@@@@A@@@@mD@@@P@@@@PKAD@@ N@@@@Pr@E@@`B`C@@J@@@@PA@@@@E`C@@J@N@P@@@@PKAH@@D@@@@tR@C@@A@@@@pG@@@\@@@@@ B@@@Dza@@@@@D@@@@tR@@@@A@@@@mDP@@x@@@@@ICT@@@O@N@@|@@@@PF@@@@Y@N@@|@x@@A@@ @@mD`@@P@@@@PKAL@@D@@@@@_@@@pA@@@@|K@@@\XHE@@@@P@@@@PKA@@@D@@@@tR@A@`C@@@@d LPA@@PAx@@@E@@@@^@@@@xAx@@@E`C@D@@@@tR@B@@A@@@@mDp@@P@@@@@|A@@@G@@@@po@@@Pb ch@@@@@A@@@@mD@@@P@@@@PKAD@@N@@@@Pr@E@@PF`C@@Y@@@@LB@@@pH`C@@Y@N@P@@@@PKAH@ @D@@@@tR@C@@A@@@@pG@@@\@@@@@B@@@IZBC@@@@D@@@@tR@@@@A@@@@mDP@@x@@@@@ICT@@@^ @N@@xA@@@@J@@@@h@N@@xAx@@A@@@@mD`@@P@@@@PKAL@@D@@@@@_@@@pA@@@@|K@@@phIO@@@@ P@@@@PKA@@@D@@@@tR@A@`C@@@@dLPA@@LBx@@pH@@@@m@@@@tBx@@pH`C@D@@@@tR@B@@A@@@@ mDp@@P@@@@@|A@@@G@@@@po@@@pciPA@@@@A@@@@mD@@@P@@@@PKAD@@N@@@@Pr@E@@@J`C@@h@ @@@HC@@@`L`C@@h@N@P@@@@PKAH@@D@@@@tR@C@@A@@@@pG@@@\@@@@@B@@@QnrE@@@@D@@@@t R@@@@A@@@@mDP@@x@@@@@ICT@@@m@N@@tB@@@pM@@@@w@N@@tBx@@A@@@@mD`@@P@@@@PKAL@@D @@@@@_@@@pA@@@@|K@@@\YL_@@@@P@@@@PKA@@@D@@@@tR@A@`C@@@@dLPA@@HCx@@`L@@@@|@@ 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