%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                                                     %
%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 2.5             %
%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 3.0             %
%                                                                     %
% If you are separating the files in this message by hand, you will   %
% need to identify the file type and place it in the appropriate      %
% directory.  The possible types are: Document, DocAssoc, Other,      %
% Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files      %
% tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file    %
% directory.  Macro files go into your TeX macros directory. Style    %
% files are used by Scientific Word and do not need to be extracted.  %
% Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a       %
% graphics directory.                                                 %
%                                                                     %
% Graphic files need to be converted from the text format (this is    %
% done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. %
%                                                                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                                                     %
% Files included:                                                     %
%                                                                     %
% "/document/lec_9_15_99.tex", Document, 52018, 9/16/1999, 16:25:38, ""%
% "/document/graphics/maroon__3.wmf", ImportPict, 4444, 1/20/1999, 15:54:48, ""%
% "/document/graphics/glim11.wmf", ImportPict, 20660, 1/20/1999, 15:54:46, ""%
% "/document/graphics/glim14.wmf", ImportPict, 6594, 1/20/1999, 15:54:48, ""%
% "/document/FI2DPK04.wmf", PlotPict, 17754, 9/14/1999, 19:19:44, ""  %
% "/document/graphics/maroon.wmf", ImportPict, 4444, 1/8/1998, 12:13:42, ""%
% "/document/graphics/maroon__1.wmf", ImportPict, 4444, 1/8/1998, 12:13:42, ""%
% "/document/graphics/maroon__2.wmf", ImportPict, 4444, 2/23/1998, 1:16:50, ""%
% "/document/FI1ZZS0L.wmf", PlotPict, 8448, 9/10/1999, 15:14:16, ""   %
% "/document/FI1ZZS0M.wmf", PlotPict, 8448, 9/10/1999, 15:14:18, ""   %
%                                                                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/lec_9_15_99.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.0


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\usepackage{amssymb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{sw20jart}

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%F=36,\PARA{038<p type="texpara" tag="Body Text" >\hfill \thepage}
%}


\input{tcilatex}

\begin{document}


\section{\protect\vspace{1pt}Ma 115 Lecture 9/15/99}

Before we continue with our discussion of derivatives we will discuss some
more aspects of limits involving infinity.

\subsection{Horizontal asymptotes}

\vspace{1pt}

\textsl{Horizontal asymptotes} is the name given to the horizontal lines
these functions approach.

\begin{definition}
The line $y=L$ is called a \emph{horizontal asymptote} of the function $%
f\,\left( x\right) $ if either 
\[
\lim_{x\rightarrow \infty }\,f\,\left( x\right) =L\;\text{or\ }%
\lim_{x\rightarrow \left( -\,\,\infty \right) }\,f\,\left( x\right) =L 
\]
\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.5002";cropright "1";cropbottom "0.4999";filename
'graphics/maroon__3.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{definition}

Some functions can have two different asymptotes like the function show
below; 
\[
\FRAME{itbpFU}{3.5526in}{1.7772in}{0in}{\Qcb{Two asymptotes}}{}{glim11.wmf}{%
\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 3.5526in;height 1.7772in;depth
0in;original-width 245.875pt;original-height 122pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'graphics/glim11.wmf';file-properties "XNPEU";}} 
\]
Some functions can have just one asymptote like the function below. 
\[
\FRAME{itbpFU}{2.968in}{1.2816in}{0in}{\Qcb{One asymptote}}{}{glim14.wmf}{%
\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 2.968in;height 1.2816in;depth
0in;original-width 205pt;original-height 87.4375pt;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'graphics/glim14.wmf';file-properties "XNPEU";}} 
\]

\vspace{1pt}\vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf%
}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.6905";cropright "1";cropbottom "0.6349";filename
'graphics/maroon__3.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.7183";cropright "1";cropbottom "0.6071";filename
'graphics/maroon__3.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\begin{example}
Find the horizontal asymptote(s) for $f\left( x\right) =\dfrac{\sqrt{3x^{2}+1%
}}{2x-3}$
\end{example}

\emph{Solution}. \ First assume that $x\rightarrow \infty .$ 
\begin{eqnarray*}
\dfrac{\sqrt{3x^{2}+1}}{2x-3} &=&\dfrac{\sqrt{x^{2}\left( 3+\dfrac{1}{x^{2}}%
\right) }}{x\left( 2-\dfrac{3}{x}\right) } \\
&=&\dfrac{x\sqrt{\left( 3+\dfrac{1}{x^{2}}\right) }}{x\left( 2-\dfrac{3}{x}%
\right) } \\
&=&\dfrac{\sqrt{\left( 3+\dfrac{1}{x^{2}}\right) }}{\left( 2-\dfrac{3}{x}%
\right) }
\end{eqnarray*}%
The limit of the numerator is $\sqrt{3};$ \ the limit of the denominator is $%
2.$ \ Thus 
\[
\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{\sqrt{3x^{2}+1}}{2x-3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} 
\]

\QTR{green}{Exercise}. \ We leave it to the reader to show that 
\[
\lim_{x\rightarrow \,-\,\,\infty }\dfrac{\sqrt{3x^{2}+1}}{2x-3}=\dfrac{-%
\sqrt{3}}{2} 
\]%
This example has two horizontal asymptotes, $y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ and $y=-%
\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$ \ Here's the graph. (Asyptototes are in green.) 
\[
\FRAME{itbpF}{3.3001in}{2.2009in}{-0.0069in}{}{}{Plot}{\special{language
"Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3.3001in;height 2.2009in;depth
-0.0069in;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;function
\TEXUX{$\dfrac{\sqrt{3x^{2}+1}}{2x-3}$};linecolor "Red";linestyle
1;linethickness 2;pointstyle "Point";function
\TEXUX{$\MATRIX{2,2}{c}\VR{,,l,,,}{,,l,,,}{,,,,,}\HR{,,}\CELL{3/2}\CELL{20}%
\CELL{3/2}\CELL{-20}$};linecolor "Green";linestyle 4;linethickness
1;pointstyle "Point";function \TEXUX{$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$};linecolor
"Green";linestyle 4;linethickness 1;pointstyle "Point";function
\TEXUX{$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$};linecolor "Green";linestyle 4;linethickness
1;pointstyle "Point";xmin "-9";xmax "9";xviewmin "-9";xviewmax "9";yviewmin
"-9";yviewmax "8";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype
4;numpoints 49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name
\TEXUX{$x$};valid_file "T";tempfilename 'FI2DPK04.wmf';tempfile-properties
"XPR";}} 
\]

\FRAME{dtbpF}{4.1952in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.1952in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.1073";cropright "0.9981";cropbottom "1.2181";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\subsection{ Infinite limits}

\vspace{1pt}

The expression 
\[
\lim_{x\rightarrow \infty }f\,\left( x\right) =\infty 
\]

means that the function values become large as $x$ approaches $\infty .$

\vspace{1pt}

Normally, we will usually say this means the limit does not exist, but the
notation is convenient to describe what is happening to a function as $x$
becomes large.

\begin{example}
$\lim\limits_{x\rightarrow \,\infty }x^{2}=\infty $
\end{example}

\begin{example}
Show that $\lim\limits_{x\rightarrow \,\infty }\dfrac{x^{2}+1}{x}=\infty .$
\end{example}

\emph{Solution.} \ We rewrite the fraction as 
\begin{eqnarray*}
\dfrac{x^{2}+1}{x} &=&\dfrac{x^{2}(1+\dfrac{1}{x^{2}})}{x} \\
&=&x\left( 1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)
\end{eqnarray*}

The term in parentheses approaches $1,$ while we know that $x$ \ approaches $%
\ \infty .$ \ Thus \ 
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{x^{2}+1}{x} &=&\infty . \\
&&
\end{eqnarray*}

\begin{example}
Find $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\,x^{2}-4x.$
\end{example}

\emph{Solution.} \ We first note that we just can't let $x\rightarrow \infty 
$ for the individual terms and then compute the difference.

Why? Because this would result in the expression $\infty -\infty $, which is
meaninless. \ But we can algebraically manipulate the expression as 
\[
x^{2}-4x=x^{2}\left( 1-\dfrac{4}{x}\right) 
\]

Now, we know that $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 1-\dfrac{4}{x}%
\right) =1.$ \ It is now easy to see that 
\[
\lim_{x\rightarrow \infty }\,x^{2}\left( 1-\dfrac{4}{x}\right) =\infty 
\]

\FRAME{dtbpF}{4.1952in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.1952in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.1073";cropright "0.9981";cropbottom "1.2181";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\section{Formulas for Derivatives}

\vspace{1pt}

\subsection{Introduction}

\vspace{1pt}

{\Large The few formulas we have} don't go very far for finding the
derivative of any but the simplest functions. For example, they are of no
help in finding the derivative of the function 
\[
f(x)=(\sqrt{x}+3x^{4})^{10} 
\]
If we were to apply the secant method of the last section for finding its
derivative, we would quickly find ourselves in a hopeless morass of algebra.
As is often the case in mathematics and other subjects, too, it is
imperative to begin with basics. The first basic rule is called the \emph{%
Power Rule\/}. \medskip

\vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{4.1952in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1952in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.6905";cropright "0.9981";cropbottom "0.6349";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{1pt}

The \emph{power rule}, though very important, works best in conjunction with
several other rules. \ But first things first.

\begin{center}
\vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0692in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0692in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.6968";cropright "1";cropbottom "0.6965";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}

\subsection{The {\protect\Large Power Rule~}~}

\vspace{1pt}

\begin{quotation}
\textbf{The Power Rule}. For any constant $r$, the derivative of $f(x)=x^{r}$
\ is 
\[
f\,^{\prime }(x)=rx^{r-1} 
\]
\end{quotation}

\vspace{0in}In words, \emph{the derivative of }$x$\emph{\ to a power is the
power times }$x$\emph{\ to the power reduced by }$1$\emph{.}

\FRAME{dtbpF}{4.0707in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.0707in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"1.1665";cropright "1";cropbottom "0.3887";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\begin{example}
Find the derivative of $f(x)=x^{3}$.
\end{example}

\noindent \emph{Solution}~~By the Power Rule, 
\[
f\,^{\prime }(x)=3x^{3-1}=3x^{2} 
\]

\FRAME{dtbpF}{3.7775in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 3.7775in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.6706";cropright "1";cropbottom "0.6703";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\begin{example}
Find the derivative of $f(x)=\sqrt{x}$.
\end{example}

\noindent \emph{Solution}~~Recall that $\sqrt{x}=x^{1/2}$. \ \ Then the
Power Rule, with $r=\frac{1}{2}$, is applicable: 
\[
f\,^{\prime }(x)=\frac{1}{2}x^{(1/2)-1}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x%
}},\qquad x>0 
\]

\emph{Note:} \ Recall that the domain of \ $\sqrt{x}$ \ is \thinspace $%
\lbrack 0,\infty )$ including $\ x=0$. \ However, the domain of the
derivative is only $(0,\infty ),$ \ because its value at \ $\ x=0$ \ is
undefined.

\vspace{1pt}

\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}

The power rule, though very important, works best in conjunction with
several other rules discussed on the next pages.

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.9418";cropright "1";cropbottom "0.6084";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}

\emph{What is remarkable about the power rule is that it is valid for all
real numbers }$r.$

{}

The proof of the Power Rule is not difficult for positive integers. For
fractional powers it is trickier. \ Here we give the proof for a couple of
specific cases. In fact for the function $f(x)=x^{2}$, the derivative $%
f\;^{\prime }(x)=2x$ \ has already been computed.

\begin{center}
{}
\end{center}

\FRAME{dtbpF}{3.2923in}{0.0692in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 3.2923in;height 0.0692in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.6338";cropright "1";cropbottom "0.6335";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\subsection{The {\protect\Large Constant-Multiplier Rule~}~}

\vspace{1pt}

\begin{quotation}
\textbf{Constant-Multiplier Rule.}{\Large ~}For any constant $k$, the
derivative of $f(x)=kg(x)$ \ is 
\[
f^{\,\,\prime }(x)=kg^{\prime }(x) 
\]
\end{quotation}

In words, \emph{the derivative of a constant times a function is the
constant times the derivative of the function\/}.

\vspace{1pt}%
\CustomNote[\underline{Proof}]{Margin Hint}{$f^{\,\,\prime }\left( x\right) =%
\dfrac{d}{dx}\left( kg\left( x\right) \right) $%
\par
$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{kg\left( x+h\right) -kg\left( x\right) 
}{h}$%
\par
$=k\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{g\left( x+h\right) -g\left( x\right) }{%
h}$%
\par
$=kg^{\prime }\left( x\right) $} $\ \ f^{\,\,\prime }\left( x\right) =\dfrac{%
d}{dx}\left( kg\left( x\right) \right) $

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{kg\left( x+h\right) -kg\left( x\right) 
}{h}$

$=k\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{g\left( x+h\right) -g\left( x\right) }{%
h}$

$=kg^{\prime }\left( x\right) $

\begin{center}
{\Large \FRAME{dtbpF}{3.7775in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 3.7775in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.7664";cropright "1";cropbottom "0.4375";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}}
\end{center}

We first modify the previous examples and add two new ones.

\begin{example}
Find the derivative of $f(x)=12x^{3}$.
\end{example}

\noindent \emph{Solution}~~By the Constant-Multiplier Rule and the Power
Rule, 
\[
f^{\prime }(x)=12\cdot 3x^{3-1}=36x^{2} 
\]

\begin{example}
Find the derivative of $f(x)=3\sqrt{x}$.
\end{example}

\noindent \emph{Solution}~~Recall that $\sqrt{x}=x^{1/2}$. \ \ Recall also
that the domain of \ $\sqrt{x}$ \ is \thinspace $\lbrack 0,\infty )$. \ By
the Constant-Multiplier Rule and the Power Rule, with $r=\frac{1}{2}$, we
have 
\[
f^{\prime }(x)=3\cdot \frac{1}{2}x^{(1/2)-1}=\frac{3}{2}x^{-1/2}=\frac{3}{2%
\sqrt{x}},\qquad x>0 
\]

Note here that the domain of the derivative is $(0,\infty ),$ \ because its
value at \ $\ x=0$ \ is undefined.

\begin{example}
\vspace{1pt}Differentiate $f(x)=\dfrac{4}{x^{3}}$.
\end{example}

\noindent \emph{Solution}~~Recall that $\dfrac{4}{x^{3}}=4x^{-3}$. So the
Constant-Multiplier Rule, together with the Power Rule, gives 
\[
f^{\prime }(x)=4(-3x^{-3-1})=-12x^{-4} 
\]

\begin{example}
(This example combines the Power Rule with the Constant-Multiplier Rule in
general.) If $c$ and $p$ are two fixed constants, differentiate $f(x)=cx^{p}$%
.
\end{example}

\noindent \emph{Solution}~~The Constant-Multiplier Rule and the Power Rule
apply to give 
\[
f^{\prime }(x)=c(px^{p-1})=cpx^{p-1}\ 
\]

\begin{exercise}
If $f(t)=4t^{5},$ \ what is $f^{\,\,\prime }(t)$?
\end{exercise}

$f^{\,\,\prime }(t)=\allowbreak 20t^{4}$

Note the independent variable is \ $t.$

\begin{exercise}
If $f(x)=-5x^{-1/3},$ \ what is $f^{\,\,\prime }(t)$?
\end{exercise}

$f^{\,\,\prime }(t)=\left( -\dfrac{1}{3}\right) \allowbreak (-5)x^{-1/3-1}$

$=\dfrac{5}{3}x^{-4/3}=\dfrac{5}{3\left( \sqrt[3]{x}\right) ^{4}}$

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.9405";cropright "1";cropbottom "0.3849";filename
'graphics/maroon__1.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{0in}
\end{center}

\subsection{The Sum Rule}

\vspace{1pt}

The list of functions we \emph{can\/} differentiate is growing, but it is
not yet large enough to tackle the problem posed \ at the beginning of this
section (which is to find the derivative of $(\sqrt{x}+3x^{4})^{10}$ ). \ We
will at least need to know how to differentiate the sum $\sqrt{x}+3x^{4}$.
Differentiating the sum of two functions, each of which we can
differentiate, is the content of the \emph{Sum Rule\/}.\medskip

\vspace{1pt}

\begin{quotation}
S\textbf{um Rule}. \ \ \ \ If $f(x)=g(x)+h(x)$, \ then $f\;^{\prime }(x$~$%
)=g\,^{\prime }(x)+h^{\prime }(x)$. \medskip

\qquad \qquad \qquad If $f(x)=g(x)-h(x)$, \ then $f\;^{\prime }(x$~$%
)=g\,^{\prime }(x)-h^{\prime }(x)$. \medskip
\end{quotation}

In words, \emph{the derivative of a sum is the sum of the derivatives; the
derivative of a difference is the difference of the derivatives\/}.

\begin{theorem}
If $f(x)=g(x)\pm h(x)$, \ then $f\,^{\prime }(x$~$)=g\,^{\prime }(x)\pm
h^{\prime }(x)$. \medskip
\end{theorem}

where the \ $\pm $ \ means ``plus'' or ``minus'', and the same sign is used
in both occurances.

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{3.7775in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 3.7775in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.9452";cropright "1";cropbottom "0.3957";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}

\begin{example}
Differentiate $f(x)=\sqrt{x}+3x^{4},\qquad x>0$.
\end{example}

\emph{Solution}~~Let $g(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}$ and $h(x)=3x^{4}$. From the
Power Rule, $g\,^{\prime }(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}$. From the
Constant-Multiple Rule and the Power Rule, $h^{\prime
}(x)=3(4x^{4-1})=12x^{3}$. So, by the Sum Rule, 
\[
f\;^{\prime }(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}+12x^{3},\qquad x>0\ 
\]

\begin{center}
\vspace{1pt}

{\Large \FRAME{dtbpF}{3.7775in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 3.7775in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.5099";cropright "1";cropbottom "0.5096";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}}
\end{center}

\begin{example}
Differentiate $f(x)=x+x^{2}+x^{3}$.
\end{example}

\emph{Solution}~~The Sum Rule above is for two functions. To differentiate
the sum of three functions, apply the Sum Rule twice! That is, let $g(x)=x$
and $h(x)=x^{2}+x^{3}$. Then $f(x)=g(x)+h(x)$. From the Power Rule, $%
g\,^{\prime }(x)=1\cdot x^{1-1}=1\cdot x^{0}=1$, and, from the Sum Rule and
the Power Rule, $h^{\prime }(x)=2x^{2-1}+3x^{3-1}=2x+3x^{2}$. So 
\[
f\;^{\prime }(x)=1+2x+3x^{2} 
\]

\vspace{1pt}

\FRAME{dtbpF}{4.203in}{0.0692in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.203in;height 0.0692in;depth 0pt;original-width
290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.9967";cropright
"1";cropbottom "0.3966";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties
"XNPEU";}}

\begin{remark}
In general, the derivative of the sum of three functions is the sum of the
derivatives of these functions.

\textbf{Question}: \ What is the derivative of the sum of \emph{any\/}
(finite) number of functions?
\end{remark}

The answer to the question: \ \textbf{What is the derivative of the sum of
any finite number of differentiable function }is contained in the following
theorem.

{}

\begin{theorem}
Let $f(x)=\sum\limits_{k-1}^{n}\;f_{k}(x).$

Then the derivative of $f(x)$ \ is $f\;^{\prime
}(x)=\sum\limits_{k-1}^{n}\;f_{k}^{\;\;\prime }(x)$.
\end{theorem}

In words, \emph{the derivative of the sum of any finite number of
differentiable function is the sum of their derivatives.}

{}

\FRAME{dtbpF}{3.1176in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
3.1176in;height 0.0623in;depth 0pt;original-width 0pt;original-height
0pt;cropleft "0";croptop "0.671";cropright "1";cropbottom "0.6699";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\begin{example}
\vspace{1pt}Differentiate $f(x)=(x^{2}-1)^{2}$.
\end{example}

\emph{Solution}~~As this function is written, it cannot be differentiated by
the rules given so far. However, by expanding the function to 
\[
f(x)=x^{4}-2x^{2}+1 
\]
we can easily compute the derivative using the Power, Constant-Multiplier,
and Sum Rules. Thus 
\[
f\;^{\prime }(x)=4x^{3}-4x 
\]
Note that the derivative of $1=x^{0}$ is $0$.

\FRAME{dtbpF}{4.203in}{0.0692in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.203in;height 0.0692in;depth 0pt;original-width
290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop "0.8301";cropright
"1";cropbottom "0.5632";filename 'graphics/maroon.wmf';file-properties
"XNPEU";}}

\begin{example}
If $f(t)=4t^{5}-\dfrac{1}{t},$ \ what is $f\;^{\prime }(t)$? \qquad \qquad\
\ \ 
\end{example}

$f\;^{\prime }(t)=20t^{5-1}\allowbreak -(-1)t^{-2}=20t^{4}+\dfrac{1}{t^{2}}=%
\dfrac{20t^{6}+1}{t^{2}}$

Note the independent variable is \ $t.$

\begin{example}
If $f(x)=-12x^{3}-\dfrac{1}{3}x^{2},$ \ what is $f\;^{\prime }(x)$? \ \qquad
\end{example}

$f\;^{\prime }(x)=\allowbreak -36x^{2}-\frac{2}{3}x$

\begin{center}
\vspace{1pt}

{\Large \FRAME{dtbpF}{3.7775in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 3.7775in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.5099";cropright "1";cropbottom "0.5096";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}}
\end{center}

\vspace{1pt}

\emph{Note:} \ The sum rule, the constant-multiplier rule and the power rule
allow us to differentiate \emph{any polynomial}.

\vspace{1pt}\vspace{0in}

\subsection{The Extended Power Rule}

\vspace{1pt}{\Large H}ere's a simple function: \ $f(x)=(\sqrt[3]{x}+1)^{6}.$
\ Find $f^{\,\,\prime }(x)$. \ So far, we have no rule to handle this \emph{%
power-of-a-function} problem directly. \ We could expand it out and
differentiate each summand. Thus

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}(\sqrt[3]{x}+1)^{6} &=&\frac{d}{dx}(\allowbreak x^{2}+6\left( 
\sqrt[3]{x}\right) ^{5}+15\left( \sqrt[3]{x}\right) ^{4}+20x+15\left( \sqrt[3%
]{x}\right) ^{2}+6\sqrt[3]{x}+1) \\
&=&\allowbreak 2\frac{\left( \sqrt[3]{x}\right) ^{5}+5\left( \sqrt[3]{x}%
\right) ^{4}+10x+10\left( \sqrt[3]{x}\right) ^{2}+5\sqrt[3]{x}+1}{\left( 
\sqrt[3]{x}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}

There has to be a better way!! \ \ \ And there
is............................. It's called the \QTR{blue}{Extended Power
Rule. }Sometimes this rule is called the\ \QTR{blue}{Generalized Power Rule. 
}

\noindent \vspace{1pt}

\begin{quotation}
\textbf{Extended Power Rule. \ \ }\vspace{1pt}If $f(x)=(g(x))^{r}$, \ then $%
f\,^{\prime }(x$~$)=r(g(x))^{r-1}g^{\prime }(x)$. \medskip
\end{quotation}

\noindent

\noindent {\Large T}hat is, the \textsl{derivative of a power of a function
is the power times the function raised to the power reduced by one and that
times the derivative of the function.}

\begin{center}
\ \FRAME{dtbpF}{3.7775in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 3.7775in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.9452";cropright "1";cropbottom "0.3957";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}

\begin{remark}
Before we consider any examples, there is a matter of \textsl{notation}. The
function $[g(x)]^{2}=g(x)\cdot g(x)$, as we know. There is a commonplace
alternative way of writing this---namely, $g^{2}(x)=g(x)\cdot g(x)$. So $%
[g(x)]^{2}=g^{2}(x)$. In general, for any $r\neq -1$, $[g(x)]^{r}$ and $%
g^{r}(x)$ (and even $\left( g(x)\right) ^{r}$) \ mean \emph{exactly\/} the
same thing, the $r^{\text{th}}$ power of the function \ $g(x)$. \ \ (The
notation $g^{-1}(x)$ has a completely different meaning. It is called the 
\textsl{inverse} of $g(x)$.\ If $r=-1$ we \emph{must} use the power notation
as $[g(x)]^{-1}$ or alternatively $\dfrac{1}{g(x)}$.
\end{remark}

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{3.7775in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 3.7775in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.723";cropright "1";cropbottom "0.6179";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}

{\Large W}ith this in mind the Extended Power Rule has the more familiar
form\medskip

\begin{quotation}
\QTR{blue}{Extended Power Rule}\textbf{.} \ If $f(x)=g^{r}(x)$, \ then $%
f^{\prime }(x$~$)=rg^{r-1}(x)g^{\prime }(x)$. \medskip
\end{quotation}

\vspace{1pt}

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{3.7775in}{0.1055in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width
3.7775in;height 0.1055in;depth 0pt;original-width 290.5625pt;original-height
1pt;cropleft "0";croptop "0.6719";cropright "1";cropbottom "0.669";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}

\begin{example}
Differentiate $f(x)=(\sqrt[3]{x}+1)^{6}$.
\end{example}

\emph{Solution\qquad }With $g(x)=\sqrt[3]{x}+1=x^{\frac{1}{3}}+1$, \ we have
by the Power Sum Rules that $\ g^{\prime }(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.
\ Now apply the Extended Power Rule to obtain

\[
f^{\,\,\prime }(x)=6(\sqrt[3]{x}+1)^{6-1}\cdot \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=2%
\frac{\left( \sqrt[3]{x}+1\right) ^{5}}{\left( \sqrt[3]{x}\right) ^{2}} 
\]

The simplification step is purely algebraic.

\FRAME{dtbpF}{3.7775in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 3.7775in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"1.1650";cropright "1";cropbottom "0.3957";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\begin{example}
Differentiate $f(x)=(x+x^{2})^{3}$.
\end{example}

\noindent \emph{Solution}~~With $g(x)=x+x^{2}$, we have $f(x)=g^{3}(x)$.
Noting that $g^{\prime }(x)=1+2x$ (by the Sum and Power Rules), we can apply
the Extended Power Rule to obtain 
\begin{eqnarray*}
f^{\,\,\prime }(x) &=&3(x+x^{2})^{3-1}(1+2x) \\
&=&3(1+2x)(x+x^{2})^{2}
\end{eqnarray*}
$\hfill $

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{3.7775in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 3.7775in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.9452";cropright "1";cropbottom "0.3957";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}

\begin{example}
Differentiate $f(x)=\sqrt{1-x^{2}}$.
\end{example}

\noindent \emph{Solution}~~Note that $f(x)=(1-x^{2})^{1/2}$. So, with $%
g(x)=1-x^{2}$, $f(x)=\lbrack g(x)\rbrack ^{1/2}$. Using the Power and Sum
Rules we have $g^{\prime }(x)=0-2x=-2x$ ; thus, 
\begin{eqnarray*}
f^{\prime }(x) &=&\frac{1}{2}(1-x^{2})^{(1/2)-1}\cdot (-2x) \\
&=&-x(1-x^{2})^{-1/2}
\end{eqnarray*}
or 
\[
f^{\prime }(x)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}} 
\]

\begin{center}
\ $\ \FRAME{itbpF}{3.7775in}{0.0623in}{0in}{}{}{maroon.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 3.7775in;height 0.0623in;depth
0in;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.9452";cropright "1";cropbottom "0.3957";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}$
\end{center}

\begin{itemize}
\item \textbf{The extended power rule is one of the most useful rules.}
\end{itemize}

$\ $

\vspace{1pt}\fbox{Key Words: \ power rule, constant-multiplier rule,
extended power rule}

\subsubsection{\protect\vspace{1pt}Summary of Known Rules}

\begin{quotation}
\textbf{Constant Multiplier Rule} 
\[
\dfrac{d}{dx}\left( cf\,\left( x\right) \right) =cf\,^{\prime }\left(
x\right) 
\]

\textbf{Sum Rule} 
\[
\frac{d}{dx}\lbrack f(x)\pm g(x)\rbrack =f\,^{\prime }(x)\pm g\,^{\prime
}(x) 
\]
\textbf{Power Rule} 
\[
\frac{d}{dx}(x^{r})=rx^{r-1},\quad r\neq 0 
\]
\end{quotation}

\vspace{1pt}

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{3.7775in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 3.7775in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.6706";cropright "1";cropbottom "0.6703";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}\vspace{1pt}
\end{center}

\subsection{The {\protect\Large Power Rule~}~---\ Example 1}

\vspace{1pt}{\Large The most important} examples of the extended power rule
come as genuine applications to real world situations.

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{3.7775in}{0.1185in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 3.7775in;height 0.1185in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"1.8133";cropright "1";cropbottom "0.3957";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}

\begin{example}
The cost of manufacture of a (square) notebook computer screen depends on
its width $x$ according to the formula 
\[
C(x)=(2.7x+8.5)^{2.5} 
\]
At what rate is the cost increasing when the screen width is 10 inches?
\end{example}

\emph{Solution. \ }Since the question asks for a rate of change, we first
need to find $C^{\prime }(x).$ \ Apply the 
\CustomNote[Extended Power Rule]{Margin Hint}{%
If\ $f(x)=(g(x))^{r}$, \ then $f^{\,\,\prime }(x$~$)=r(g(x))^{r-1}g^{\prime
}(x)$.}\ to get 
\[
C^{\prime }(x)=2.5(2.7x+8.5)^{1.5}(2.7)\allowbreak 
\]%
$\allowbreak $

Now evaluate \ $C^{\prime }(x)$ \ at \ $x=1$ \ to get 
\[
C^{\prime }(10)=\allowbreak 1427.\,\allowbreak 73 
\]
This is interpreted to mean that the cost of increasing the screen width by
just one inch, from 10 inches to 11 inches, \ is about \$1427.

\begin{remark}
$\ $\vspace{1pt}Sometimes $C^{\prime }(x)$ is called the \textsl{marginal
cost at }$x$, \ which is a term inherited from the business world which
typically means the cost of adding one more unit of the commodity. \ We will
see later that the derivative at a point is a better way to define the
marginal cost.
\end{remark}

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0692in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0692in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.6968";cropright "1";cropbottom "0.6965";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}

\vspace{1pt}

\FRAME{dtbpF}{3.7775in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 3.7775in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.7805";cropright "1";cropbottom "0.7802";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\subsection{The Reciprocal Rule}

$\vspace{0in}$

The special case of the Extended Power Rule in which $r=-1$ occurs so
frequently, it has its own name. \ It is

\vspace{0in}

\begin{quotation}
\textbf{Reciprocal Rule. \ \ }\vspace{1pt}If $f(x)=(g(x))^{-1}=\dfrac{1}{%
g\left( x\right) }$, \ then $f\,^{\,\prime }(x$~$)=-(g(x))^{-2}g\,^{\prime
}(x)=\dfrac{-g\,^{\prime }\left( x\right) }{g\left( x\right) ^{2}}$. \medskip
\end{quotation}

\vspace{0in}

In words, \emph{the derivative of the reciprocal of a function is the
negative of the derivative of the function divided by the square of the
function.}

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0692in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0692in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.9967";cropright "1";cropbottom "0.3966";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}

\begin{example}
Differentiate $f(x)=\dfrac{1}{3x^{2}-2x+5}$.
\end{example}

\emph{Solution}~~With $g(x)=3x^{2}-2x+5$, we have $g\,^{\prime }(x)=6x-2$
(by the Sum, Constant Multiple and Power Rules). \ So, we obtain 
\[
f\,^{\prime }(x)=\dfrac{-\left( 6x-2\right) }{\left( 3x^{2}-2x+5\right) ^{2}}
\]

\FRAME{dtbpF}{3.7775in}{0.0623in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 3.7775in;height 0.0623in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.5559";cropright "1";cropbottom "0.5556";filename
'graphics/maroon.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{0in}Exponential Functions

\begin{center}
\vspace{1pt}
\end{center}

\subsection{\protect\vspace{1pt}Properties of the Exponential Functions}

\vspace{1pt}

The exponential functions have a number of useful algebraic properties:

\begin{quotation}
\textbf{Laws of Exponents}~~~For $a>0$:\newline
E0~~$a^{0}=1$,\newline
E1~~$a^{x+z}=a^{x}a^{z}$,\newline
E2~~$a^{x-z}=\dfrac{a^{x}}{a^{z}}$,

E3~~$(a^{x})^{z}=a^{xz}$, \qquad \hyperref{\qquad \qquad\ \ \ \ }{}{}{%
.\x.21.01.01.tex#prob33}.\newline
E4~~$a^{x}b^{x}=(ab)^{x}$,\qquad $b>0$\newline
E5~$\dfrac{a^{x}}{b^{x}}=\left( \dfrac{a}{b}\right) ^{x}$,$\qquad b>0$
\end{quotation}

\subsubsection{\noindent}

\paragraph{Examples}

\begin{itemize}
\item $2^{4}2^{6}=2^{4+6}=2^{10}=1024$

\item \noindent $3^{8}/3^{6}=3^{8-6}=3^{2}=9$

\item \noindent $(2^{2})^{3}=2^{6}=64$

\item \noindent $(4^{2})^{-2}=4^{-4}=1/256$

\item \noindent $2^{-4}2^{8}=2^{-4+8}=2^{4}=16$

\item \noindent $3^{-2}4^{-2}=12^{-2}=1/12^{2}=1/144$
\end{itemize}

$\vspace{1pt}$

$\ \hfill $

\begin{center}
\FRAME{dtbpF}{4.2384in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.2384in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.9608";cropright "1";cropbottom "0.4223";filename
'graphics/maroon__2.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\vspace{0in}Graphing Exponential Functions
\end{center}

We use the usual method of plotting points of the function and connecting
the dots.

\begin{example}
Graph $y=2^{x}$
\end{example}

\begin{center}
\begin{tabular}{|cc|cc|cc|}
\hline
$x$ & $2^{x}$ & $x$ & $2^{x}$ & $x$ & $2^{x}$ \\ \hline
0 & 1.00 & $\frac{9}{8}$ & 2.18 & $-2$ & 0.25 \\ 
$\frac{1}{8}$ & 1.09 & $\frac{10}{8}$ & 2.38 & $-1$ & 0.50 \\ 
$\frac{2}{8}$ & 1.19 & $\frac{11}{8}$ & 2.59 & $-\frac{1}{2}$ & 0.71 \\ 
$\frac{3}{8}$ & 1.30 & $\frac{12}{8}$ & 2.83 &  &  \\ 
$\frac{4}{8}$ & 1.41 & $\frac{13}{8}$ & 3.08 &  &  \\ 
$\frac{5}{8}$ & 1.54 & $\frac{14}{8}$ & 3.36 &  &  \\ 
$\frac{6}{8}$ & 1.68 & $\frac{15}{8}$ & 3.67 &  &  \\ 
$\frac{7}{8}$ & 1.83 & 2 & 4.00 &  &  \\ 
1 & 2.00 &  &  &  &  \\ \hline
\end{tabular}
\bigskip \qquad \FRAME{itbpFU}{3in}{2.0003in}{0.793in}{\Qcb{$y=2^{x}$}}{}{}{%
\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3in;height
2.0003in;depth 0.793in;display "USEDEF";function \TEXUX{$\lbrack
-2,0.25,-1,0.5,-1/2,0.71\rbrack $};linecolor "black";linestyle
1;linethickness 1;pointstyle "diamond";pointplot TRUE;function
\TEXUX{$\lbrack 0,1,1/8,1.09,2/8,1.19\rbrack $};linecolor "black";linestyle
1;linethickness 1;pointstyle "diamond";pointplot TRUE;function
\TEXUX{$\lbrack 3/8,1.3,4/8,1.41,5/8,1.54\rbrack $};linecolor
"black";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "diamond";pointplot
TRUE;function \TEXUX{$\lbrack 6/8,1.68,7/8,1.83,1,2\rbrack $};linecolor
"black";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "diamond";pointplot
TRUE;function \TEXUX{$\lbrack 9/8,2.18,10/8,2.38,11/8,2.59\rbrack
$};linecolor "black";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle
"diamond";pointplot TRUE;function \TEXUX{$\lbrack
12/8,2.83,13/8,3.08,14/8,3.36\rbrack $};linecolor "black";linestyle
1;linethickness 1;pointstyle "diamond";pointplot TRUE;function
\TEXUX{$\lbrack 15/8,3.67,2,4\rbrack $};linecolor "black";linestyle
1;linethickness 1;pointstyle "diamond";pointplot TRUE;function
\TEXUX{$2^{x}$};linecolor "red";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle
"point";xmin "-5";xmax "5";xviewmin "-2";xviewmax "3";yviewmin "0";yviewmax
"5";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;numpoints
49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};}}
\end{center}

\noindent \FRAME{dtbpF}{5.2096in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 5.2096in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 361.375pt;original-height 0.625pt;cropleft "0";croptop
"0.9128";cropright "1";cropbottom "0.6399";filename
'graphics/maroon__2.wmf';file-properties "XNPEU";}}

The graphs of $y=a^{x}$ for all numbers $a>1$ look much like the graph of $%
y=2^{x}$. However, if $0<a<1$, the shape of the graph changes.

\FRAME{dtbpF}{5.2096in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 5.2096in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.7766";cropright "1";cropbottom "0.7761";filename
'graphics/maroon__2.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\begin{example}
Graph $y=\left( \dfrac{1}{2}\right) ^{x}$
\end{example}

~Note that 
\[
\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}=(2^{-1})^{x}=2^{-x} 
\]%
So the graph of $y=\left( \dfrac{1}{2}\right) ^{x}$ is really the reflection
of the graph of $y=2^{x}$ about the $y$-axis. However, we proceed as above,
computing and plotting points.

\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
\hline
x & $\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}$ & $x$ & $\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}$
\\ \hline
0 & 1.00 & $-\frac{10}{8}$ & 2.38 \\ 
$-\frac{1}{8}$ & 1.09 & $-\frac{11}{8}$ & 2.59 \\ 
$-\frac{2}{8}$ & 1.19 & $-\frac{12}{8}$ & 2.83 \\ 
$-\frac{3}{8}$ & 1.30 & $-\frac{13}{8}$ & 3.08 \\ 
$-\frac{4}{8}$ & 1.41 & $-\frac{14}{8}$ & 3.36 \\ 
$-\frac{5}{8}$ & 1.54 & $-\frac{15}{8}$ & 3.67 \\ 
$-\frac{6}{8}$ & 1.68 & $-2$ & 4.00 \\ 
$-\frac{7}{8}$ & 1.83 & $\frac{1}{2}$ & 0.71 \\ 
$-1$ & 2.00 & 1 & 0.50 \\ 
$-\frac{9}{8}$ & 2.18 & 2 & 0.25 \\ \hline
\end{tabular}
\qquad \bigskip \FRAME{itbpFU}{3in}{2.0003in}{0.793in}{\Qcb{$\left( \dfrac{1%
}{2}\right) ^{x}$}}{}{}{\special{language "Scientific Word";type
"MAPLEPLOT";width 3in;height 2.0003in;depth 0.793in;display
"USEDEF";function \TEXUX{$\left[
-2,4,-15/8,3.67,-14/8,3.36,-13/8,3.08\right] $};linecolor "black";linestyle
1;linethickness 1;pointstyle "diamond";pointplot TRUE;function
\TEXUX{$\lbrack -12/8,2.83,-11/8,2.59,-10/8,2.38\rbrack $};linecolor
"black";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "diamond";pointplot
TRUE;function \TEXUX{$\lbrack -9/8,2.18,-1,2,-7/8,1.83\rbrack $};linecolor
"black";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "diamond";pointplot
TRUE;function \TEXUX{$\lbrack -6/8,1.68,-5/8,1.54,-4/8,1.41\rbrack
$};linecolor "black";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle
"diamond";pointplot TRUE;function \TEXUX{$\lbrack
-3/8,1.3,-2/8,1.19,-1/8,1.09,0,1\rbrack $};linecolor "black";linestyle
1;linethickness 1;pointstyle "diamond";pointplot TRUE;function
\TEXUX{$\left( 1/2\right) ^{x}$};linecolor "blue";linestyle 1;linethickness
1;pointstyle "point";function \TEXUX{$\lbrack 1/2,0.71,1,0.5,2,0.25\rbrack
$};linecolor "black";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle
"diamond";pointplot TRUE;xmin "-3";xmax "3";xviewmin "-3";xviewmax
"3";yviewmin "0";yviewmax "5";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta
45;plottype 4;numpoints 49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name
\TEXUX{$x$};}}
\end{center}

For values of $a$ in (0,1), the graph of $y=a^{x}$ looks much like $y=\left( 
\dfrac{1}{2}\right) ^{x}$.

\begin{center}
\vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{4.2384in}{0.0692in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 4.2384in;height 0.0692in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.9967";cropright "1";cropbottom "0.3966";filename
'graphics/maroon__2.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}

In the two figures below we see the general shape of the functions $y=a^{x}$
for $a>1$ and for $0<a<1$, respectively. In practice, to graph $y=a^{x}$ for
a particular $a>0$, it is only necessary to plot a few points and connect
them smoothly, using the information that the general shape is as shown
below. We note that, for $y=a^{x}$, $a>1$, the graph has the $x$-axis for a
horizontal asymptote as $x$ becomes arbitrarily small. A similar observation
can be made for $0<a<1$.

\begin{center}
\FRAME{itbpFU}{2.5097in}{2.0003in}{0in}{\Qcb{$y=a^{x}$ , $1<a$}}{}{Plot}{%
\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 2.5097in;height
2.0003in;depth 0in;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;function
\TEXUX{$1.2^{x}$};linecolor "Red";linestyle 1;linethickness 3;pointstyle
"Point";xmin "-5";xmax "5";xviewmin "-5";xviewmax "5";yviewmin
"0.36014872345679";yviewmax "2.53088342553086";rangeset"X";phi 45;theta
45;plottype 4;numpoints 49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name
\TEXUX{$x$};valid_file "T";tempfilename 'FI1ZZS0L.wmf';tempfile-properties
"XPR";}} \qquad \FRAME{itbpFU}{2.5097in}{2.0003in}{0in}{\Qcb{$y=$ $a^{x}$ , $%
0<a<1$}}{}{Plot}{\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width
2.5097in;height 2.0003in;depth 0in;display "USEDEF";plot_snapshots
TRUE;function \TEXUX{$\left( 1.2\right) ^{-x}$};linecolor "Red";linestyle
1;linethickness 2;pointstyle "Point";xmin "-5";xmax "5";xviewmin
"-5";xviewmax "5";yviewmin "0.36014872345679";yviewmax
"2.53088342553086";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;numpoints
49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};valid_file
"T";tempfilename 'FI1ZZS0M.wmf';tempfile-properties "XPR";}}
\end{center}

\subsection{Graphing Exponential Functions-- Example}

\begin{example}
In the figure below we see the general shape of the functions $y=a^{x}$ for $%
a>1$ and for $0<a<1$, respectively. In practice, to graph $y=a^{x}$ for a
particular $a>0$, it is only necessary to plot a few points and connect them
smoothly, using the information that the general shape is as shown below. We
note that, for $y=a^{x}$, $a>1$, the graph has the $x$-axis for a horizontal
asymptote as $x$ becomes arbitrarily small. A similar observation can be
made for $0<a<1$.
\end{example}

\begin{center}
\FRAME{itbpFU}{2.5097in}{2.0003in}{0.7809in}{\Qcb{}}{}{}{\special{language
"Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 2.5097in;height 2.0003in;depth
0.7809in;display "PICT";function \TEXUX{$1.2^{x}$};linecolor "red";linestyle
1;linethickness 1;pointstyle "point";function \TEXUX{$2^{x}$};linecolor
"red";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "point";function
\TEXUX{$2.5^{x}$};linecolor "red";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle
"point";function \TEXUX{$3^{x}$};linecolor "red";linestyle 1;linethickness
1;pointstyle "point";function \TEXUX{$1.2^{-x}$};linecolor "blue";linestyle
1;linethickness 1;pointstyle "point";function \TEXUX{$2.5^{-x}$};linecolor
"blue";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "point";function
\TEXUX{$3^{-x}$};linecolor "blue";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle
"point";function \TEXUX{$1.7^{-x}$};linecolor "blue";linestyle
1;linethickness 1;pointstyle "point";xmin "-5";xmax "5";xviewmin
"-5.000000";xviewmax "5.000000";yviewmin "0";yviewmax
"20";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;numpoints
49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};}} \qquad
\end{center}

\subsection{The Natural Exponential Function}

\vspace{1pt}

{\Large There is} a real number that arises in so many applications
(radioactive decay, cell growth, compound interest, and others) that it has
a special notation. This number, called $e$, is irrational and is
approximately equal to 
\[
e\thickapprox 2.71828183 
\]%
There are several ways to define precisely what the number $e$ is. The
simplest and best known is the following: 
\[
e=\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{1/x}\qquad 
\]%
Some values of the function $(1+x)^{1/x}$ for values of $x$ approaching 0
are shown in the following table.

\begin{center}
\vspace{0in} 
\begin{tabular}{cc}
$x$ & $(1+x)^{1/x}$ \\ 
$-0.1$ & $\allowbreak 2.\,\allowbreak 868$ \\ 
$0.1$ & $2.\,\allowbreak 593\,7$ \\ 
$-0.01$ & $\allowbreak 2.\,\allowbreak 732$ \\ 
$0.01$ & $\allowbreak 2.\,\allowbreak 704\,8$ \\ 
$-0.005$ & $\allowbreak 2.\,\allowbreak 725\,1$ \\ 
$0.005$ & $\allowbreak 2.\,\allowbreak 711\,5$%
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{0in}

\vspace{0in}The number $e$ is used as the base of the exponential function 
\[
y=e^{x} 
\]%
called the \emph{natural exponential function\/}. This function is one of
the most important functions in pure and applied mathematics. Since it is an
exponential function it has the following properties:

\begin{quotation}
\textbf{Properties of the Natural Exponential Function}\newline
E0~~$e^{0}=1$\newline
E1~~$e^{x+z}=e^{x}e^{z}$\newline
E2~~$e^{x-z}=e^{x}/e^{z}$\newline
E3~~$(e^{x})^{z}=e^{xz}$
\end{quotation}

\vspace{0in}

It is important to know what this function looks like. We determine a few
points on the graph and connect them smoothly.

\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
$x$ & $e^{x}$ \\ 
$-1$ & $.36788$ \\ 
$-0.5$ & $.60653$ \\ \cline{2-2}
$0$ & \multicolumn{1}{|c|}{$1.0$} \\ \cline{2-2}
$0.5$ & $1.6487$ \\ 
$1$ & $2.718\,3$ \\ 
$2$ & $7.389\,1$ \\ 
$2.5$ & $12.182$%
\end{tabular}
\qquad \FRAME{itbpFU}{3in}{2.0003in}{0.9037in}{\Qcb{$y=e^{x}$}}{}{}{%
\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3in;height
2.0003in;depth 0.9037in;display "PICT";function \TEXUX{$\left[
-1,.367,-0.5,.606,0,1,0.5,1.64,1,2.718,2,7.389,2.5,12.18\right] $};linecolor
"black";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "diamond";pointplot
TRUE;function \TEXUX{$e^{x}$};linecolor "red";linestyle 1;linethickness
1;pointstyle "point";xmin "-2";xmax "3";xviewmin "-2";xviewmax "3";yviewmin
"0";yviewmax "13";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype
4;numpoints 49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};}}
\end{center}

\begin{example}
Graph $y=e^{-2x}$
\end{example}

\noindent \emph{Solution}~~By the law of exponents, $%
e^{-2x}=(e^{-2})^{x}=(1/e^{2})^{x}$. So, we could graph this function by
computing $1/e^{2}$ and then $(1/e^{2})^{x}$ for values of $x$. This method
is inconvenient. It is better to use a calculator directly. The graph is
shown below.

\begin{center}
\vspace{0in} \FRAME{itbpFU}{3in}{2.0003in}{0in}{\Qcb{$y=e^{-2x}$}}{}{}{%
\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3in;height
2.0003in;depth 0in;display "PICT";function \TEXUX{$e^{-2x}$};linecolor
"red";linestyle 1;linethickness 2;pointstyle "point";xmin "-2";xmax
"2";xviewmin "-3";xviewmax "3";yviewmin "0";yviewmax
"10";viewset"XY";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;numpoints
49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};}}

\vspace{0in}

\FRAME{dtbpF}{4.1943in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 4.1943in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"1.0972";cropright "1";cropbottom "0.3971";filename
'graphics/maroon__2.wmf';file-properties "XNPEU";}}
\end{center}

\subsection{\protect\vspace{1pt}The Derivative of the Natural Exponential
Function}

{\Large None of the rules }we have so far for differentiation apply to
finding the derivative of $y=e^{x}$. So we return to basics. Recall from
Section~xxx that the derivative of a function $y=f(x)$ is determined by
calculating the limit of the difference quotient: 
\[
f\,^{\prime }(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} 
\]
For $f(x)=e^{x}$ the difference quotient is 
\[
\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h} 
\]
Using the properties of exponents and a little algebra, we obtain 
\begin{eqnarray*}
\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h} &=&\frac{e^{x}e^{h}-e^{x}}{h} \\
&=&\frac{e^{x}(e^{h}-1)}{h}
\end{eqnarray*}
Hence, 
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}(e^{x}) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}e^{x}\left( \frac{e^{h}-1}{h}\right) \\
&=&e^{x}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{h}-1}{h}\qquad
\end{eqnarray*}

\vspace{0in}

\FRAME{dtbpF}{5.2096in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 5.2096in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 361.375pt;original-height 0.625pt;cropleft "0";croptop
"0.9128";cropright "1";cropbottom "0.6399";filename
'graphics/maroon__2.wmf';file-properties "XNPEU";}}

The derivative of $e^{x}$ is thus $e^{x}$ times a constant determined by the
limit of $(e^{h}-1)/h$ as $h$ approaches 0. Let's calculate $(e^{h}-1)/h$
for some values of $h$. Using Scientific Notebook, we obtain the values in
the table below \bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|}
\hline
$h$ & $\dfrac{e^{h}-1}{h}$ \\ \hline
.1 & 1.105170918 \\ \hline
.05 & 1.051271096 \\ \hline
.01 & 1.010050167 \\ \hline
.001 & 1.001000500 \\ \hline
.0001 & 1.000100005 \\ \hline
.00001 & 1.000010000 \\ \hline
\end{tabular}
\bigskip
\end{center}

\noindent It appears that:

\[
\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{e^{h}-1}{h}=1 
\]
\bigskip

\noindent \QTR{blue}{This is exactly so!} \ Thus, we have the\QTR{red}{\
derivative }of $e^{x}$:

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}(e^{x}) &=&e^{x} \\
\frac{d}{dx}e^{f\left( x\right) } &=&e^{f\left( x\right) }f\,^{\prime
}\left( x\right)
\end{eqnarray*}

\FRAME{dtbpF}{5.2096in}{0.0761in}{0pt}{}{}{maroon.wmf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"PICT";valid_file "F";width 5.2096in;height 0.0761in;depth
0pt;original-width 290.5625pt;original-height 1pt;cropleft "0";croptop
"0.7766";cropright "1";cropbottom "0.7761";filename
'graphics/maroon__2.wmf';file-properties "XNPEU";}}

\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/lec_9_15_99.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/graphics/maroon__3.wmf %%%%%%%%%%%%%%%

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